Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В случае непрерывного спектра имеет место разложение в интеграл, подобный интегралу Фурье. Именно, в этом случае 99 изОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАТОРАми [Гл. и! й 22. Общий метод вычисления вероятностей результатов измерения Выше было показано, как находить среднее значение Е любой величины, изображаемой оператором 1„ и как находить возможные значения 1,„ 1'.„ ..., Т.„ такой величины. Теперь мы перейдем к вычислению вероятности того, что в некотором состоянии ф (х) в результате произведенного измерения механической величины 1.
будет обнаружено значение х. = 1,„. Основная идея вычисления основывается на принципе суперпозиции состояний. Пусть собственные функции оператора 1'. будут фл (х). На основании свойства полноты и ортогональности этих функций мы можем представить волновую функцию ф в виде суперпозиции ф(х) = ) ',с„ф„(х). л (22.1) Для сопряженной функции получим фл(х) = '~с*ф" (х) (22.1') (где т пробегает те же значения, что и п). Подставляя эти выражения для ф и 1рл в формулу для Среднего значения величины Т.
в состоянии ф, мы найдем Е = ~ фл (ЛР дХ = ~Ч ',.5', С*С„~ ф* 1ЛР„1(Х. (22.2) л т Так как ф„есть собственная функция оператора („то ~АР. = Т 4'л. (22.3) Пользуясь (22.3) и ортогональностью функций ф" и фл, мы получаем вместо (22.2) Е =~ч ~ч с*с„1,„6„„=,Р,'с,*,с,1.„ т. е.
ь = ~ ! с„!' 1'.„. (22.4) или ~ч,',~ с„)' = 1. л (22.5) Далее, умножая (22.1) на (22.1') и интегрируя по всему пространству, получаем 1 = ~ ф'ф дХ = ~Ч~ ~Ч~~ САС„~ ф" ф„1(Х= " ', У', С*Слб = '~ ~~ С„~' оэщнп метод вычисления вароятностап 5, ая! С другой стороны, если через гв (В„) обозначить вероятность того, что случайная величина Е имеет одно нз возможных значений Е„, то по общему определению среднего имеем Е= Ягв(Ь„)Г.„ я 5, 'гв (Е„) = 1.
(22.6) прн условии, что (22.7) (22.10) ') Для вполне строгого сравнения (22.6) и (22.4) следует рассмотреть такой оператор, который есть функпия Е н равен ! при Е = Е„и О, если Е ~ Е„. Сред. нее от такого оператора равно ! сл !а пэ (22.4) и равно гя(Е„) по (22.6), откуда н вытекает ! са )е = га(Еа). Сравнение (22.6) н (22.7) с (22.4) н (22.5) показывает '), что гв (Е„) = ( с„~а. (22.8) Вероятность найти значение механической величины В равным одному из ее возможных значений Е„равна квадрату модуля амплитуды собственного состояния ф„. Иными словами, эта вероятность определяется интенсивностью !с„!а, с которой собственное состояние ф, представлено в состоянии тр.
Для вычисления вероятностей того нлн иного значения величины, имеющей непрерывный спектр, поступаем соверщенно аналогично тому, как было сделано в случае дискретного спектра. Разложим рассматриваемое состояние ф по собственным функциям ф (х, Е) оператора 1,: тр(х) =)с(Е)ф(х, Е) йЕ, (22.9) прн этом тр (х, Е) нормировано к б-функцнн, а тр — к единице. Вычислим опять среднее значение Ь в состоянии тр: Е = ') ф' Еф йх = ~ ~ с* (Е') тра (х, В') йЕ' 1, ') с (Е) ф (х, В) Ы.
г(х, н так как ф (х, Ь) есть собственная функция, то М(х, Ц=Етр(х, Е); подставляя это в предыдущее выражение для Е н меняя порядок интегрирования, получим Е = ~ ~ с* (В') с (Е) ЕЫ.' йЕ ~ тР е (х, Ь') ф (х, Е) йх н в силу (21.12) Е = 1 1се (Е) с(1) гй.'ДЕ Ь (Е' — Е). На основании свойств 6-функцнн отсюда следует, что Е = 1 ! с (Ь) !в Е а.. [ЕО ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. Ш Подобным же образом получаем 1= ~фазр[(х= ~[(х~с'(1.')эра (х, Е) Ш'~с(Е)ф(х, Я[К = 1 1 с* а') с ((.) И: й. 6 (à — Ц = („~ б (Е) ~* Ж, т. е. 1 ~ с (У.) ~з сУ.
