Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Далее, наш вывод неявно предполагал, что атом и до удара, и после удара покоится. Если скорость падающих частиц велика, а скорость атома до удара есть тепловая скорость, то последней можно пренебречь. Пренебречь же скоростью после удара можно лишь в том случае, если масса сталкивающейся частицы 1е много меньше массы атома М. Предполагая, что все эти условия соблюдены, вычислим рассеяние частиц с массой р и зарядам е,. Обозначим через — ер(г") = = — ер (г") плотность электрического заряда, создаваемого роем электронов атома в точке г" (предполагаем сферическую симметрию р, а через 2 — атомный номер. Тогда электрический потенциал в точке г будет гр(г)= — — е ~" (79.1) а потенциальная энергия частицы в таком поле будет равна (7(г)=ед(г) = — ' — ест ~ ~ '. ' .
(79.2) Подставляя это значение (7(г) в (78.24), получаем 2 ее е ( Входящие сюда интегралы рассмотрим порознь. Для этого заметим, что интеграл $ 791 РАССЕЯНИЕ АТОМАМИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ МИКРОЧАСТИЦ 33В Получаем В(ор (г) еркс ~ р (г) гс В(г р) В(рр ~ ерхрсср991п 8 В(0 Ъ Ъ Ъ Вводя переменную соз8 =3, легко выполняем интегрирование по 0 и Чр и получаем В(о р (г) е'к' = 4п ~ "" р (г) г' В(г.
'О (79,9) Подставляя (79.9) в (79.8) и (79.7) в (79.3), мы находим окончательное выражение для А (8): РРРР— Р Р„",'с~( — Р ~Р" РРРРР Р 'Р ~. РсзсР В Имея в виду, что К =4й 91п - = — „~1п —, ,Е 4РВ,В .,8 где о †скорос частицы, и обозначая Е(0) =4п ' . р(г) гВ В(г, (79.11) находим окончательно А (О) = — — ', (2 — Е (8)) созес'--.
(79.12) Величину Е(8) называют атом н ым фактором. Эта величина, как мы видим, определяет рассеяние электронов по углам. Заметим, что эта же величина определяет и рассеяние рентгеновских лучей. Из (79.12) находим дифференциальное эффективное сечение для упругого рассеяния электронов с энергией Е в область угла 0: а (0) = — „',", (2 — Е (8) )' созес' —. (79. 13) Для второго„двойного интеграла получаем = ~ е(о" р (гс) „= —,, ~ В(о р (г) е'к'. (79.8) Для выполнения интегрирования в (79.8) возьмем сферическую систему координат с полярной осью, параллельной Кр тогда Йо = г' В(г рнп 8 В(0 сйр, Кг == угг соз 8.
теоаия столкновсн!!и Зз2 !Гл. хп! Чтобы эта формула стала более конкретной, сделаем простое предположение о плотности ер заряда электронного роя. Именно, предположим (это соответствует выводам квантовой механики), что р экспоненциально спадает с увеличением расстояния от центра атома (79.14) р=р,е где а-«радиус» атома.
В целом атом нейтрален, поэтому ~р,( =г; 2 отсюда находим р,= —. Следовательно, Г г р= — е ааа» (79.15) (79.16) Вычислим теперь атомный фактор СО СО !" (8) =- 4П ~ р (Г) К Г' «(Г = 2,К, ~ Е Ка З!и $ ° $ !18, о Ь где $=Кг. Последний интеграл легко вычисляется: СО сс 2' ) 1!+К» «)» каз1па,а!(х —. ) е к'(е!4 — е ц)$«$= 2! 1!+К»а«)» ' Отсюда (79.17) и, следовательно, «'Ю( ( ...~) ) 2' (79.!8) Для быстрых частиц еа>) 1, поэтому в (?9.18) для не слишком малых углов рассеяния можно пренебречь вторым членом выражения в скобках по сравнению с единицей. Тогда получается е',е'л» а о (8) = 4гФ созес 2 ' (79.19) Эта формула совпадает с формулой для упругого рассеяния частиц с зарядом е и массой р в кулоновском поле ядра с зарядом Хе.
