Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Для переходов в непрерывном спектре она должна быть несколько видоизменена. Рассмотрим необходимые видоизменения для переходов из дискретного спектра в непрерывный, считая, что система имеет и тот и другой спектр (таков, например, спектр атомов). Состояния непрерывного спектра характеризуются непрерывными параметрами. Мы обозначим их через а, р, у.
(В качестве таковых могут быть, например, три компоненты импульса частицы р„, рю р,,) Пока будем явно писать лишь один из этих параметров й обозначим его через а. Энергия будет функцией этих параметров Е = Е (а). Соответствующей волновой функцией будет ф„(х). Тогда в (83.2) наряду с суммой по состояниям дискретного спектра появится еще интеграл по состояниям непрерывного спектра (интеграл по а) Е', е (а) 'ф (х, 1) = ~х„сь (() фл (х) е " + $ с„(1) ф, (х) е " )(а. (84.8) ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ !ГЛ.
Х!Ч 364 Считая, что функции (11„(х) нормированы к 6(а — и') и повторяя выкладки, ведущие от (83.1) к (83.8), мы найдем, что с Ел сЫ,л $ ))с (т) е' к с(т о (84.9) если система первоначально находилась в состоянии Ел, причем Ж',„(1) = ~(Р," (х) Ж' (х, !) фл (х) с)х. (84.10) Тогда Ю (С) % е: с+)олл е с с (84.12) где 1)7 л и )Р'*„суть матричные элементы компонент Фурье от ))Г(х, !). Подставляя (84.!2) в (84.9) и интегрируя по времени, мы находим — „(Е (а) — Ел+ Ка) С вЂ” „(Е (ас — Ел - Ка) С с 1 е — ! 1 л е" л са = са 1)) ал ° + я ()Уал с(Е() Ел+ 1 — „1Е (а) — ń— Кос) Так как (о)0, Е(а)»0, Е„(0, то первый член мал; второй член велик для Е(сс) =Ел+да.
Поэтому мы ограничиваемся вто- рым членом и получаем для вероятности перехода из Ел в интер- вал а, с(+с!а к моменту времени (1 — „(е (ас — е — ка] с е — 1 12 с!и. (84.!3) а (е(а)-ел-к 1 Вероятность же перехода из Ел в ос, а+с)а в 1 сек равна (а) л Последний множитель в (84.!4) для больших с отличается от 8-функции только множителем и. Поэтому вероятность Р,„с(а Дальнейшие расчеты зависят от предположений о характере зависимости )))с(х, !) От времени. Мы предположим, что оно монохроматично (при переходах в дискретном спектре обязательно нужно учитывать немонохроматичность реальных возмущений, в случае же переходов в непрерывный спектр это не обязательно и реальное возмущение можно считать монохроматическнм).
Итак, будем считать, что !)Х (х, Г) = ))7 (х) еем + У* (х) е-'"". (84.11) э о4! пеРеходы пРИ Возмущениях. 3АВисящих От ВРсме!П! збб можно написать в виде Р„(а) г(а = -"- ! )(Уао !т 6 [Е (а) — ń— йш) с(а. (84.15) Если состояние непрерывного спектра характеризуется несколькими параметрами а, (), у, то подобным же образом получим для вероятности перехода из состояния Е„в область а, а+с(а; р, р+!(р; у, у+ду в 1 сек: Р„(а, р, у) да с(р) с(у = ~ Ж ару. а ~~ 6 ггЕ (а~ ои, у) Еа йоу] с(а г(г!) с(у. (84.! 6) Нетрудно также получить вероятность переходов в непрерывном спектРе. Именно, беРЯ начальное состоЯние тй,„р,у, 1т. е.
сар (0) = 6 (а — а,) 6 (() — йо) 6 (у — уо)), аналогичным путем получим для вероятности перехода в 1 сек нз а„()„уо в интервал а, а+да; р, р+иР; у, у+с(у: Ра,р„„(а, Р, у) с(а $ с(у= = — „) Вару,«р.у. ~~6(Е(а, ни, у) — Е(ао нРо уо) йоу1да алан ду. (84.17) Этн формулы показывают опять-таки резонансный характер перехода, так как найденные вероятности отличны от нуля лишь для переходов, для которых йоа = Е (а~ Ря, "!) Еа йеаару, и (84.18) или йоУ = Е (!"' ()~ У) Е (соо Ро~ Уо) = йотару а,р,у„(84 ° 18') т. е. частота внешнего воздействия равна чистоте Бора для возможного перехода.
В точке резонанса вычисленные вероятности Обращаются в бесконечность. Однако по соседству с этой точкой они равны нулю '). Поэтому вероятность перехода в сколь угодно малый интервал энергий, содержащий точку резонанса, получается конечной. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять вместо параметров а, (), у, нумерующих состояния непрерывного спектра, какне-либо новые параметры, в число которых входит энергия. Пусть это будут параметры Е, а, Ь.
Они суть функции а, р, у. Имеем да!(р с(у =р(Е, а, Ь) йЕда г(Ь. (84.19) р(Е, а, Ь) называют плотностью состояний на интервал энергии, на интервал а, на интервал Ь. ') Это не сонсем точно, так как, согласно (84.!4), мы имеем дело лишь с приближением к б-функции, а не с самой б-функцией. См. 4 !!2.