= 1 (22.11) Если вероятность того, что значение непрерывной, случайной величины лежит между ['. и [. + г([., есть в (Ц [(ь, то по общему определению среднего значения ь = ) [.в (1.) г(1. (22.12) при условии ~ в ([.) Ы. = 1. (22.13) Сравнивая (22.12) и (22.Щ с (22.10) и (22.11), получаем в(1,) Ы.=[с(1.) [з Ы,. (22.14) Таким образом, и в случае непрерывного спектра мы приходим к статистической интерпретации интенсивностей собственных состояний ) с (1) (за) Приведенные выше формулы справедливы лишь для чистого ансамбля, характеризуемого одной волновой функцией ф (х).
Для смешанного ансамбля предыдущие формулы должнь! быть несколько обобщены. Пусть мы имеем смешанный ансамбль, образованный из чистых ансамблей ф„ф„..., ф„..., смешанных в пропорции ЄЄ... ..., Р„... Тогда, если вероятность найти значение [.„Некоторой величины 1, в чистом ансамбле ф, есть ва (Е„), то полная вероятность найти Ь = (,„в смешанном ансамбле будет равна В(~чп ~л~~ аВа(1я) (22.15) а Подобным же образом для величины, имеющей непрерывный спектр, будем иметь в([.) Ы. ~Р,в (1.) Ж„ (22.16) ') Заметим, что формула (22.14) содержит как частный случай формулу (12А) дзя вероятности импульса. Дейстантельно, с(р„, р„, р,) есть амплитуда состояния ф с определенным импульсом, иными слоаамй, — собственного со- Р стояния оператора импульса. Поэтому с (р„, р, р,) и с(ь) (22.14) нмегот анало.
сичный смысл. а[ля перехода от (22.14) к (12,4) достаточно взять и начестзе Ь три компоненты импульса р„, р„, р,*и соответственно заменитыЫ. пронзеедением г[рзг[р„яр . Э 231 ОДНОВРЕМЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 1О1 причем шо (Т.„) = ~ с„„|е, шо (Ц = ( со (Ц )', (22.17) где с„н с (Е) суть амплитуды собственных функций оператора Т.: ф, (х) нлн соответственно ф (х, Е) в разложении ф„(х).
В соответствнн с формулами (22,15) н (22.16) среднее значение величины 1, в смешанном ансамбле есть (22.18) где Е, есть среднее значение 1. в чистом ансамбле ф: (22.19) 3 23. Условия возможноств одновременного нзмерення разных механических велнчнн Мы видели, что в квантовой области не существует таких состояний частиц, в которых импульс и соответствующая ему координата одновременно имели бы определенное значение. В таком же взаимно псключакнцем друг друга отношении находятся н многие другие величины.
В самом деле, чтобы существовали состояния, в которых две величины Ь н М одновременно имели бы определенные значения (Л(,)е = О, (ЛМ)' = О, нужно, чтобы волновая функция такого состояния была общей собственной функцией операторов Ь и М. Между тем уравнения для собственных функций операторов (. и М: (23.1) ~'рд = Тлрь н Мфм = Мфм. имеют, вообще говоря, различные решения ейь ~ фм. Поэтому в состояниях фы с определенным значением Ц(И )'= 0), величина М не имеет определенного значения ((ЛМ)е) 0) н, наоборот, в состоянии фм с определенным значением М ((ЛМ)'=0) величина Л не имеет определенного значения ((ЛЦе) 0).
Только в особых случаях две величины Т. н М имеют одновременно определенное значение (для этого нужно, чтобы фм = фь). Можно показать, что условием того, чтобы две величины Т. н М всегда могли иметь рдновременно определенные значения, является коммутативность их операторов Л н М. Иначе говоря, должно иметь место операторное равенство ') (23.2) 1.М =М1,. ') См, дополнение 1Ч.
шя изОБРАжение мехАнических Величин ОНБРАтОРАми 1гл. Н1 Напротив, если СМ~МЬ (23.3) то величины 1. и М не имеют одновременно определенных значений (кроме, может быть, исключительных). Две величины, изображаемые коммутирующими операторами, могут иметь одновременно определенные значения и поэтому, по крайней мере, в принципе, могут быть измерены одновременно. Две величины, изображаемые некоммутирующими операторами, не могут одновременно иметь определенные значения и поэтому не могут быть одновременнр измерены 1). Измерение одной из таких величин 1, приводит к состоянию тР».
Измеряя в этом состоянии М, мы получим некоторое новое состояние 1РА1, не совпадающее,с исходным тР». Иными словами, измерение одной из таких величин меняет состояние системы таким образом, что значение другой величины становится неопределенным. Мы видим, что и в общем случае мы встречаемся с влиянием измерительного прибора на состояние системы подобно тому, которое мы рассмотрели выше на примере измерения импульса и координаты (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