Впервые она была получена Резерфордом еще на основе классической механики. Совсем иной результат получается для малых углов рассеяния. В то время как из (79.19) при 8 =- 0 получает о(0) =- со, из (79.18) следует, что при 8=0 о(0) =сопз1. в уз( Рлссгяние лточдми пыстрых здряжш(ных микрочлстиц Ззз То обстоятельство, что для больших углов рассеяние получается таким, как в кулоновском поле голого ядра, может быть наглядно истолковано таким образом. Большие отклонения получаются за счет частиц, пролетаюших близко от ядра, благодаря чему па них поле роя электронов пе действует.
Малые отклонения получаются, напротив, при далеких пролетах частиц. В этом случае заряд ядра почти полностью экранируется отрицательным зарядом электронного, роя. Тогда поле очень сильно отличается от кулоновского. А. Рассеяние се-частиц Для а-частиц заряд е, =+ 2е, масса р = 4рн = 6,64. 10™ г, где )ьн — масса атома водорода.
Если атомный вес атома А гораздо больше 4, то мы можем непосредственно применить наши формулы к расчету рассеяния сб-частиц атомами. а-частицы, излучаемые радиоактивными элементами, имеют скорость 0-1Оз см(се(с Поэтому из (78.2) получаем волновое число й 1О" — 1Оьзсм-'. Размеры атома а — !0 ' см. Следовательно, )еа — 10', так что вплоть до очень малых углов(з!п 10-' — 1О-в) можно пользоваться формулой 2 (79.19) вместо (79.18). Таким образом, для а-частиц имеем а, (О) = — „, созеса-- егге В (79.20) ( —.- .-) в для в!п — )) — -). На рис. 62 изображено число рассеянных йа)' бе-частиц для разных углов 0 при рассеянии на золоте. ф ,( Как уже упоминалось, формула (79.20) была впервые получена Резерфордом из ф ', ";" (~ф классической механики путем ~-..
' о,. рассмотрения гиперболических орбит бб-частиц в кулоновском поле атомного ядра. Эта формула послужила в к(ю7 свое время ключом к откры- Рис. 02. Рассеяние а-частиц при прозри(- тию ядерной структуры атома Денни золотой фольги н 0,001 лл тол- щиной. и носит название ф о р м у л ы р ф (1911) 1.
сплошная кривая насбражаст и (в) в псляриых касрдпнятах. Числа на лучах дают иаблюдаеКаи ВПЛОТЬ дп СаМЫХ Ма нсе ююлс рассеянных частиц. Ол — направ. ление падающсгс пучка. лых углов 0 экраниропание заряда ядра роем электронов не играет роли (г (О) = 0), то формула (79.20) есть квинтовая формула для рассеянии а-(астиц в чисто кулоновском поле точечного заряда Уе. Таким образом, рассеяние в кулоновском поле оказывается одинаковым по квантовой н по классической механике.
ТЕОРИЯ СТОЛКИОВЕНИП !Гл, х!и 334 Б. Рассеяние электронов Для электронов р-10-" г, так что борновское приближение применимо лишь для электронов с энергией в несколько сот электрон-вольт. Для 500 за скорость электронов о= 1,3 10'сл1/сек, й = 1,3. 10' см-', т. е. яа 1. 1 Поэтому пренебрегать атомным 1Р фактором в (79.18) нельзя.
Эффективное сечение о (3) в этом случае равно Кг (К) 4 ~ з(п (Кг) р (г) г ( о Отсюда по теореме Фурье получаем (79.22) 4пг.'р (г) = — ' ~ Кг" (К) з(п (Кг) !(К о (79.23) (причем мы воспользовались тем, что Кг (К) есть нечетная функция К). Определяя атомный фактор г (К) из опыта, мы находим нз (79.23) р (г).
