Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Рассмотрение сложных систем, например, атомного ядра, с помощью комплексного потенциала называется о п т и ч е с к о й моделью. Локажем важную теорему, устанавливающую связь между мнимой частью амплитуды рассеяния вперед (6=0) и полным сечением. Из (80.15) и (80.2!) следует, что 1гпА (О) =- „— ~) (2(+1) (! — Рсе5,), (81.9) !=о где !гпА означает, как обычно, мнимую часть. Сравнивая это с (81.8), получим 1тА (О) = — -о'. (8!.10) Это н есть так называемая оптическая теорема.
Она позволяет определить мнимую часть амплитуды рассеяния для 0=-0 из полного сечения. Важные соотношения между мнимой и действительной частью амплитуды А ((е, 6) могут быть получены из аналцтических свойств этой амплитуды, частично уже рассмотренных выше. Эти соотношения называются д и с п е р с и о н н ы м и. Онн основываются на принципе причинности. Принцип причинности предполагает, что состояние квантовой системы в момент времени ! зависит только от ее состояния в предшествующие моменты времени !'(!. В квантовой механике этот принцип содержится в уравнении Шредингера, согласно которому приращение волновой функции за время Ж определяется значением функции в момент времени ! (ср.
9 28) '). Прямым ') 0 причинности и кпантоной механике см. подробнее 4 !40 н дополненне Х!!. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. ХГ1! 343 А()= —,~ с (81.1!) где С вЂ” замкнутый контур, содержащий точку г. Пусть точка г расположена в верхней полуплоскости. Тогда в качестве контура возьмем всю действительную ось — ОО(г(+со и полукруг бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости.
Устремим теперь точку г на действительную положительную ось. Так как, по предположению, А (г) исчезает при',г р-мОО, то в результате получим + го А (г) = —.-У ~ (81. 12) Интеграл в формуле (81.12) вычисляется в смысле главного значения. Для реальной части А (г) из (81.12) получаем следующее выражение: + СО !!еА (г) = — У (81.18) ') См., например, А. И. Бязь, Я. Б. Зсльлович, А. М. Перел о м о в, Расссяггис, реакнин н распалы в нсрелятнвнсгскон квантовой меха- пике, еыаукаь, 1971, гл.
3. !) Эти предположения необязательны. Они приводят к наиболее простым дисперсионным соотношениям. следствием принципа причинности является возможность аналптггггесгтого продолжения амплитуды рассеяния в комплексную плоскость энергии Е. В дополнении Х1! на простом примере показана связь причинности с аналитическими свойствами рас- Е сеянной волны по комплексной переменной го=- —.
я Наряду с комплексными значениями энергии Е можно рас)г йтЕ сматривать комплексную плоскость волнового вектора й= Й Наиболее простыми аналитическими свойствами в й плоскости обладает амплитуда рассеяния вперед А (й, О) = А (й). Эта амплитуда может быть аналитически продолжена на все комплексные значения переменной и, за исключением отдельных точек на мнимой оси, в которых она имеет полюсы'). Как было показано в й 80, эти полюса соответствуют или связанным состояниям, если 1птй) О, или резонансным состояниям прн !гпл(0. Предположим для простоты, что в рассматриваемой системе нет связанных состояний и что амплитуда рассеяния А (й) исчезает на бесконечно удаленном полукруге в верхней полуплоскости 1гп Й) 0а).
Для аналитической функции А (е) можно написать формулу Коши 5 а!1 оьшип слю!Аг! РАссеяния диспеРс!юииыг соот!юш!.иия 349 Мнимая часть амплитуды рассеяния является нечсююй функцией переменной й' =-г' (см. литературу в сноске на стр. 348). Это позволяет преобразовать формулу (81.13) так, чтобы интегрирование велось только по положительным значениям й'! о Воспользуемся теперь оптической теоремой (8!.1О) и заменим )г [!пА (й) величиной - — а„!(й). В результате получим 4н [(е А (/г) =;- ать ~ (81.15) о Формула (81.15) и есть дисперсионпое соотношение в его простейшей форме, выражающее действительную часть амплитуды рассеяния через полное сечение а„!. 1[исперсионные соотношения имеют широкое применение в современной теории рассеяния частиц, особенно в релятивистской области '). А.
Днфракционное рассеяние Допустим, что взаимодействие между рассеивающим центром и частицей сосредоточено в области радиуса )с, так что )с есть радиус сферы взаимодействия. Предположим, что длина волны падающей частицы к (()с. Тогда в рассеянии будет участвовать много парциальных волн Л' с орбитальными числами от 1=0 до 1=-.-)) 1. В этом случае сумму по парциальным волнам в (80.15) можно заменить на интеграл по Ж.
Далее, для небольших углов рассеяния О полинам Лежандра Р, (сок О) можно аппроксимировать функцией Бесселя ,(в((О) '). Таким образом, вместо (80.!5) будем иметь А (О) = —. ~ (21 + 1) (ез!"' — 1) а'о (О!) Ж ° о — ~ (е "' — 1) /о (61) 1 г(1. (81.15) о ') Впервые днсперсионные соотношения были получены К р о н и г о и (1926) и шпике. В теории рассеяния частиц онн стали применяться со времени работы М, Л. Г а л д б е р г е р а (1955). Строгое доказательство дисперсионнык соопюшсний было дано Н. Н.
