Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так, в счетчике Гейгера первичная ионизация газа, вызванная заряженной частицей, привалит к лавинообраз- ному возпикновени!о вторичных электронов и, как следствие это- го, к макроскопическому явлен!Но — к электрическому разряду. В камере Вильсона ионизация привалит к образованию вдоль следа частицы капелек жилкости в термодинамически неустой- чивой атмосфере переохла>кдеиного пара; в пузырьковой камере вдоль следа частицы возникают пузырьки пара в перегретой жил- костн, центрами образования которых служат первичные ионы.
В фотопластинке возиика!от в чувствительном зерне цепные хими- ческие реакции, привозящие к почсрнеишо всего зерна. Таким образом, измерение в квантовой областн начинается с квантового микроявления и оканчивается явлением макроскопи- ческим. г!>Ожно сказать, что действие частицы на измерительный прибор носит характер действия спускового механизма, вызываю- щего взрыв. Важнейшая особенность измсрител! ных приборов заключастси в том, что раза!шныс анализаторы .!а!ог (и это лежит в прироъ самого микромира! исключающие друг друга спекгральныс раз- ложения так, что одновременное применение к микрочастицам » П1 голь пз»и вительно~о пшп,огх дополнительных признаков становится неадекватным действительности. Измерительное устройство, состоящее из анализатора и детектора, не следует представлять себе обязательно в форме лабораторного прибора.
Напротив, экспериментатор илп техник, выбирая тот или иной прибор, лишь комбинирует то, что уже есть в природе, и было бы нелепо думать, что, не будь кпаблюдателя», квантовые ансамбли потеряли бы свой смысл. Как только в природе осуществляется такая ситуация, когда возникаетт спектральное разложение исходного ансамбля и соответствующеедетектированне частиц, тогда происходит образование новых ансамблей, которые будут определяться по новым признакам, т. е. происходит то, что принято называть «вмешательством измерения». Наблюдается этот процесс экспериментатором или нет, это не имеет никакого отношения к самому объективному явлению.
Вопросам теории квантовых измерений посвящены параграфы !39 и 140 в конце книги, где дано полное освещение этого важного раздела теории. Г л а в а 1!! ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ $ !8. Линейные самосопряженные операторы Мы видели, что в квантовой области не сущестьует таких состояний, в которых импульс и координата частиц имели бы одновременно определенные значения. Это обстоятельство находит свое отображение и в формальной стороне теории: математическип аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической механики, в которой задание пары величин р, х имеет полный смысл.
Переходя к изложению этого аппарата, мы в качестве исходного пункта используем выражения для среднего значения функций координат или импульсов в состоянии ф(х, у, г), приведенные в ~ 13. Там мы имели для среднего значения функции координат частицы формулы (!3.1) 1 (х, у, г) = ф* (х, у, г) Р(х, у, г)ф(х, у, г) г(хг(у»(г (18.1) и для. среднего значения функции импульсов формулу (13.6) г (Р» Р» Р:)= д . д . д~ ф (х, у, г) Р( — 1й —, — )й, — (л., ~ф (х, у, г) г(хг(у»(г. дх' ду' дг) (18.2) Эти формулы принимают совершенно одинаковый вид, если проек- ции импульса р„р», р» представить операторами р,= — Ю-~ —, Р»= — (п ~, Р,= — М вЂ” д —, (!8.3) и соответственно этому обозначению написать (!8.2) в виде ~ (Рх О» Рг) =~ ф*(х, у, г)Р(Р», Р», Р»)ф(х, у, г) г(хг(ус(г.
(18.4) з кч лннепныа ЕАмосопРяженные ОпеРАтОРы Таким образом мы приходим к изображению функции от импульса Р(р„ р„, р,) оператором Г(Р„, РР, Р,). Этот результат подсказывает, что и другие более сложные механические величины 1.(Р„, р„, р„ х, у, г), зависящие как от координат, так и от импульсов, также должны изображаться операторами. И в самом деле, оказывается, что все взаимоотношения между механическими величинами в квантовой области могут быть выражены на языке операторов определенного класса.
В этом заключается фундаментальное значение введения операторов в квантовую механику. Чтобы выделить класс операторов, встречающихся в квантовой механике, обратимся сначала к общему определению оператора. Независимо от конкретного вида под оператором Л будем подразумевать символ, показывающий, каким способом каждой из рассматриваемого класса функций и(х) сопоставляется другая функция О(х).
Это символически записывается в виде умножения и на К: ьн (х) = О (х). (18.5) В этом равенстве под 1 можно подразумевать, например, умно/" д~ жение на х(1=х), дифференцирование по х( !.=- -), извлечение корня (т"'.=-)Г) и т. п. Из всего разнообразия мыслимых операторов для изображения механических величин в квантовой области употребляется только один определенный класс операторов, так называемые линейные самосопряженные (иначе — эрмитовские) операторы. Оператор 1.
