Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Далее видно, что все линии перестают существовагь при определенной критической напряженности поля, притом линия Не раньше, чем На, На раныьс, чем Нт и т. д., краспыс компоненты каждой линии раньше, чем фиолетовые. Явление исчезновения линий объяснено в $ !0), зоо пРОстш!Шпг пРпложенпя теОРгп! Возмигцгпп11 !Гл хн где О, = — ез есть компонента электрического момента на ось ОЕ '). Полная поп нпиальная энергия электрона будет равна и'(г)=(7(г)+со». (72.2) Ураппснпс Шредингера для стационарных состояний будет иметь вид — — — югеф+ ((7 (г) + еме) ф =. Еф. (72.3) 2р Возмущение 1)г относится к случаю, рассмотреннолгу в ч 67.
Именно, даже как угодно малое поле 6 меняет асимптотическое поведение потенциальной эпергии. Если е:=О, то [7'- 0 пр~ е-«:1:ОО, а если в -'О, то à — «! Оо прп а — «г!ЕОО. Поэтов!у мы можем применить теорию возмущений (при малых 1) лишь в смысле, разъясненном в Ч 67. Таким образом, применяя теорп!о возмущений, мы будем находить квантовые значения энергии Ел, при которых электрон находится вблизи атома достаточно большое время («квазистационарпыеэ состояния).
Рассматривая в этом смысле В' как возмущение, мы будем считать состояния электрона в атоме в отсутствие внешнего поля известными. Рассмотрим сначала водородоподобный атом. Энергию квантовых уровней атома в отсутствие поля обозначим через Е=Е«1, 0«:-1(тг — 1, п=-1, 2, 3, ..., (?2.4) а соответствующие волновые функции через =Йаг(г) Р! (сов б) ег™, — 1 -пг =-1. (72.5) Каждый уровень Е„'!' вырожден 21+1 раз в силу различных возможностей для ориентации орбитального момента Мю.
Поскольку мы рассматриваем определенный уровень и, 1, то мы можем опустить индексы и, 1, сохранив лишь т. Тогда для краткости функции, принадлежащие уровню Е'„1, обозначим через „(ю (ю „(ю (ю (72.6) Наиболее общая функция, представляющая состояние с энергией Еюш будет +1 !р= ~, 'саф". (72.
7) т=-1 Вычислим, каково будет среднее значение проекции электрического момента О, в таком состоянии. Имеем О, = ~ 1Р"О,!РсЬ= ~ ~с,"Ьс„~~тюО,фа сЬ= т юн = ~ ', ~~стст (Ою) тт, (72.8) т т' ') Заряд электрона мы считаем равным — е и начало координат берем в центре атома. ез! Раса!епленпг спектРллы1ых л1нп1п В электРпчГскол! пОле 301 где (О,)„„„= 1 !) "„"'Олр,"„г !(о (72.9) есть матричный элемент электрического момента О.. Из (72.1) следует, что матричные элементы энергии возмущения равны )Р~ллг =- (О;)шт'~.
(72.!О) Рычислпм (О,),„„. Подставляя в (72.9) волновые функции ХР,"1,„ пз (72.5) и имея в виду, что г=г соь0, получим СО л зл (О )„лл = — е '1)г,"!!'!(г ~ Р!"'Р!" сок ба(пСЕЮ ~ г'!" — л'ч'!а!Р, (72.11) о о о где и„ьл — некоторый добавочный член, пропорциональный первой степени поля 6, Расчет показывает, что в этом приближении, когда уже учитывается деформация атома, средний электрический момент О, не равен нулю, а пропорционален полю Оп О,= ион (72.13) Этот момент есть результат поляризации атох1а в поле.
Потенциальная энергия этого момента в поле О равна в (72.14) что соответствует работе поляризации )р = — ~ 5'((О,) а при увеличении поля от нуля до 8. Если и =': и', то этот интеграл равен иул!о, так как е'<'" — л'!Р ссть периодическая функция 1г. Если >ке !и =- !и', то второй интеграл в (72.11) есть четная функция гоэО и поэтому равен пулю. Таины образом, (О,)л„л =О. Вместе с тем в любом состоянии, принадлежащем уровню Е,'1, среднее значение электрического момента О, (72.8) равна нулю. Согласно (72.10) равна также нулю и энергия возмущения.
Отсюда следует, что в водородоподобпых атомах не может быть расщепления уровней в электрическом поле, пропорционального пол!о, так как средний электрический момент равен 'нулю. Расщепление, пропорциональное высшим степеням поля, конечно, будет иметь место. В самом деле, функции электрона в поле будут отличны от !рл! (ф,'1„,— нулевое приближение!). В первом приближении мы можем положить !р„пл = ф'„1,„+ ил1,л +..., (?2.12) ЗО2 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛ. ХИ Вместе с тем смещение квантовых уровней будет пропорционально квадрату поля О«.
