Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 33
Текст из файла (страница 33)
11. Это — бссконечная система линейных однородных алгебраических уравнений для определения амплитуд собственной функции гм и собственных значений оператора Е,. Как известно из алгебры, система однородных линейных уравнений только в том случае имеет решение, отличное от нуля, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль.
В нашем случае этот определитель имеет бесконечное число строк и столбцов') ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 164 !гл, нп а-ыу собственному значению Т.= Т, Эта же волновая функция в «х»-представлении запишется в следующем виде: ') трн (х) ~ сн (Ва) т)тл (х) ° В своем собственном представлении всякая вели шна изображав!ион диагональной матридеи.
В самом деле, если тйн(х) есть собственная функция оператора 1., то его матрица имеет элементы Т. „= ~ тР,';,(Лф„г(х = ~ ф,";Т.,,фн т(х =-(,„6„„, (4!.7) где с.„есть п-е собственное значение оператора (".. Поэтому задачу о нахождении собственных значений оператора (. можно рассматривать как задачу о приеедении матрицы оператора 1., да>шаго в произвольном представлен!в, к диагоналыюму виду (41,7). Так как коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Соответствующие формулы для случая непрерывных матриц получаются из рассмотренных выше заменой сумм на интегралы.
Вывод их настолько прост, что мы ограничимся приведением результатов. Среднее значение величины Ь будет равно В =1 1с (р ) ВР»с(р) др др (41.2') (импульсное представление) и 7. = $ ') тр (х') 1,,ф (х) дх' дх (41.2") (координатное представление). Вл!есто уравнения (41,4) будем иметь соответственно г)(-'.с (р) др = 7-с (р'), (41,4') ~ В, ф (х) с(х = Тл)! (х') (41.
4") и, наконец, вместо (41.7) Р ° = р'6 (р' — р), (41. 7') х, „ = х'6 (х' — х). (41. 7") Уравнения (41.4') и (41.4") будут либо дифференциальными, либо интегральными уравнениями. ') Функция фн (х) может быть непосредственно полу ~сна путем решения дифференциального уравнения Щр дф. Решение уравнения (4!.4) и (41.5) обычно не проще решения указанного дифференциалыюго уравнения.
Однако при приближенном решении уравнений (гл. Х!) уравнения в матричной форме оказываются весьма полезными. З 421 ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 165 й 42. Уравнение Шредингера и зависимость операторов от времени в матричной форме Уравнение Шредингера (28.3) может быть переписано в матричной форме, если разложить ф(х, 1) в ряд по собственным функциям фл (х) какого-либо оператора. Подставляя в (28.3) 4р (х, 1) в виде ряда ф(х, 1) = У',с„(1) фл(х), л умножая слева на 4р„"1(х) и интегрируя по х, находим (й"— "'ч = ~~Н лсл, т =1, 2, 3, ..., (42.1) л где Н,лл = $ 4Р,"„(х) Йфл (х) 4(х (42.2) Н..
=(файв„й =Клб.л. (42. 3) Подставляя эти значения Н л в (42.1), находим уравнения Шредингера для этого случая: (42.4) Отсюда с (1) =с„, (0)е (42.5) т. е. ампльнпуды стиционирных состояний гармонически зае44ся4п о4п времени. Это совпадает с выводами ~ 30.
Применим теперь уравнение Шредингера в матричной форме к вычислению производной оператора по времени. Дифференцируя по времени среднее значение (41.2), находим — = — ='~ ~'с,*л'— ',,"с„+У~' — „",Т,„с„+'~"~с*.(..„'-'-"-; 1Л 4 4Л Л 4Л Л из (42.1) имеем (й = УН;:;ме,, (Д -= Нл,с,. 4~лл4 ~4 л л .
ЛСл 7 ~л4,11 — ~ л А А есть матричный элемент гамильтоннана Й. Это уравнение по заДанным в начальный момент сл(0) (т. е. по 4Р(х, О)) опРеДелЯет сл(1) (т. е. ф (х, 1)). Пусть Й есть оператор полной энергии. Возьмем в качестве функций фл(х) собственные функции оператора Н.
Тогда с,(1) суть амплитуды стационарных состояний, а матрица Н „будет диагональной: 167 а 421 ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ ление). Тогда матрица Н будет диагональной: Нел = Еебвп Нтл = Етбте ° Предполагая еще, что оператор Е не зависит явно от времени, мы получим из (42.7) и (42.8) Ж1 1 в1) = .а (Е Еп4) 1 пт или ( щ ) 14отлЕтл~ (42.9) где Ет Ел Ытл а (42.10) есть боровская частота.
В частности, матрица оператора скорости будет иметь элементы (42.11) й = Вх1 аЦ = 44отпктт ,)тл ЯСНО, Чта Эта МОЖНО СдЕЛатЬ, таК КаК 2Рл(Х, 1) таК жЕ, КаК и фл (х), образуют полную ортогональную систему функций. Стало быть, в гайзенберговском представлении матричный элемент оператора Л определится по формуле Е л(1) =)4Р,'л(х, 7)ь2Р„(х, 7)дхп Етле4 '""'.
