Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 64
Текст из файла (страница 64)
9 122). Замечательно совпадение максимумов и экспоненциального спадания р при г-ь оо. тсо! ия столкновении ззб (гл. хн! импульсом р (энергией Е=р'/2р), мы мотком вычислить лишь часть интеграла (79.24): зр +— и (/(г)= — — — з Зз Зт е ' г,( (К) ЫК,.~(К, /(К . (7924') 2пйз ! à à à — нкг за Если отброшенная часть интеграла мала, то вместо истинной потенниальной ввергни Ь'(г) мы получаем сглаженную (/(г), т. е.
из опыта по рассеянию частик с импульсом р, следовательно, с длиной волны 7.=2нй/р, нельзя сделать вывода об изменениях (/(г) на масштабах порядка Х, так как в интеграле (79.24') отсутствуют гармоники е !к" с К ) 4и//г=2р/». Это есть выразкение хорошо известного факта, согласно которому нельзя получить изо. бражеиие деталей объекта, размеры которых меньше длины волны, применяе.
мого для осаешения света т). 9 80. Точь!ая теория рассеяния. Матрица рассеяния Обратимся теперь к точному решению уравнения (?8.!'): 9'зР+/тззр = (/ (г) 'Ф. (80.1) Это уравнение отличается от уравнения (49.2), подробно рассмотренного в отделе общей теории движения в поле центральной силы, только множителем — 2(г/г!з и порядком расположения членов.
Поэтому собственное решение уравнения (80.1), принадлежащее энергии Е=лз/тз(2(з, квадрату момента импульса Ма=йз(((+1) и проекции момента Мл=йт, согласно (49.4), будет зР/ (г, 0, гр) =-)т/(г) У/,„(0, гр), причем, если положить Р,=и/(г, то из (80.1) получим уравнение для и!'! — „, + (йз —,, ! и/ = (/ (г) и/, они/ I з !(!+!)! (80.3) совпадаюшее по существу с уравнением (49.10). Общее решение уравнения (80.1), принадлежашее энергии Е = лз/гз/2р, может быть написано в виде разложения по ортогональным функциям зр/ „,(г> О, гр): ч» т=-~-1 зР(г, 0, гр) = У', ~~ Спай/(г) У/, (О, гр).
(80.4) /=ам=-! Представляя решение в форме (80.4), мы тем самым ищем его в виде суперпозиции состояний, отличаюшпхся значением момента импульса (число !), и его проекции на ось ОУ (число т). г) разумеется, что зги же замечания полностью относятся также к определению р (г) чюрез интеграл (79.23). ТОЧИЛЯ ТЕОРИЯ РЛСССЯНИЯ.
МЛТРИЦЛ РЛССЕЯНИЯ ззт о оо! т, е, представляло бы наложение первичной, плоской волны и волны рассеянной. Это решение обладает симметрией вращения около оси ОЛ и поэтому не зависит от угла ср. Частное решение, не зависящее от тр, получится из (80.4), если там откинуть все члены суммы с и ~. О. Так как У!о (В, тр) только множителем отличается от полн- нома Лежандра Р,(со»'В) '), то мы можем представить искомое решение в виде ф(», В) = ~ С!)Л»т(») Р,(соз В). т=о Дальнейшая задача заключается в определении амплитуд С,.
Рассмотрим, каково будет асимптотическое выражение для функции (80.6). Согласно (49Аб') )тт(») при»-и со имеет вид А а«п( ~~~«~. Для удобства дальнейших вычислений целесообразно положить л1 се!= — — +т)! и выбрать такую нормировку для функции Рт(»), что А=1/й. Тогда л1 мп (Мà — -+Ч!) 2 )т»! (»), (80.
7) При таком выборе нормировки асимптотическое выражение для функции тр(», В) получает вид и! «О ( м -! — -Р!и! е ТР(», В),, = ~ С,Р, (соз В) т=о «'л! -и + — -т~,~ ). (80.8) Теперь следует выбрать С, так, чтобы (80.8) совпало с (80.5). Для этого разложим плоскую волну е»а'=е»е'"" по полиномам Лежандра. Это разложение имеет вид') «О .
