Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 36
Текст из файла (страница 36)
чп 1) 0 будет также находиться в чистом состоянии ф (х, 1), которое можно найти из уравнения Шредингера (пдР" ( ' ) = ~ Н,„""ч',(и, 1) г(х" (46.11) или для сопряженной функции зр„-(х', 1) из сопряженного урав- нения — 1й "д, ' — — ~ Н* -ф' ( ", 1) г(л". дф* (л', г) р (46.11') рзм (1) =,У>Рофй(х > 1)фа(» 1). (46.4') Дифференцируя это уравнение по времени и выражая с помощью (46.11) и (46.11') производные волновых функций через оператор Гамильтона, найдем — "" =,— „~ Нзк-рк-и г(х" — )а ~ рзз-Н:,гс(х (46.12) (при этом мы воспользовались тем, что Н„"» =Н;;) или в операторной форме (46.! 3) где (Й, р| есть квантовая скобка Пуассона.
Это операторное уравнение позволяет определить оператор р для любого момента времени, если он известен при 1 = О. Преимущество описания ансамбля посредством оператора р в сравнении с описанием с помощью ффункции заключается в том, что оператор р позволяет единообразно рассматривать как смешанные, так и чистые ансамбли, Обратимся теперь к тем изменениям в операторе р, которые возникают в результате измерения. Пусть производится полное измерение (измерение величины или набора величин М). Пусть собственные функции оператора М будут ~р„(х).
Тогда вероятность найти М =М„будет (46.10). После измерений вознйкает новый смешанный ансамбль, в котором новые чистые состояния ~р„(к) ') Однако Р» могут изменяться я результате измерений. См. ниже. Здесь Н„„- есть матричный элемент гамильтониана в «хз-представлении. Вероятности же Р , будучи вероятностями начальных данных (Р, есть вероятность того, что при 1 = О система находится в состоянии ф (х, 0) = ф,(х)), конечно, не зависят от времени ').
Поэтому в момент 1 ) О матрица р будет равна МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ )в) будут представлены с вероятностями тв„, т. е. после измерения') (46. 14) р„'„= р,' сс„ф„* (х') тр„(х), и мы получаем совершенно новый смешанный-ансамбль. В квантовой статистике состояния никогда не характеризуются полным измерением. Поэтому там всегда имеют дело со смешанными ансамблями.
В силу этого оператор плотности р приобретает особо большое значение именно в квантовой статистике. С помощью матрицы плотности можно описать не только движение микрочастицы, но и макроскопических систем, а также взаимодействие микросистем с макроскопнческими системами. Как известно, в классической статистике ансамбль независимых систем (который обычно называют ансамблем Гиббса) характеризуется плотностью вероятности Р(р, х) такой, что величинаР(р, х) х х йрйх имеет смысл вероятности найти систему с импульсом, лежащим около р, и координатой, лежащей около ') х. Согласно теореме Луивилля эта плотность является постоянной, так что ы ю+1Н Р] 0 (46.15) где 1Н, Р]„= — — — — — есть классическая скобка Пуассона.
дН дР дН дР лл др дх дх др Из (46.15) следует, что дР— „= — (Н, Р]ию (46.15') р (х — хо а ТС(Р, «)=~у„х й а й». (46.16) ') Если, нонечно, не произведено выбора подсовокупности, скажем, с М =М„. При таком отборе полученный после измерений ансамбль будет чистым (с ср=фл(х)). л) Мы пишем в обозначениих, соответствующих ансамблю систем с одной степенью свободы х. Под р и х можно подразумевать совокупность импульсов и координат всех частиц, входящих в систему.
Аналогия между (46.15')' и (46.13) очевидна. Классический ансамбль Гиббса и квантовый смешанный ансамбль по своему существу (набор независимых систем) тождественны. Поэтому оператор р по аналогии с плотностью вероятности Р н называют оператором плотности. Более полно связь между р и Р может быть установлена, если вместо рлл ввести матрицу Й (р, х), строки которой нумеруются импульсом, а столбцы коор- динатой ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 1гл. чп Тогда ') Й (р, х) г(р = ~ р„ б (х — х') с(х' = ц)(х), - )р(х-х') л Й (р, х) с(х= ~ рхх 2„я дхс(х'=()рр — — и)(р), (46.17') где и) (х) и и) (р) — плотности вероятности для координаты х и для импульса') р.
Эти формулы совершецно аналогичны классическим: ) Р (р, х) с(р = ш„, (х), ) Р (р, х) с(х = ц)рл (р). (46.18) Более того, можно показать, что матрица)с(р, х) подчиняется уравнению, которое при определенных условиях (гладкость полей и гладкость самой функции Й(р, х)) превращается в классическое уравнение (46.16')'). Поэтому величина )7 (р, х) вполне аналогична классической вероятности (плотности вероятности) Р (р, х), и ее можно рассматривать как обобщение понятия вероятности на случай одновременно неизмеримых величин (акеазиеероятностьъ).
Величина же р„аналогична компонентам Фурье от плотности Р (р, х), т. е. величине . Р)х — х') Ь,„~ Р(р, х)е " с(р. (46.19) х) Чтобы получить (46.17'), следует иметь в виду, что . рх' 4)х(х') . х(х'=ах(р). р'2па ') Матрица Д (р, х) была введена автором книги (см. а. Р))уа. ()Бой 2, 71 (1940)). Глава тП1 ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ й4ИКРОЧАСТИЦ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ й 47.