(42.12) Отсюда для Оператора, не зависящего явно от времени, ( В4) = л " = (4втпЕтл (1) (42.9') Эта формула отличается от (42.9) только тем, что зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторье Согласно (42.12) матричные элементы операторов, явно не зависяи4их от времени, в гайзенберговском представлении гармонически зависят от времени, с час4потами Бора 4о „. где х „— элементы матрицы координаты х. Соотношение между скоростью и координатой получается совершенно таким же, как для осциллятора, колеблющегося с частотой 4о „.
Формула (42,9) становится совершенно очевидной, если применить так называемый га й зе нбер говск и й способ п р едставлени я операторов. Этот способ заключается в том, что матрица какого-нибудь оператора Ь строится с помощью волновых функций стационарных состояний, взятых для времени Е , Еп! фл(Х, 1) =фл(х)Е ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ шв !Гл. Рн В случае непрерывных матриц вместо (42.1) будем иметь 1 НР Рс (р) г)р (42. 1') или, в координатном представлении: 111 .
=- ~ Н„Я(Х) дХ, (42.1") а вместо (42.8) (42.8') (42.8") Что же касается остальных формул этого параграфа, то они связаны специально с энергетическим представлением. Введение в рассмотрение непрерывных матриц, как видно из изложенного в Я 39 — 42, позволяет сделать матричнь1й способ записи операторов совершенно единообразным, так что все возможные представления операторов и волновых функций становятся совершенно равноправными.
Поэтому матричный способ записи операторов особенно удобен при рассмотрении общих вопросов теории. При решении же конкретных задач особенно употребительно координатное представление. Объясняется это тем, что энергия взаимодействия в нерелятивистской теории зависит только от координат, кинетическая же энергия есть простая функция импульса — ~. В силу этого в координатном представлении мы (' Р"- '1 12т)' получаем уравнение Шредингера в форме сравнительно простого дифференциального уравнения второго порядка. Однако при приближенном решении задач другие представления могут иметь преимущества перед координатным.
$ 43. Унитарные преобразования Рассмотрим преобразование какого-нибудь оператора О от одного произвольного представления к другому. Пусть в первом представлении оператор 6 изображается матрицей б', элементы которой нумеруются собственными значениями ..., С„,..., Е , ...оператора 1.(«~»-представление). Во втором представлении пусть тот же оператор () изображается матрицей 6", элементы которой нумеруются собственными значениями М =: = М„М„..., М„..., Ма, ...
оператора М (еМа-представление). Для определенности мы предполагаем, что С и М имеют дискрет- уннтлпныс несоьпхзовлния л <»! !69 (43.2) причем 5«а = ) <Рл (х) <ра (х) <(х, 5«,а = ~Ф,„(х) <ра (х) <(х. Подстановка (43.3) в (43.2) с учетом (43.1) дает 6«а = ~л ~~~~ 5л<а6л<л5ла (43.4) (43.5) Совокупность величин 5«а можно рассматривать как матрицу 5, строки которой нумеруются собственными значениями величины У., а столбцы — собственными значениями величины М. Наряду с матрицей 5 рассмотрим сопряженную матрицу 5', элементами которой являются (5 )ал< — 5л<а (43.
6) так что 5л=5« и, следовательно, строки матрицы нумеруются собственными значениями М, а столбцы — собственными значениями 1.. На основании (43,6) формула преобразования от 6 „ к 6„а (43.5) может быть написана в виде 6.„= ~ ~„(5 )..6„«5.„, (43.7) или, на основании правила умно>кения матриц, в матричном виде 6" = 5»6'5. (43.8) Таким образом, матрицу 5 и сопряженную ей матрицу 5 можно рассматривать как матрицы, с помощью которых совер- ный спектр. Если оператор 6 дан первоначально в <лх!>-представд ленни )6=6~ — !)!а~, х)1 н собственные функции операторов Х, и М суть <Р! (х), <Р! (х), ..., <Рл (х), ..., ф (х), ... и <р, (х), <р, (х), ...
..., <р„(х), ..., я<а(х), ..., соответственно, то матричные элементы оператора 6 в «<.»-представлении определяются формулой 6„,« =. ~ ф;;; (х) 6 ( — И вЂ”, х) <Р„(х) <(х, (43.! ) а в «М»-представлении 6«а = ~ <рал (х) 6 ( — <й —, х) <ра (х) <ьх. Спрашивается, какова связь между матрнцей 6' с элементами 6 „ н матрицей 6" с элементами 6,ай Разложим собственные функции оператора М по собственным функциям оператора <<ла (х) = ~л~~<рл (х) 5ла <рал (х) = ~~< <рт (х) 5та (43 3) л <л ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. ш~ 1то ~ ~~а 5та5лвбтл 6«в~ (43.9) или ~ 5ал5»в = 6«в, л т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