и! е'ае = ~х', (2(+ 1) е а 1»т — ' У! а 1, (й») Р, (соз В), (80.9) т=о где 7! Р 1, (й») есть функция Бесселя порядка 1+!1». Физически это разложение означает представление плоской волны в виде супер- позиции стоячих, сферических волн, т. е. разложение по состояниям с различным моментом импульса относительно начала координат ') См.
(25.!6). е) См., например, В. И. С ми р и о в, Курс высшей математики. т. И1, Ч, 11, «Р!вука», !969, стр. 558. Для задачи рассеяния нам нужно, как было объяснено в 9 78, найти такое частное решение, которое асимптотически имело бы вид тр, = е'"'+ А (В) —, (80.5) ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ (ГЛ. ХИ! 338 А (8) = ~~) —..„'- Р, (соз 8), (80,11) с=о мы можем представить асимптотическое выражение для 4Р(г, 8) (80.5) в виде ср(г, 8), .
лс . л1! „щ( со — — -м + — ) с=а Сравнивая (80.12) почленно с (80.8), находим .л1 С,е с"1 = (21 + 1) е ' . лс Се ' ' =(21+1)+Аь ~ (80.13) (80.13') откуда Ас =-(2(+1) (е""с — 1). Стало быть, амплитуда рассеянной волны А (8) равна А (8) = —, !) (21+ 1) (е""с — 1) Р, (соз 8). (80.15) с=о Искомое эффективное сечение, согласно (78.10), есть попросту )А(8))о: о (8) = —, ~~) (21+ 1) (е '"' — 1) Р;(соз 8) . (80.16) с=о Полное эффективное сечение для упругого рассеяния будет равно ') о = ~ О (8) сИ = -„- ~~ (21+ 1) з(пос)с.
(80.! 7) с=а с) Так кок ~ Р-'(со!О) о(! =в 4л (21+1) ' 4л 5 Р,(сся О) Рл (ооо О) Ж) =0 4л (1 оо 1'). (точка г=О). Каждый член суммы (80.9) есть сам по себе решение уравнения (80.1) при )г(г) =О, т. е. для свободного движения, принадлежащее заданному моменту импульса (число 1). При больших г имеем ос+ *с, (йг), „= 1гс ~ зсп~ )сг — е2-). / 2 .
С лс! (80.10) Полагая еще $60) ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 339 Отсюда мы видим, что как дифференциальное, так и полное сечение вполне определяются фазами рассеянных волн т)!. Часть полного сечения а, = - -", (21 + 1) 3 !пз т)! (80.18) есть эффективное сечение для частиц, обладающих квадратом момента импульса ту)з=т!»1(1+1) относительно центра сил. Эффективное сечение а, часто называют «парциальным», На рассеяние можно распространить систематику термов, принятую для дискретных состояний.
Тогда говорят об «з»-рассеянии (1 = О), «р»-рассеянии (1=1) и т. д. «з»-рассеяние сферически симметрично, «р»- рассеяние обладает симметрией диполя. Проводя параллель с классической механикой, можно сказать, что рассеяние 1-го порядка соответствует частицам, проходящим на расстоянии р, от центра сил (р, — параметр удара), причем (80.19) где р — импульс частицы, Л вЂ” длина волны'). В квантовой механике состояние с определенным моментом не соответствует какому-либо определенному параметру удара р.
Однако радиальные волновые функции )ст (г) имеют максимум около г=рн На рис. 65 заштрихованы области, где)с) (г) заметно отлично от нуля. Как следует из (80.16) и (80.17), для определения рассеяния достаточно знать фазы рассеянных волн т). Для нахождения их требуется найти решение уравнения (80.3) с асимптотическим поведением (80.7). Задача эта не является простой. В общем случае необходимо численное интегрирование '). Если число существенных фаз невелико, то разумно представить экспериментально определяемое сечение а(8) через эти фазы.
