Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Чтобы это отождествление было возможно (не противоречило квантовой механике), необходимо, чтобы переход атома из Е„ в Е был возможен лишь в том случае, когда разность энергий Š— Е„ равна энергии кванта действующего света йв, т. е. когда соблю- ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАННЯ 369 дено условие частот Бора: Ьо = Е,„— Е„. (86П) Из теории квантовых переходов мы знаем, что это как раз имеет место, так как переход Е„-~Е возможен лишь тогда, когда Ет Ел в спектре внеШнего воздействия присутствует частота ы =- а =- ы„„.
В нашем случае это означает, что в спектре падающего света должна содержаться эта частота, иными словами, должны иметься кванты света с энергией (86.2) е=йы=ń— Е„. Более того, мы знаем, что переход Е„- Е„целиком осуществляется той частью возмущения, которая гармонически зависит от времени с частотой ы „. Таким образом, если мы представим себе, что падающий свет разложен на совокупность монохроматических волн, то переход Е„ -+ Е полностью реализуется за счет той волны, которая имеет частоту ы „и соответствующие кванты е = ло „. Переход атома под влиянием света из возбужденного состояния Е в низшее Е„, если опять применять закон сохранения энергии, нужно будет рассматривать как излучение кванта света е = Š— Е„. Вероятность этого перехода мы также можем вычислить.
Она будет совпадать с вероятностью вынужденного излучения в теории Эйнштейна (вероятность излучения под влиянием излучения). Мы не можем, однако, в рамках механики рассматривать третий процесс — спонтанное излучение атома, происходящее н в отсутствие внешнего действия — в отсу~стане, следовательно, падающего света. Если атом находится в возбужденном состоянии в отсутствие внешнего воздействия, то квантовая механика утверждает, что он будет сколь угодно долго находиться в этом состоянии. Состояния с определенной энергией, как мы знаем (9 ЗО), стационарны, а энергия есть интеграл движения. Между тем опыт показывает, что атом сам собой будет переходить в нормальное состояние, излучая свет. Это противоречие не должно вызывать удивления.
Мы с самого начала рассматриваем чисто механическую проблему: движение электрона в заданном внешнем поле (иапример, в электростатическом поле ядра), и не учитываем того, что движушийся электрон создает электромагнитное поле, которое действует и на него самого. Короче говоря, мы игнорируем обратное действие поля электрона на самый электрон.
С такого же рода положением мы встречаемся и в классической механике. Если мы рассматриваем движение заряженной частицы, например, под влиянием квазиупругой силы, то мы 370 гззлнчснпс, поглощснпс и елссгянис светл 1гл. хч получим ответ, что частица, имевшая вначале энергию Е, будет сохранять это значение энергии и в дальнейшем. Если же мы учтем, что заряженная движущаяся частица создает электромагнитное поле, которое действует на нее, то мы обнаружим, что частица па самом деле будет терять свою энергию — излучать спет. Классическая теория дает, как известно, следующую форг)Е мулу для энергии --, излучаемой в ! сек частицей, гармонически г)7 ' колеблющейся с частотой го, и обладающей электрическим моментом') 0„а: = е" (0„)а (86.3) где (0к,)' означает среднее по времени от (0„,)а. Обратное действие этого излучения тормозит частицу, так что она постепенно останавливается. Эта задача об излучении с учетом обратного действия выходит по существу за рамки квантовой механики; она относится к квантовой электродинамике.
В этой книге мы не предполагаем касаться проблем квантовой электродинамики, далеких еще от полного решения '). Мы обойдем этот пункт, постулируя в соответствии с теорией Эйнштейна, что такое спонтанное излучение существует. Имея возможность на основе квантовой механики вычислить вероятность поглощения света, мы, опираясь на устанавливаемое в теории Эйнштейна универсальное соотношение (5.11) между вероятностью поглощения и вероятностью спонтанного излучения, сможем вычислить и эту последнюю величину. 9 87. Поглощение и излучение света Для решения задачи о поглощении или излучении света, согласно изложенному в предыдущем параграфе, нам следует подсчитать вероятность перехода атома с одного квантового уровня на другой под действием падающего света.
Для этого следует прежде всего определить взаимодействие оптического электрона в атоме со световой волной. Предположим, что мы имеем дело с поляризованным светом, электрический вектор которого есть б (х, т). Помимо электрического поля имеется еще и магнитное 76 (х, (); однако действием последнего на электрон в сравнении с действием электрического з) Схь, например, И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, аНаука», 1976, е) Квантовая теория излучения дает возможность обосновать теорию Зйнцгтейна. См.
по этому поводу книги: П. А. М. Д и р а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960, и В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956. % вт1 поглощение и излучение свгтл З71 поля можно пренебречь'). Действие электрического поля существенно различно, смотря по тому, меняется заметным образом поле Ж(х, 1) на протяжении атома или нет. Легко дать критерий, по которому можно различить эти два случая. Пусть падающий свет монохроматичен (или почти монохроматичен), и имеем длину волны, равную )..
