Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 65
Текст из файла (страница 65)
к! . к1 !Р1(г, В) С1Р! (Со28) — к — ! — +!ч! к +1 — 1ч1) (80 о8) 2 а 2 2кг Допустим, что рассматриваемая система имеет связанные состояния при отрицательных значениях энергии Е = Е„Е„..., Е„,... Такие состояния, как мы знаем, описываются экспоненциально убывающими волновыми функциями е-"'. Поэтому для связанного состояния второй член в (80.23) должен равняться нулю. Отсюда следует, что для связанных состояний е !ч! =0 или 51(/г) е в ' ' = со. (80.24) ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 342 [гл. хп~ Иными словами, матрица рассеяния как функция комплексной переменной к = ко+ 1м должна иметь полюсы на мнимой оси в верхней полуплоскостн при й„=рхн, х„) О. Эти полюсы соответствуют возможным связанным состояниям— дискретным уровням энергии.
Они изображены на рис. 66. Наряду с полюсами, соответствующими связанным состояниям, матрица рассеяния может иметь полюсы и при положительной энергии. Такие состояния называются резонансными, Резонансные состояния нестабильны и распадаются с течением времени. Поэтому зависимость от времени волновой функции резонансного состояния чрю если это состояние возникло в момент времени 1=0, имеет вид гр(г, 1) =Ф(г) ехр~ — — „(Е,— 1 2-) ф (80,25) так что энергия этих состояний име- ет малую, отрицательную, мнимую до- бавку: Рис, 66.
Полюсы матрицы рассеяния 5 в комплексной плосности переменной А. Полюсы, соответствующие связанным састоиниим, отмечены крестинами, соответствующие ре. зонансам, — отмечены кружками. Е=Š— 1 —. .р, 2' (80.26) Соответственно этому, в комплексной плоскости и возникают полюсы матрицы рассеяния в точках й = /г, — т„к, ) О. (80.27) 2дз При малой скорости распада Г, и х, малы, поэтому Г,— — й,к,. Условия, при которых возникают резонансные состояния, будут рассмотрены в 2 81. Частным случаем резонансных состояний являются «квазистационарные» состояния (см, 2 99), Б. Полюсы и траектории Редже Обратимся теперь к рассмотрению комплексной плоскости углового момента 1. Будем исходить из разложения амплитуды рассеяния по парциальным волнам (80.!5).
Заменим в этой формуле сумму по дискретным значениям 1 контурным интегралом (преобразование Зоммерфельда — Ватсона). Для этого необходимо найти такие аналитические функции Е(1, л) комплексной переменной 1, которые бы совпадали в целочисленных точках 1=0, 1, 2, ... с Я,(й). Не останавливаясь на математических деталях этой проблемы'), будем считать, что такое аналитическое продолже- 0 Эти вопросы рассмотрены, например, в книге В. де Альфа р о, Т. Ред же, Потенциальное рассеяние, «Мир», !966. % ао) точнтя теория рдссвяния. матрица рассеяния 343 Рнс. 6?. Комплексная плоскость переменной 1.
Полюсы функции (а!н лГГ ' отмечены кре. сгиками. С- колодный контур иягегрнроаання, деформиронанный контур состоит иа прямой С' и удаленного полукруга СП Полюсы Г = а (й) отмечены кружками. г) доказательство этого предположения длн широкого класса потенциалов, так же как и доказательство исчезновения интеграла (80.28) на бесконечном полукруге, было дано Редже ((939). а) Предположение об одном полюсе необязательно.
Оно сделано лишь ради упрощений формул. ние для парциальных амплитуд 5г((г), а также для полиномов Лежандра Р,(созВ) найдено. Тогда амплитуду рассеяния (80.15) можно представить в следующем виде: А (й, 6) = — ~ —,+, (е""г — 1) Р, ( — соз 6) с(1. (80.28) с Контур интегрирования С показан на рис. 87.