В расчет величины а, носящей название поляризуемости, мы входить не будем. Иное положение вещей имеет место в атоме водорода, где помимо вырождения, связанного с различными ориентациями орбитального момента, имеется еще «1Р-вырождение. Каждому квантовому уровщо Е„" принадлежит п' функций вида (72.5), различающихся как числом 1(1=-0, 1, ..., и — 1), так и числом т.
Удерживая в памяти помер уровня п, мы можем выписать функции, принадлежащие уровню Е,"„и виде «Р)„„1=0, 1, 2, ..., и — 1; т=О, !-1, ..., + 1, (72.15) всего п«таких функций. Наиболее общим состоянием, принадле- жащим уровню Е,", теперь будет «- ! -!-! гр = 'У, '~ с!„,фг,„. (72.16) гу в м=-! (72. 17) будет, вообще говоря, не равна нулю и пропорциональна полю. В результате смещение уровней будет пропорционально полю, что и наблюдается на самом деле.
Таким образом, сущность различия в поведении в электрическом поле атома водорода и водородоподобных атомов заключается в том, что в первом случае в группе состояний, принадлежащих уровню Е,'„ имеется электрический момент, а ва втором случае в группе состояний атома, относящихся к уровню Е"„!, электрический момент отсутствует и появляется только в результате поляризации (деформации) атома. $73.
Расщепление спектральных линий атома водорода в электрическом поле Вывод обшей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именна, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (и=2) (первый уровень не вырожден и потому не расщепляется).
Таким образом, мы берем наиболее простой случай. Средний электрический момент ЕЕ(«, в состоянии гр, ввиду участия в суперпознцни (72.16) функций с различными значениями 1 ие равен нулю (см. расчет в следующем параграфе).. Поэтому и средняя добавочная энергия в поле О в состоянии гр 0 72! РАСШЕПЛЕНПЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ АТОМА ВОДОРОДА 303 Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями: =Е (г) У з-терм, зр210 = )221 (г) 1 1о фи!=%21(г) 1 и 1 — — )1221 (Г) )Г1 (73.1) р-термы. Согласно (25.16) ! .Гз ГЗ )гоо==-, )гзо — — [à — соз О, )г! 1 = ~~ — 21П 0е-'10.
(73.2) 1г4а' 4л 8л Далее, из (50.!9) получаем радиальные функции Я„11 г )120 = =- е (1 — ), (73.3) г ! — — г )т ==с )г еаз 2а' ! 1 где а — радиус орбиты Бора, а —,. н —.— нормнрующне мно),г2пз у ~з жителя. Пользуясь тем, что х=гз)песозгр, у=гз(п82(Игр, г = = г соз 0, мы можем написать функции (73.1) в виде 0 ! зрзоо зр1 . )220 1 (г)з Рг 4л ГЗ г $210 фз ~' 4 )721 ~ (г) з, - ° / 3 х+!у х-!.1'у зр211 фз [Г Р21 = з (Г) 8П г (г2 г 8л г )г2 (73.4) Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню Е'„будет 4 4Р= ~.', Сафа.
(73,5) 0=1 Чтобы определить приближенно квантовые уровни н волновые функции прн наличии внешнего электрического поля Ж согласно теории возмущений, нужно решить уравнения (68.10), которые в нашем случае имеют вид 4 [Е3 — Е+12гав)св+,г', (Р8 со=0, а, р=1, 2, 3, 4, (736) а~в )РВа = ~ фа ЕКЕ!гьа 4(О ° (73.7) 304 пРостш!шис пРиложснпя тсоРпп Возмущши!и !гл, хп Из представления функций в форме (73.4) легко видеть, что все интегралы (73.?), за исключением двух, именно, Ю'!» — — (у'е! — — еВ ~ 7 (и) Е (и) и' »Ъ, (73.8) в силу нечетности подынтегральиой функции относительно г, равны нулю.
Интеграл же (73.8) легко вычисляется в сферических координатах. На основании (73.3) и (73.4) имеем ю иаи г 1»ото= —,= — 4 4 4 е "-"(1 — ) — -- даган(пв !(го(Огйр. 4'! 1'!2о»,! .! .! (, 2а,) г 2п о о о Имеем ~ г' ейп О г(О»(гр = и' ~ ~ сова О з(п О с(О о(»р =- г'.
4и 3 о о о о Вводя переменную $=г/а, получаем окончателыго %'»а == !!'о! — — 12 е '" (1 — 2 $» »Ц = — ЗеВа. (73.8') 2) Напишем теперь систему уравнений (73.6) в явном виде. На основании сказанного о матричных элементах )уг„р, получаем (Е.! — Е) с»+ (у'»осе =- О, (Е,"— Е) с, + 1)ге,с» =-О, (Е.", — Е) са =-О, (Е,", — Е) с, — — О.
(73.6') Определитель этой системы Л»(Е) должен равняться нулю (см. О 68): (73.9) Отсюда находим корин Е„Е,, Е„Е„которые равны эисрпш возмущенных уровней: Е! Е»+ (У'ге Ее Ече 1)т»о Ет Е» Е»! (?3 10) Таким образом, вырождение снято только частично четверной уровень расщепляется лишь иа три разных '). Картина этого расщепления приведена иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
