Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. мы приходим к задаче о нахождении собственных функций и собственных значений уравнения (20.2) на основе естественных требований, вытекающих из условия сохранения числа частиц (20.4). Вместо «собственные функции уравнения» и «собственные значения параметра уравнения» мы будем обычно говорить о собственных функциях и собственных значениях оператора Ь, которым определяется вид уравнения (20.2). Мы будем считать, что никаких значений величины т'. нельзя наблюдать на опыте, кроме тех, которые являются собственными значениями оператора ). Иными словами, в квантовой механике постулируется: совокупность собственных значений оператора 1,: (.и 1.», 4.»,..., Б„,..., тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерения механической величины Л, изсбразсаемой оператором 1,.
Это и есть как раз тот постулат, посредством которого устанавливается связь между изображением величин операторами и опытом: математика позволяет предсказать набор сббственных значений, а опыт позволяет проверить, таков ли он, каким его предсказывает теория. Соответствующие собственным значениям 1,„1,», ..., т'.„,... состояния определяются собственными функциями »Р,, ф„..., ф„,... В каждом из этих состояний (ОТ.)» = 0 и величина Ь имеет только одно из значений 1.и У,„..., 1.„;..., соответственно.
Совокупность возможных значений некоторой величины мы будем называть с п е кт р о м этой величины. Спектр может быть д и с к р е т н ы м, когда возможны только отдельные значения 1,„1.„..., 1,„,..., либо с о с т о я ш и м и з о т д е л ь н ы х п о л о с, так что возможные значения 1, лежат в интервалах: т.т (с (т.„Е» (~ Л ((с«, вообще Л„(((.: либо, наконец, н е и р е р ы в н ы м, когда все значения ~ оказываются возможными. Когда возможные значения величины являютсядискретными, то говорят, что величина имеет к в а н т о в а ни ы е значения. В полуклассической теории Бора отсутствовали методы, позволяющие в общем виде решить вопрос о возможных значениях той или иной величины, в частности, найти квантовые значения этой величины.
Современная квантовая механика полностью решает этот вопрос, сводя его к чисто математической задаче нахождения собственных функций и собственных значений операторов, изображающих механические величины. Из самосопряженности оператора 1, следует, что наблюдаемые значения 1. будут вещественны: (20.5) Ь„= 1., *или С = с*.
я4 НЗОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАТОРАми [Гл. И! В самом деле, собственное значение Е„(или Т.) можно рассматривать как среднее значение величины Е в собственном состоянии»р„ (или»(»с соответственно). Но среднее значение величины, изображаемой' самосопряженным оператором, вещественно (см. (19.2)). Этим полностью разъясняется значение самосоиряженности операторов: саиосопряясенные операторы изображают ееи(естееннь»е величины. $21. Основные свойства собственных функций. Обратимся к рассмотрению важнейших свойств собственных функций самосопряженных операторов.
Сначала. ограничимся случаем дискретного спектра. Пусть мы имеем какие-либо две функции и, и и,. Эти функции будут называться о р то г о н а л ьными, если ~ и»"азах=О, (21.1) где интеграл взят по всей области изменения переменных. Для простоты мы обозначаем все переменные одной буквой х. Теорема, которую мы докажем, заключается в том, что собственные функции»р„и»р самосопряженного оператора Ь, принадлежащие различным собственным значениям Ь„и Т., ортогональны между собой, т. е. )»Р" ч», йх = О.
(21.2) В силу предположения о том, что ф„н»р являются собственными функциями, мы можем написать 14м=Т. Ф, 'Тлр =1,4». Из первого уравнения получим комплексно сопряженное: Т,'»р* = Т. »)»*, (21:3')' Интегрируя это равенство По всей области изменения переменных, будем иметь ( а Ъф а Ь.
!ЛД ( = а„- Т.) г)ф*ф Их. В силу самосопряженности 1. леван часть равна нулю (следует в равенстве (18.7), определяющем самосопряженность, положить напомним, что согласно (20.5) Е„= Л*. Умножив второе из уравнений (21.3) на»Р"', а (21.3') на»Р„, вычтем второе из первого. Тогда получится ф*- М.-м ф.*=(~„-с.) ф*.ф„. основныв своиствл совстввиных ьтнкции 1(уи = им»(у = ие), следовательно, (~ — 7- ) )рр*рр„«(х=О. (21.4) Так как Ещ ~ 1., то отсюда следует справедливость (21.2). Функции дискретного спектра всегда интегрируются квадратично, поэтому мы можем нормировать их к единице: ') рр,'рр„((х = 1.
(21.5) Это последнее равенство можно объединить с равенством (21.2) в одно: )ф-рр„«(х=б „, (21.6) где символ б „определяется следующим образом: б „=1, если и=т, 6„„=0, если п ~т. (21.7) Системы функций, удовлетворяющие (21.6), мы будем называть ортогональными и нормированными системами функций. В значительном большинстве случаев, встречающихся в квантовой механике, собственному значению Ь, оператора Ь принадлежит ие одна функция ф„, а несколько собственных функций: ф.у ргщ» " ррщ» ", р)у,у. Такие случаи называются в ы р о жд е и н ы м и.