Функция (з(п п()-т ( — ()г имеет полюсы при целочисленных 1 с вычетами, равными Поэтому вычисление контурного интеграла, в соответствии с теоремой Коши о вычетах, приводит к исходной сумме (80.15), если (е г"г — !) пе имеет полюсов на действительной оси '). Г ь"" Допустим теперь, что мат- 19)1( рица рассеяния 5 (л, 1) = е '"г' ' как функция комплексной пе- о1=(г(л) т о ременной 1 имеет полюс при некотором значении 1= гх (л) = р '( = се, (/г) + (ай (й) г в общем случае зависящем от (г.
-3 -?~ Д ? г 3 4 а((( Впервые такие полюсы были ) с ( рассмотрены Т. Редже (1959). Поэтому их называют пол юс а м и Р е д ж е. Функции и ((е), б" ь""У описывающие движение полюса в комплексной плоскости 1 в зависимости от действительной переменной й, называются траекториями Редже. Деформируем контур интегрирования С в контур, состоящий из прямой С и бесконечно большего полукруга С". Предполагая, что подынтегральное выражение в (80.28) исчезает на полукруге С" и что в правой полуплоскости 8 (й, 1) имеет лишь один полюс в точке 1=се (Й) с вычетом, равным Р (й), мы получим из (80.28) ') А (лг В) ™ 4~ ~ . ( [5 (1, й) — 11Рс ( — сов В) г(1+ с' твогня столкновении )гл, хн! В этом выражении второй член имеет резонансный характер около точки а(й,) =-л, где п — целое число. Поэтому в окрестности этой точки можно отбросить интеграл по линии С'. Далее, з!ила(й) в окрестности этой же точки можно заменить его разложением в ряд з(игла(ь))=( 1)ел[а (йо)(/г — йо)+ ..+(ае(/го)+ ), (80.30) где а,=пиеа, ао=!пза, а!(/го)= — ( ' ) и мнимая часть ао ( оа! (/г) е)гг переменной и считается малой величиной.
Замечая далее, что /г — й,= —,(Š— Е,), мы можем представить амплитуду А(й, 0) около точки Е = Е, в виде Š— Ео+ ! —— 2 где Г = ' сое (/го)(и,' (йо). Если а, = О, то амплитуда А (К 0) 2аоео н имеет полюс при Е=Е,, отвечающий связанному состоянию. При а, (йо) ~- 0 амплитуда А (й, 0) описывает резонансное состояние с Е,=Е, и шириной Г. Описание рассеяния с помощью полюсов Редже в нерелятивистской квантовой механике совершенно эквивалентно описанию, вытекающему из решения уравнения Шредингера.
Полюсы Редже, описывающие связанные или резонансные состояния, описывают те же связанные состояния и те же резонансные состояния, которые можно найти, решая уравнение Шредингера. В качестве простого примера полюсов Редже можно привести полюсы матрицы рассеяния 5 (й, 1) в кулоновском поле притяжения, описанной в 0 82. Парциальные амплитуды рассеяния в этом случае имеют вид (см. формулу (82.12)) г)- )+ (80.32) где $= ',' ~, à — гамма-функция. Гамма-функция имеет полюсы в тех точках, где ее аргумент равен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому парциальная амплитуда (80.32) имеет полюсы в комплексной плоскости 1 при 1 = а (й) =- — 1+ !'$ — и„ (80.33) где л, = О, 1, 2, ... Следовательно, для каждого значения числа л, имеется своя траектория Редже. Полюсы, соответствующие реальным физическим состояниям, суть полюсы с целыми положительными значениями (=О, 1, 2 ...
Из (88.33) имеем для этих значений ( . ео2!Уо)е 1 )!о ( -~- )-~- !) ' (80.34) % 811 ОБЩНГ1 СЛУЧАЙ РАССЕЧННЯ ДНСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 345 Так как энергия Е определена чаем терм Бальмера с« 717.»Р л йав 1 717«на да лв (80.35) где а=п,+1+1, а Е,— энергия основного состояния атома водорода. Таким образом, зная матрицу рассеяния, по ее полюсам можно определить энергию связанных состояний'). Траектории Редже принято изображать так, что по осн ординат откладывается Ке1, а по оси абсцисс — полная масса (илп ее квадрат) частицы. В частности, для атома водорода, в соответствии с (80.35), будем иметь М = =Ма (80 36) св а лзгэ ' 9 81.