Такой способ анализа опытных данных называется ф а з о в ы м анализом. Как видно из формулы (80.18), л!аксилтальное ппрциальное сече4л Лз ние равно —;(21+1) =--(21+1). Если фаза т), мала, то о, = 4п и = —,; (21+1) т)). В том случае, когда все фазы т)т< —, целесообразно применять метод Бориа и вычислять (или определять из опыта) непосредственно А (8).
Рассмотрим теперь парциальные волны, принадлежащие орбитальному моменту 1, на больших расстояниях от рассеивающего ') По классической механике М=рр, Р=М!р. з) Только для кулоновского поля ряд (80.)5) суммируется в конечном виде и ведет к формуле Резерфорда. нл, юн тсория столкновп(ни центра. Из (80.8) видно, что такую парцнальную волну можно представить в виде суперпозиции первичной, сходящейся волны +г (аг — - -) и рассеянной, расходящейся волны г л( ( — ((аг — . ) +((аг — )1 ((2(+))Р((совр) ( я- е е тр((г, 0)г 2)т г г Э( (80.20) причем еи(ч( (80.21) Очевидно, что величина 3( определяет отношение амплитуды расходящейся волны к амплитуде сходящихся, первичных волн, Рис.
65. Радиальные волновые функции. а) «т«рассеяние, р«О. 6) «р«.рассеянис. Заштрихованы областя, где а((г) заметно От- лично от нуля. имеющих заданный орбитальный момент 1 и заданную энергию аз)тя Е = †. Иначе говоря, она преобразует волны, приходящие 2И из — со в волны, уходящие в +ос, и поэтому является частным видом матрицы рассеяния для парцнальных волн, общее определение которой было дано в 2 44. В рассматриваемом теперь случае она имеет диагональный вид т(и (и) З(,т;с, ш' = е би бшш' и, в отличие от определения, данного в 2 44, не содержит явно моментов времени 1, 1, по той причине, что в этом параграфе мы пользуемся стационарным методом решения уравнения Шредингера, считая волновую функцию пропорциональной множи- ( — — и (т — («) телю е В.
Гайзенберг (1942) высказал интересное предположение о том, что в релятивистской квантовой механике волновая функция иа то'1нля теоРия Рлссгяпия л1лтРпцл Рлссеян!!я 34! 4 ЛЛ1 малых расстояниях между частицами может быть вообще ли!вена физического смысла. Физический смысл сохраняется лишь за волновыми функциями на бесконечности. Так как оператор 5 == е11! (Ч вЂ” оператор фазы) как раз определяет поведение волновой функции на бесконечности, то Гайзенберг предположил, что оператор фазы !) является более фундаментальной величиной, нежели оператор Гамильтониана Й. Казалось бы, что без модификации самой теории относительности для малых пространственно-временных масштабов вообще нет необходимости заменять чем-либо теорию, основанную на гамильтоноаом методе.
Тем не менее идея Гайзенберга об особом значении матрицы рассеяния оказалась искл!очительно полезной в теории элементарных частиц, так как именно аппарат матрицы рассеяния позволяет обойти некоторые принципиальные трудности в этой теории. Рассмотрим теперь простейшие аналитические свойства матрицы рассеяния, в которых отражаются важные физические особенности квантсвых систем.
Матрица рассеяния как функция волнового вектора й может быть аналитически продолжена в комплексную плоскость )2 при действительных значениях углового момента 1' нли в комплексную плоскость 1 при действительном л. А. Полюсы матрицы рассеяния в комплексной плоскости й Рассмотрим сначала первую возможность, полагая й = я, + !'и, й, = Ке/г, к = )гп л) О. Для чисто мнимых значений я (следовательно, для отрица- Г!221 ! тельных значений энергии Е= — ! волновая функция !Р1(г, В) 2в 1 при г-Рсо, согласно (80.8), приобретает вид .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