[ГЛ. Х1Ч теОРпя 1(Влнтоаъ|х пгРсходОа 666 Подставляя это значение с(ас(р с(у в выражение для вероятностей (84.16) или (84.17) и интегрируя по Е, мы получим нуль, если интервал интегрирования не содержит точки резонанса, и конечное число, если содержит эту точку. Именно, из (84.16) и (84.17) получаем Р„(Е, а, Ь) с(ас(Ь =-;( Юа,м„)ор(Е, а, Ь)с(ас(Ь, (84.20) Р,ла1,(Е, а, Ь) с(ас(Ь == "- ) %/а„, „,а„т,(2р(Е, а, Ь) с(а с(Ь, (84.21) причем здесь подразумевается то значение Е, которое следует из условий резонанса (84.18), или (84.18') соответственно. В частном случае, когда за параметры а, (), у взяты три компоненты импульса частицы р„р„, р„целесообразно рассматривать импульс конечного состояния в сферической системе координат Р, О, ср. Тогда имеем с(р2 с(р, с(р,=-р2 с!р с(й, с(й = оси Ос(О с(ср.
(84.22) Энергия частицы есть Е= —, так что рос(р=-р — с(Е = ррс(Е. Р2 2 2 2сс ' сСЕ Внося это в (84.22) и сравнивая с (84,!9), находим р(Е, О, ср) =р(Е)з(ПО, р(Е) =рр=--(2р)чЕч, (84.28) Подставляя это в (84.20) и (84.21), находим Р„(Е, О, ср) сИ= — „/ Кает, /'р(Е) сИ, (84.24) Р«,а,ь(Е, О, ср) с(11= а ~(рвот,2,6,2,~2р(Е) с(12. (84 25) Эти формулы дают вероятность перехода в 1 сел из состояния п или а„р„уо в состояние с энергией Е, причем импульс частицы попадает в телесный угол с(сс.
8 8Б. Переходы под влиянием возмущения, не зависящего от времени Если возмущение не зависит от времени, то мы можем искать .ал — сус стационарные решения ф (х) е " уравнения Шредингера и, следовательно, свести задачу к решению уравнения Йоф(х)+ Ф'(х) ф(х) =Е2Р(х), методы приближенного решения которого были уже рассмотрены. Однако можно ставить вопрос и в духе теории квантовых пере- а 861 пеРехОды пРИ Возмушениях. не злвися!Дих От ВРемени 367 ходов. Обе постановки вопроса эквивалентно ведут к одним и тем же результатам '). Чтобы получить вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени, достаточно в формулах (84.16) и (84.17) положить ш =О.
Тогда условия (84.18) и (84.18') будут иметь вид Е (се, р, у) = Е„или Е (а, р, у) = Е (ае, рв, у,), (85.1) т. е. переходы возможны лишь без изменения энергии. Это следует из общей теории, так как энергия в рассматриваемом случае есть интеграл движения. Следователю!о, переходы под влиянием возмущения, не зависящего от времени, могут быть лишь такого рода, что происходит перераспределение энергии между частями системы или изменяются какие-либо другие механические величины (например, направление импульса частицы). В непрерывном спектре формула для вероятности перехода в 1 сек йз состоаниа Е (аа, Ра, У!) в состоЯние Е„ а, а +да, Ь, Ь + дЬ на основании сказанного получается прямо из (84.21) Ро,р,т, (Ее, а, Ь) с(а дЬ = — „! !Ре,,ь, о,а.т, (а р (Ео, а, Ь) НадЬ, (85.2) и если взять за а, р, у импульсы, то Р ч ч ч (Ев,'8, гР) дг1 = а- ~ Ф'е в, и ч 1! Р (Ео) дгэ.
(85.3) Эти формулы совпадают по виду с (84.21) и (84.25) н отличаются от них лишь резонансным условием (85.1), выражающим закон сохранения энергии. Заметим, что в случае не зависящего от времени возмущения не имеет большого смысла рассматривать переходы только между дискретными состояниями, так как условие равенства энергий начального и конечного состояний в этом случае может соблюдаться лишь в исключительных случаях. !) Ср. 4 112, где рассмотрено столкновение методом переходов, с 4 78, где та же задача решена методом стационарных состонний. Глава ХЧ ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМНЫ МИ СИСТЕМАМИ 5 86.
Вводные замечания Вопросы, связаннгяе с проблемами взаимодействия света и микрочастнц в их полном объеме выходят за рамки квантовой механики. Они не могут быть рассмотрены без привлечения дополнительных принципов, касающихся законов возникновения и исчезновения электромагнитного поля. Однако мы можем продвинуться довольно далеко, опираясь на полуфеноменологическую теорию излучения Эйнштейна, существенно базирующуюся на законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии между кваптовымн системами и полем электромагнитного излучения. В самом деле, поведение квантовой системы в заданном электромагнитном поле вполне входит в круг механических задач.
Поэтому мы можем, пользуясь теорией квантовых переходов, вычислить вероятность того, что под влиянием падающего света атом перейдет в возбужденное состояние или, напротив, нз возбужденного в более низкое. В первом случае энергия атома увеличится на величину Š— Е„, если Е„ — энергия исходного состояния, а Š†энерг возбужденного, во втором — на эту же величину уменьшится. Рассмотрим сначала первый процесс. Если мы будем считать, что добавочная энергия атома Š— Е„ заимствована от электромагнитного поля, то тем самым вероятность перехода атома из состояния Е„ в Е„ мы отождествляем с вероятностью поглощения порции энергии света, равной Š— Е„, т. е. как раз с той величиной, которая встречается в теории Эйнштейна (вероятность поглощения кванта света).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