Гармонический осциллятор В этой главе будут рассмотрены простейшие задачи атомной механики, относящиеся к движению частиц в поле потенциальных сил. Если силы не зависят от времени, то основной задачей атомной механики будет задача нахождения стационарных состояний системы. Действительно, в этом случае, согласно (30.8), произвольное состояние ф (х, () может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с постоянными амплитудами с„: где ф„(х) суть волновые функции стационарных состояний, а ń— соответствующие значения энергии.
Волновые функции ф„(х)— это собственные функции оператора энергии Й. Они определяются, согласно (30.4)„из уравнений Шредингера для стационарных состояний Йф= Еф. Задача о нахождении стационарных состояний есть вместе с' тем задача о нахождении спектра энергии Е. Особое значение этой задачи у(ля атомной механики заключается в том, что в противоположность классической механике квантовая механика приводит во многих случаях к квантованию энергии, т. е.
к дискретному спектру ее значений Е„Е„..., Е„, ... Эти значения часто называют квантовыми у р о виями или уровнями энергии. Если система (например, электрон в атоме, молекула и т. и.), обладающая таким спектром энергии, подвергается извне слабому 1В4 микрочлстнцы в полк поткнцилльных сил 1гл.юп Р„'1~„ Н = —" + —" да. 2р 2 (47!) Здесь р, — импульс частицы, р — ее масса, х — отклонение от положения равновесия, а пзе — собственная частота (циклическая) осциллятора, Заметим, что гармонический осциллятор, поскольку речь идет о механических колебаниях, является идеализацией, так как зна- чение потенциальной энергии 0 = †' хз означает, что по мере рюО 2 удаления от положения равновесия сила неограниченно возрастает.
Во всех реальных случаях, начиная с некоторых значений ампли- туды, появляются заметные отступления от гармоничности, а при больших значениях х сила взаимодействия стремится к нулю (а У— к постоянной величине). Однако для небольших амплитуд колеба- ний х вполне можно пользоваться представлением о гармониче- ском осцилляторе. Теория гармонического одномерного осциллятора имеет боль- шое значение в приложениях, так как подходящим выбором коор- динат («нормальные координаты») движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению совокупности независимых осцилляторов '). В квантовой механике под одномерным осциллятором мы будем понимать систему, описываемую оператором Гамильтона Н, равным, ') Если связь между системами сильна, то мы имеем одну целую систему.
Если внешнее поле велико, то уровни в системе заметно меняются. Поэтому предположение о слабости связи является сушествеииым. з) См. $ 109. Теория квантовых гармонических осцилляторов находит важное применение в квантовой теории поля. воздействию, то ее квантовые уровни не меняются (точнее, меняются мало). Однако благодаря внешнему воздействию система может переходить с одного уровня на другой, так что ее состояние может измениться значительно.
Вероятности этих переходов мы вычислим позже. Нахождение же возможных значений энергии позволит нам сразу сказать, каковы возможные изменения энергии рассматриваемой нами системы, если между ней и какой-либо другой системой или внешним полем установлена слабая связь'). Так, если найденные уровни энергии будут Е„Е„..., Е„, ..., Е, ..., то обмен энергий возможен лишь порциями: ЛЕ=Š— Е,.
Рассмотрим простейший случай движения частицы в потенциальном поле — гармонический осциллятор. В классической механике гамильтонова функция одномерного гармонического осциллятора имеет вид глрмоничаскии осциллятор в полной аналогии с (47.1), 29 2 (47.2) х I и 2Š— х,= ~~ —, Л= —. (47.4) )ьые Обозначая дифференцирование по 9 штрихом и рассматривая тр как функцию с, после элементарных преобразований мы приведем уравнение (47.3) к виду ф" +(Л вЂ” Ез) ф= о. (47.5) Нам нужно найти конечные, непрерывные и однозначные решения этого уравнения в интервале — со($(+ос.
Такие решения уравнение (47.5) имеет не при всех значениях параметра Л, а лишь при Л=2п+1, п=О, 1, 2, 3, ..., (47. 6) причем соответствующие функции ф„равны Р зР„Ее е ' Н„(9), (47.Л где Н„(5) есть полипом Чебышева — Эрмита и-го порядказ), определяемый формулой Н„(9) = еь — „„; (47.8) У2 н))'н при этом множитель перед е: выбран так, что функция зр„($) нормирована по $ к 1: +со +СО ~ зР,'(9) гЦ= ') е-1 Н„''(Е) Щ=1.
(47.9) з) Может возникнуть вопрос: почему имеет смысл называть систему с гамнльтонианом (47.2) гармоническим осцнллятором? Ответ заключается в том, что скотные, Описываемая гамильтонианом (47.2), излучает и поглощает только одну частоту гее (см. 4 90, А) и при а-ь О переходит в классическую систему с гамильтоновой 4гункцией (47.1) (ср. 44 34, 35). е) Подробности, касающиеся решения уравнения (47,5) и в особенности требования (47.6), изложены в дополнении 1Х. где Р,— оператор импульса, а Х вЂ” оператор координаты'). Соответственно этому гамильтониану уравнение Шредингера в «х»- представлении для стационарных состояний осциллятора имеет вид — — „—, + — ' хаф = Етр.
«ч пир )гы1 (47.3) Для решения этого уравнения введем безразмерные величины 188 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.ЧЦ! Таким образом, одного требования непрерывности и конечности ф оказывается достаточно, чтобы параметр А получал лишь дискретные значения (47.6). Но, согласно (47.4), этот параметр определяет энергию. Сравнивая (47.4) и (47.6), находим, что возможные значения Е„ суть Ев=йоза(п+ — ), п=О, 1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