Тогда (х т) = оо сов (мог ') (87.1) (здесь юо = 2лс)Х). Нас, разумеется, интересует поле не во всем пространстве, а только внутри атома. Пусть размеры атома равны ') а. Возьмем начало координат в центре атома. Тогда в пределах атома фаза волны 2лхул меняется на величину порядка +-2па!Х, и если размеры атома гораздо меньше длины волны падающего света, то изменением фазы внутри атома можно пренебречь, так что в каждый момент времени поле внутри атома может быть описано выражением б (х, )) = во сов (юо)) (8?.
1') и, следовательно, одинаково во всех точках пространства внутри атома, Условие малости размеров атома в сравнении с длшюй волны соблюдается в широких пределах (прн ) )>10-' см) (а= 10-' см). Ультрафиолетовый и видимый свет имеют длины волн, в тысячи раз больше 10-в см, так что условие ),~)а для такого света вполне соблюдено.
Иначе обстоит дело в области рентгеновских лучей, так как в этой области длина волны далеко не всегда превосходит размеры атома'). Задача о действии таких лучей в этом случае сложнее. Мы начнем с рассмотрения первого случая, когда длина волны гораздо больше размеров атома. При этом мы освободимся от частного предположения о монохроматичности света, считая все же, что встречающиеся в спектре длины волн велики в сравнении с размерами атома. Внутри атома будет тогда действовать электрическое поле света, одинаковое на всем протяжении атома, но зависящее от времени, обозначим его через о =8(1).
(87.2) т) Сила, действующая на электров со стороны магнитного поля, есть сила е Лоренца Р = — (чЩ, где ч — скорость электрона, с — скорость света. Сила с действия электрического поля есть еО. В световой волне и и Я~ одинаковы, поэтому действие магнитного поля в о/е раз меньше. Скорости электрона в атоме в 100 раз меньше с, поэтому магвитное действие в 100 раз слабее. е) а есть радиус области, где волновые функции заметно отличаются от О.
о) Часто интересуются действием рентгеновских лучей на внутренние электроны (К-оболочка). Размеры К-оболочки для элементов с большим атомным номером гораздо меньше оболочки, образуемой внешними электронами. Это позволяет расширить область длин волн, для которых можно пренебречь изменением фазы поля. 372 излучсние, пОГлОщение и РАсссягие свстя цл,хм При сделанных нами предположениях легко, пе прибегая к общему гамильтониану для электрона во внешнем электромагнитном поле, определить вид взаимодействия электрона с электрическим полем света (87.2).
Поле (87.2) выводится из скалярного потенциала гр(г, () = — мг= — (6,х+оау+о,г), так что силовая функция для электрона, находящегося в точке г, в этом поле будет равна %'(г, () == — егр =+ е($г) = — 80, (87. 3) где 0= — ег есть электрический момент электрона, если г есть радиус-вектор, проведенный от ядра к электрону '). Вводя еще единичный вектор 1, параллельный направлению поля Ж(1) =1. О(7), мы можем написать (87.3) в виде ж (г, 1) = 8' (1) . (1 0). (87.
4) Если через Не обозначить оператор полной энергии электрона, то уравнение Шредингера для волновой функции ф(г, 1) будет И'.Ф =Йоф+)Р(г, 1)$. (87. 5) Величину йу (г, 1) будем рассматривать как возмущение, что оказывается возможным при всех практически достижимых интенсивностях света '). Мы поставим теперь задачу вычислить вероятность перехода атома под влиянием светового поля с квантового уровня Е„(тр —.
тр,) на квантовый уровень Е (зр=зр ). Для того чтобы можно было полностью применить к этой задаче теорию квантовых переходов, развитую в Э 84, мы сделаем предположение, что поток света начал действовать в момент времени 1= 0 и был прекращен в момент времени 1 = Т. Если Т гораздо больше периода колебаний световых волн, то такое включение н выключение не повлияет на спектральный состав падающего, света. Согласно (84.?) вероятность перехода Р „из состояния Е„ в состояние Е к моменту времени (, равному или большему Т, выражается в виде 4нз Р, (о ),а (87.6) где (г' „(от „) есть коэффициент Фурье для частоты ю „от матричного элемента энергии возмущения 1Р'(г, 1). Согласно (87.4) ') Направление электрического момента считают от отрицательного заряда к положительному, а вектор г направлен обратно: от положительного ядра к отрицательному электрону. ') Так, поле солнечного света равно 0,1 ед. СГСЭ в то время как атомное поле м равно — 1О' ед.
СГСЭ. пз 373 поглощение н излучение сВетА 4 871 имеем (Р' о (1) = ) 8Р"- 'й7 (г, 1) 8Г„до = = — б (7) ~ 8Рт (1О) стьо 8(О = — б (1) (1Оосо) (87 7) где О „есть матричный элемент вектора электрического момента, имеющий компоненты с Г Е7о,„= — Е ) 8Р;оХ8Р„ЕЬ, .О,"„„= — е ~ 8фР8Р„~(о, О' „= — е ~ 8р,'„г8р„Г(о. (87.8) Из (87.7) следует, что компонента Фурье от Я7 „(1) равна компоненте Фурье от Ж(7), умноженной на — (1О,„,) (так как О „ не зависит от времени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