называют линейным, если он обладает следующим свойством: т (с,и,+с~из) =с,1.и,+с,!и„ (18. 6) где и, и и, — две произвольные функции, а с, и с, — произвольные постоянные. Ясно, что корень не является линейным оператором; д в то время как -- есть оператор линейный. дх Это ограничение вытекает из принципа суперпозиции состояний. Свойство линейности оператора, выраженное в (18.6), означает, что применение оператора к суперпозиции двух функций и, и и, равно суперпозиции результатов применения этого же оператора к каждой из функций порознь (Е(с,и, + с,и,) = сто, + с,о,, где О, = Еиы О, = Еи,), т. е.
мы требуем, чтобы применение операторов не нарушало принципа суперпозиции. Линейный оператор Ь называют с а м о с о п р я ж е н и ы м (э р м и т о в с к и м), если имеет место равенство ~ и,* (х) 3 иа (х) т(х = ~ и, (х) !.*и," (х) йх, (18.7) 86 1юо!1Рллсгнп1: м1 хл1н1'н'сю1х в!л1Рпп1 опсглторллп! !Рл.
111 где интеграл взят по всей области изменения переменной х, а и'",: И ие СУТЬ ДВЕ ПРОИЗВОЛЬНЫС фУНКППП ВЕСЬЛ1а ШИРОКОГО КЛаССа '). Если переменных много, то с!х заменяется на с!! с(!! с!г... Значение условия самосопряженности, как мы увидим позднее, заключается в том, что только подчиняющиеся этому условию операторы могут изображать вещественные (не мнимые) фпзнчесские величины. Поясним свойство (18.7) на примере оператора импульса д Р» = — (й — - .
Имеем д» ' + СО +СО и,*Р»из с(и= — (г! ~ и',— 'с!хОО + СО + СО Ф =1 — !1!и!*ив)+ +!й ~ и,— 'с(х= 1 и, Р,':и'; с(х (так как и,' (.+-с ) =и, (+ со) =О). Таким образом, Р, есть д лйнейпый и самосопряженный оператор. Видно, что оператор д» линейный, но не самосопряженный; в самом деле, -!- СО + СО -!- СО и',"' — «с!х= — ~ и,--'с(х~+ ~ и, ' с(х. (!8.8) Имея в распоряжении некоторые операторы, мы можем построить из них более сложные.
Способы построения из простых операторов более сложных вытекают из определения самих операторов и могут быть сформулированы в виде несложных алгебраических правил. Рассмотрим два линейных и самосопряженных оператора А и В. Будем называть суммой этих двух операторов такой оператор С, что Сф = Ат(!+ Втр. (18.9) Символически запишем это в виде С=А+В. (18.10) д Например, если А =! —, а В =х, то из (18.9) следует С=! — — +х.
д ') С!ни должны быть иитегрируемы и иметь производные, равные нулю на границах области интегрировании. э г8> линейные схмосопРяженные ОпеРАтоРы Несколько сложнее определится умножение. Под произведением двух операторов А и В будем понимать такой операпгор С, что Сф=А(Вф), (18. 11) т. е. сначала следует подействовать на ф оператором В, а потом на этот результат подействовать оператором А . Если тот же окончательный результат может быть достигнут опсратором С, то С и будет произведением Л н В.
Символически это запишем так: С=АВ. (18.12) д Пример: Л =-г —,, В =-х, тогда дх ' Сз>==А(Вф)=г д (хф)=гф+гх д д .. дф отсюда следует, что д .! д> С = г + 㻠— =- г '(! + х — ) . дх г дх)' Существенно, что произведение операпгоров зависит от порлока множителей. В приведенном примере имеем С'ф= В (АЧ>) =гх д-„, т.
е. С'=гх —,. Поэтому, если имеются два оператора А и В, то кроме произведения С можно образовать еще другое произведение: С' =ВА. (18.12') Установленные правила позволяют производить с операторами сложение, вычитание и умно>кение так же, как это делается в обычной алгебре, за исключением одного пункта: вообще говоря, нельзя менять порядка сомножителей.
Например, С =(А — В) (А+В) = А' — ВА+А — В', но не А' — В'. Такая алгебра, в которой нельзя менять множителей, называется а л г е б р о й н е к о м м у т а т и в н ы х в е л и ч и н, а сами величины некоммутативными (неперестановочными) или некоммутирующими. Если оба произведения С и С' равны Л — ВА =О, то операторы Л и В называются комм ут и рующи ми (перес т а н о в о ч н ы м и). В противном случае их называют н е к о м- 88 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [Гл И! мути рующими. Оператор Р=А — ВА называется коммутатором операторов Л и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