Общий случай рассеяния. Дисперсионные соотношения Рис. 66. Траектории Редже для атома С помощью понятия мат- мэд~Р~д' рнцЫ раССЕяНИя МЫ МОЖЕМ по оси абсцисс отложена масса атома и = Е, е, обобщать полученные в пре- =- и.— —,,; в единицах —,'— , ласси ординаторЂ дмдущЕМ раЗдЕЛЕ рсэуЛЬтатЫ носительное квантавос число Нег.
Каждая траектория соответствует определенному эна- Н На Сдумай НЕУПРУГОГО РЗС- чению радиального квантового числа л сеяния частиц. При ' этом =О, 1, 2, 3, неупругое рассеяние мы будем сейчас рассматривать феноменологически как поглощение пучка первичных частиц в рассеивающем центре; именно, каждое неупругое взаимодействие частицы с мишенью выводит частицу нз числа упруго рассеянных.
Стало быть, в этом случае ампли- туда волны, упруго рассеянной центром, меньше амплитуды волны, падающей на центр. То есть ,'51)(1, и, следовательно, ') Приведенный результат был получен автором книги (1946). ') См., например, П. Кол л и из, Ю. Ск в а й р с, Полюсы Редже в гризике частиц, «Мир», !971. где М, — суммарная масса невзанмодействующих ядра и электрона.
На рис. 68 приведены эти траектории. Теория полюсов и траекторий Редже оказалась очень плодотворной в физике элементарных частиц'). формулой Е=- — ))а, то мы полу. )Р йн ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 1гл. хи! фазы тн в этом случае являются комплексными: т)!=а!+!(1„ (81.1) где р!(Е) описывает «поглощение» частиц центром. Нетрудно видеть, что теперь парциальное сечение упругого рассеяния напишется по-прежнему в форме ог! = — ".— (21+ 1) ~ 1 — 8! ',2 (81.2) и совпадает с (80.18) при !)!=О.
Вычислим теперь парциальное сечение неупругих процессов а','" Для этого заметим, что полное число частиц, поглощаемых центром (или претерпевающих там реакцию) в единицу времени, равно, очевидно, полному потоку, втекающему в этот центр. Этот поток равен 2И ~ !,'Р! дт дт где интеграл взят по поверхности, окружающей центр (!(з = г'!111), и под !р! подразумевается парциальная волна (80.20). Подставляя эту волну в (81.3), получим после интегрирования У = — ' (21 + 1) (1 — / 5! !').
(81.4) ! Парциальное неупругое сечение о,'" будет равно —, где 1, есть та поток в падающей плоской волне вида е! ', равный †. СледоваМ тельно, (81.5) Соответствующие полные сечения получаются суммированием по й а" = —,',- ~ (21 + 1) ) 1 — 5! !-', (81.6) о!" =- — 2' ,(21 + 1) (1 — ~ 8! Р) (81. 7) и, наконец, полное сечение всех процессов (упругих и неупругих) равно а' = о" + о!" = — —,, У (21+ 1) (1 — Ке 8!). (81.8) Здесь Ке5! означает реальную часть 8!. Таким образом, неупругое рассеяние может быть описано с помощью введения комплексных фаз.
Формально это можно рассматривать как введение комплексного потенциала У(г)=УТ(г)+Ы,(г.), так что показатель пре- з еп оыций слнчлй плссеяния. днспнпсиониын соотношения 347 и ломления среды п (г) = "у 1 — — становится также комплексным. Е В этой связи полезно привести обобщение уравнения непрерывности на случай комплексного потенциала.
Выписывая нестационарное уравнение Шредингера для (l (г) = Ут (г)+Ые (г) и повторяя выкладки 9 29, легко получить уравнение непрерывности в следующем виде: дм .. 2Уе — + 8 !к ! = —— ,е ш. д! Плотность частиц ш и плотность потока вероятности ! по-прежнему определяются формулами (29.4) и (29.5), а член в правой части возникает за счет того, что 1гпУ(г) эе О. Если Уе(0, то 6 происходит поглощение частиц с характерным временем т= —, и,' Если же Уе) О, то имеет место рождение частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