Во гол тобо в ы и (1956). а) )(оказательство этого равенства си, Э. Т. У н т те к с р и Лж. Н. В а тс ьн, Курс совреиенного анализа, т. Н, Физнатгнз, 1963, стр. 206. !Гл. х!и теОРия столкновеюпт 350 Рассмотрим случай, когда рассеяние частиц вызвано их поглощением. Тогда фазы рассеянных волн ть чисто мнимые, так что т),=ф, (см. (81.1)). Чисто мнимой является и амплитуда А (0); А (0) = —, ~ (1 — е 'ч) У, (01) 1 Й. о Такое рассеяние называют дифракцнонным. Особенно простой случай реализуется, когда поглощение внутри сферы взаимодействия полное, т. е. рассеяние происходит на черном, абсолютно поглощающем шарике радиуса (т.
В этом случае ~, = ОО для 1( ЮХ и ~, = О для!) Й7х. Интегрирование в (8!.16) теперь выполняется в конечном виде и* А(0)= ~, ~ ТР(01)!г(1=- а 11()7Ь0), (81.17) о где з',(г) — функция Бесселя первого порядка. Стало быть, сечение рассеяния равно (81. 18) 0-' В функции от угла 0 оно лмеет вид кривой с резким максимумом при 0 = О и слабыми минимумами и максимумами вдали от О. В более общем случае дифракциопного рассеяния, зная из опыта сечение а(0), можно получить информацию о распределении коэффициента поглощения у(г) в окрестности поглощающего центра. Действительно, поскольку амплитуда А (0) теперь чисто мнимая величина, то А (0) =-1!' а(0) и она может быть найдена из измерений рассеяния. Формула (81.16), на основании известного свойства ортогональностп функций Бесселя пулевого порядка ~ У,(ах) У,(Ь.Т) хйх=б (а — Ь), (8! .! 9) о допускает обращение.
Умиожим равенство (81.16) на У,(01'), где à — некоторое фиксированное значение числа 1, и проинтегрируем результат по 0М от О до со (это допустимо, поскольку в возникающем интеграле существенны лишь малые углы 0). Воспользуемся далее формулой (81.!9), положив в ней х=0, а==1, Ь=!'. Тогда получим (опуская в результате штрих у числа 1): 1 — е 'т=-; $ А (0) Уо (01) Ос(О=Ь~ )/а(0) 70(0!) Ог(0 (81 20) о о На рис.
69 показан путь частицы внутри сферы взаимодействия. Если коэффициент поглощения частиц в функции расстояния г йап овшии сл»чли рассеяния. диспсрсионныс соотношения зб( от центра есть у(г), то + еп 2р,= ~ тз(г) с(х, (81,21) где интеграл взят по прямолинейному пути при заданном 1, т. е. при заданном параметре удара р=-(х'). Интеграл (81.21) легко преобразуется к виду ~,= ~ у(г) г, р=(й. (8122) Зная из опыта рп можно численными методами найти коэффициент поглощения частиц у(г). Дифракционное рассеяние наблюдается в случаях, когда имеется сильное неупругое взаимодействие, а длина волны рассеивающихся частиц мала в сравнении с радиусом взаимодействия.
Дифракционное рассеяние наблюдается, например, при рассеянии нейтронов на ядрах атомов при условии к ~)с. где »«'— радиус ядра ()с =г, Ач, г,= = 1,2 И-'а см, А — атомный вес ядра). При параметре удара А' В В' р . )х нейтрон «запутывается» в ядре, которое является, таким образом, для него черным телом. Дифракционная картина имеет место та1сже пРи Рассеа- Рис 69. Пионные лучи внутри нуклона. ННИ ПИОНОВ На НУКЛОНаХ (СР. Пря в я .еввя изменения фазы луче А'В' рис. 13). При достаточно боль- ввтегряровввяе идет вдоль АВ прп задан.
шой энергии пионов преобладает неупругое рассеяние, при котором пионы теряют свою энергию, порождая новые пионы. Картина упругого рассеяния в этом случае близка к картине дифракции на черном шарике. К .чучшему согласию с опытными данными приводит чисто мнимый гауссовский потенциал гз (у' (г) = (аЕе (81.23) Здесь Š— энергия пиона, а — некоторьш численный коэффициент, о — радиус нуклона (а 1,2 10 'з суи) а). ') Прямолинейный путь можно использовать, поскольку дифракционное Рассеяние сосредоточено в области малых углов. з) Д.
Блохинцев (1961). Опыты, пронзвелснные в последние годы на ускорителе в Серпухове,пока»миан»у медленный (логарифмический) рост радиуса а с ростом знсргии пиона. Теория упругого рассеяния получила существенное Развитие в работе А. А. Логунова и А. Н. Тавхслилзс, которые ввели понятие «квазипотенцнала», пригодного в релятивистской области (!963). тсояня столкновения 352 ~гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