Величина р (г) есть средняя плотность электрического заряда в атоме, создаваемого роем электронов. Таким об- о (0) = —,, 1 — г (3) 1' созес' —. (79.21) На рис, 63 изображены кривые рассеяния электронов в Не, вычисленные теоретически, и результаты измерений Даймонда.
Весьма замечательным обстоягг , Р тельством является возможность определить нз наблюдений над Рис. 63. упругое рассеяние о ге- рассеянием электронов распреде- ление электрического заряда в А — теоретическая криван с Учстоы атОМЕ, В СаМОМ ДЕЛЕ, НабЛЮдая вкраннранания,  — реаерфордовское рассеяние, с — рассеяние рентгенов. рассеяние электрОноВ для раЗных ского излучения такой же длины. Крестики — ревулвтаты иаиерения дад- скоростей о и углов 3, мы поыонда. лучаем а (3) — дифференциальное эффективное сечение, а из (79.2!) находим тогда атомный фактор г"(3), который есть функция числа К= †" 3(п — (см. (79.11)).
Соответственно этому будем рассмат- 2!го . О Я 2 ривать г" как функцию К. Из (79.11) имеем 6 тз) рассеяние лтомлмн выстрых заряженных микрочдстнц 335 Ьгргя Зная плотность электронов внутри атома, мы можслг с помощью (79.2) определить энергию взаимодействия (/(г) между атомом и рассеиваемым электроном. Таким образом из опытов по упругому рассеянию частиц может быть определен характер действующих на этн частицы сил. Еще более непосредственно этот же вывод следует из формул (78.24). Амплитуда рассеянных волн А (6) зависит от 6 только через вектор К (78.23), поэтому ее мо>кно рассматривать как функцню К, т. е.
А=А(К). Обращая тогда интеграл Фурье (78.24), найдем (/(г)= — — —. ) т 3( е ' 'А(К) и/(л»(/(, с(/(». (79.24) (2л)»,),) .) Поэтому, знзя из опыта А (К), мы найдем (/(г), т. с. энергию взаимодействия. При этом нужно иметь в виду сше следующее. На опьпс мы не определяем непосредственно А (К), а определяем эффективное сечение о (6) = ! А (К),-'. Поэтому, зная о (6), мы можем найти А (К) только в том случае, если амплитуда А (К) действительна. В противном случае фаза амплитуды А (К) остается неизвестной. Как видно из (78.24), А(К) будет действительна, если (/(г) = =: У ( — г), п частности, для центральных снл. /(алас, обращение интеграла (79.24) требует интегрирования по Лю /(н, К» от — оз до +со.
Стало быть, для нахо,кдения (/(г) мы должны зйать рассеяние для бесконечно больших импульсов рассеиваемых частиц (так как 0(К.==-2р/й=4л/Л). Ограничиваясь разом, эта величина может быть получена из опыта. С другой стороны, эту же величину можно вычислить теоретически, так как вероятность того или иного положения электрона в атоме определяется через волновую функцию (тр ~з. Как мы уже отмечали, атомный фактор г" (К) может быть также оп- ь ределен из опытов по рас- / а сеянию рентгеновских лучей.
';г Это опять позволяет найти р, Весьма интересно срав- ,ч нить предсказание квантовой механики с результатами опыта в отношении такой дели- // катпой величины, как распределепие среднего заряда внутри атома. Опыт превос- (7 И Цс) г,А ходпо подтверждает теорию. На рис 64 в качествеиллю- Рнс 64 Плотность электРического за- ряда в Не как функпия расстояния г, страции мы приводим вели- в ! — нс рассеянию электронов; т — пе рассея- чину Апрг по измерениям нню рентгеновских лучей, 3 — теоретическая. рассеяния рентгеновских лучей и электронов в Не и теоретическую кривую для этой же величины, которая получается из волновой функции тр для Не (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