Если значению Ь = (,„принадлежит 1 собственных функций (1". ) 1), то говорят о наличии 1-к р а т н о г о в ы р о жд е н и я. Физический смысл «вырождения» заключается в том, что какое-нибудь определенное значение величины (. = б„может быть реализовано в разных состояниях. Доказанная нами теорема об ортогональности собственных функций относится лишь к функциям, принадлежащим к разным собственным значениям. В случае вырождения функции «р,» (й = =-1,2, ...,)) относятся к одному и тому же собственному значению 1,„: Хлр„»=14~«», 1=1, 2, 3, ..., ~.
(21.8) Поэтому они не будут, вообще говоря, ортогональными. Однако можно доказать '), что эти функции могут быть всегда выбраны так, что они будут также ортогональны между собою: )у р(уй р(ущ» урух = 6»». (21.9) Поэтому условие (21.6) можно считать всегда выполненным, если бщ ' у р ур у б, у У) Сру. дополнение 11. 95 изойРАжение мехАнических Величин опеРАтоРАми !Гл. и! если точка е.'=е лежит вне интервала (а, Ь), (2!.11) если точка Г =е. лежит ~ внутри интервала (а, Ь), ~~((.)6(Г-ЦЛ. =)((.) и !~с Г" (1') — любая (достаточно гладкая) функция.
Можно доказать '), что 4ункиии непрерывного спектра ф (х, е) леогут бь1ть норлшрованы 1пак, 1то ) фе (х, Л') ф(х, Л) с(х=-б((.' — !). (21.12) Это равенство аналогично (21.6), ибо из (21.11) следует, что 6 (В' — й) = — 0 всюду, кроме точки (.' = Л, где 6 обра1цаетсн в бесконечность. Таким образом, символ 6 (!' ' — ь) играет ту же роль, что и символ 6 и в случае дискретного спектра.
В математике доказывается, что система собственных функций операторов очень широкого класса является не только системой ортогональных функций, но системой полной. Это означает, что любую функцию ф (х), определенную в той же области переменных н подчиненную тому же классу граничных уСЛОВИй, Чта И СОбетВЕННЫЕ фуНКцИИ пр. (Х), МОЖНО ПрЕдетаа1ПЬ в виде ряда по этим собственным функциям: ф (х) =- '), с„прл (х).
и (2! .13) '! Вя, дополнение ! !!. ность индексов, характеризующих собственную функцию (например, вместо 1п — два индекса т и Й', вместо и также два индекса п и й). В том случае, когда оператор А имеет непрерывные собственные значения, доказанные теоремы непосредственно неприменимы. Однако и в этом случае собственные функции обладают свойствами, аналогичными свойствам функций дискретного спектра. Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеровать числами. В этом случае функции зависят от собственного значения Ь как от параметра, так что мы можем написать пре(х) =ф(х, Ц, (21.10) где через х обозначены переменные, в которых выражен оператор С.
Свойства ортогональности собственных функций непрерывного спектра проще всего могут быть выражены с помощью особого символа 6 (à — А), называемого ф у н к ц и е й Д и р а к а или 6-ф у н к ц и е й. Эта функция обладает следующими свойствами: в ~)(л)6(ь — й)Л. =(), а $2Ц ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФТНКЦИЙ 97 Пользуясь ортогональностью функций ф„, мы можем определить коэффициенты с„и таким образом найти ряд, представляющий 2р (х).
Для этого умножим (21.!3) на ф* (х) и проинтегрируем по всему пространству ~ ф„' (х) ф (х) т(х = „"" с„~ ф' (х) 2р„(х) бх. В силу ортогональности и нормировки функций 2Р„интегралы, стоящие под знаком суммы, равны 6„„(см. (2!.5)); таким образом, ~ ф*„(х)ф(х) 2(х=')~с„6 „=с . Б Отсюда, меняя обозначение гп на и, получаем с„ = ~ 2р„"' (х) ф (х) т(х.
(21.14) 2Р(х) =~ с(Л) ф(х, Ц Ж,. (21.15) Для определения коэффициентов с (! ) умножим (21.15) на ф" (х, ~,') и проинтегрируем по х: ~ ф" (х, (.') ф (х) дх = ~ с (Е) т(1. ~ ф' (х, Е') 2Р (х, 1.) бх = = ~ с (й) Н. 6 (й' — 1.) = с (1.'). Меняя здесь обозначение Г на 1„получим окончательно с (й) = ~ ф" (х, Ь) 2р (х) Йх. (21.16) Найденные нами представления любой функции в виде разложений (21.13) и (21.15) по собственным функциям операторов приводят к очень важному выводу: любое состояние, изображаемое волновой функцией 2р (х), может быть представлено в виде супер- позиции (21.13) или (21.15) состояний, относящихся к определенным значениям какой-либо механической величины.
В самом деле, состояния 2р„или ф (х„Е) по своему определению являются состояниями, в которых некоторая механическая величина Е имеет определенное значение Ь„(либо соответственно Е). А выражения (2!.13) и (21.15) представляют ф (х) в виде суммы (либо интеграла) этих частных состояний. Таким образом, зная ф и систему ортогональных функций 2р„, мы можем найти все амплитуды с„, встречающиеся в ряде (2!.13). Частным случаем таких разложений по ортогональным функциям являются ряды Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
