Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 13
Текст из файла (страница 13)
и. Впоследствии мы покажем, что, зная волновую функцию <р, можно вычислить вероятности не только для х н р„но и вообще найти вероятности для того плп иного результата измерения любой механической величины, свойственной данной частице или системе. Совершенно ясно, что из единичного измерения над одной микро- частицей невозл[ожно определить ее волновую функцию. Зная же распределения результатов измерения в ансамбле, можно решить и обратную задачу: восстановить по результатам измерения волновую функцию частицы (конечно, вплоть до общего нормирующего множителя, который всегда остается неопределенным) (Э 79).
Таким образом, не только предсказания квантовой механики относятся к измерениям в квантовом ансамбле, но и, обратно, характер квантового ансамбля может быть определен из измерений. З !4! СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЯ МЕХАНИКИ б! Поэтому состояние частицы (или системы), характеризуемое волновой функцией, следует понимать как принадлежность частицы (или системы) к определенному чистому квантовому ансамблю.
Именно в этом смысле и будут употребляться в дальнейшем слова: «состояние частицы», «состояние квантовой системы» и т. д. Приведем теперь конкретный пример чистого ансамбля. Рассмотрим рассеяния одного электрона на отдельном атоме. Пусть импульс электрона есть р. Тогда волновая функция электрона Ч"р (х) изобразится в виде суперпозицип волны де Бройля фр (х), изображаюшей первичное состояние электрона с импульсом р и волны и (х), представляющей собой волну, рассеянную атомом так, что Ч' (х) = фр (х) + и (х).
(14.5) Зная рассеянную волну, можно в статистическом смысле предсказать судьбу рассеянного электрона (ср, теорию столкновений, гл. Х!1!). Однако каким же образом воспроизвести этот опыт много разу Пусть электроны летят с накаленной нити. С помощью диафрагм выделим пучок данного направления и сообщим электронам определенную скорость, прикладывая ускоряюшее напряжение.
Направим этот пучок в газ и будем наблюдать интенсивность рассеяния электронов для разных углов. Если плотность газа невелика и толщина слоя, в котором происходит рассеяние электронов, не очень большая, то можно пренебречь многократными рассеяниями электрона. Если, далее, плотность электронов в первичном пучке настолько мала, что можно пренебречь их взаимодействиями, то мы имеем дело сразу с воспроизведением большого числа независимых опытов по рассеянию одного электрона на одном атомс, Наконец, если скорость, приобретаемая электронами в ускоряющем поле, много больше их тепловой скорости и диафрагмы достаточно хорошо выделяют пучок, то мы можем сказать, что мы имеем дело с электронами определенного импульса р, и следовательно, приписать им волновую функцию фр, которая вместе с рассеянной волной и дает Ч"р. Таким путем мы на практике осуществляем совокупность тождественных явлений, описываемых одной и той же волновой функцией Ч"р (х), т.
е. чистый квантовый ансамбль. С точки зрения квантовой механики, задание состояния частицы с помощью волновой функции является наиболее полным и исчерпывающим. В действительности, мы часто встречаемся с другими случаями, когда ансамбль с самого начала содержит частицы в различных состояниях, описываемых различными волновыми функциями 4р,, «г«, ..., «Р„. При этом заданы вероятности Р„Р,, ..., Р„каждого из таких состояний.
Такой ансамбль называется с м е ш а н н ы м. ОснОВы кВАнтОВОИ мехАники ~гл. и Ч'=~,с„ф„, (14. 7» Очевидно, что величины ЄЄ..., Р„указывают вероятность встретить в смешанном ансамбле соответствующие чистые ансамбли, характеризуемые волновыми функциями Фн ф,, ..., ф„, Примером смешанного ансамбля будет являться случай, когда к электронам, покидающим накаленную нить, не приложен ускоряющий потенциал. В этом случае импульс электронов не фиксирован, а фиксирована лишь температура накаленной нити Т. Первичные электроны будут теперь распределены по закону Максвелла.
Вероятность того, что импульс электрона будет лелгать между р„р„+ др,, р,, р + др,, Р„Р, + г(р,, будет дрр = Се-~*»рьг др„бур др,, (И.б) где р — масса электрона, й — постоянная Больцыана, С вЂ” нормирующий множитель ((»г(Р=1). Электроны, имеющие импульс р, будут описываться волновой функцией де Бройля ф, (х); поэтому с»Рр (14.6) есть как раз вероятность того, что электрон будет иметь волновую функцию фр (х), т. е. будет принадлежать к ч и с т о м у ансамблю фр (х), являющемуся частью всего рассматриваемого смешанного ансамбля.
Подобный смешанный ансамбль осуществляется в опытах Штерна и Эстермана по дифракции Не на 1.1г, где распределение импульсов атомов Не в первичном пучке задано температурой печи. Напротив, в опытах Дэвиссона и Джермера мы можем полностью игнорировать тепловые скорости электронов в сравнении со скоростью, приобретаемой ими в ускоряющем поле.
Без большой погрешности можно считать, что все электроны имеют один и тот же импульс р. Поэтому в этих последних опытах практически реализуется случай чистого ансамбля, описываемого волновой функцией з(р. Заметим, что часто при определении исходного состояния частиц вообще не делается никаких измерений, а только предполагается, что имеется тот или иной чистый илн смешанный ансамбль. Справедливость сделанного предположения проверяется далее по наблюдаемым и измеряемым следствиям, вытекающим из него.
Поэтому волновую функцию или набор волноврях функций (в случае смешанного ансамбля) следует Рассматривать как вполне объ ктивную, не зависящую от наблюдателя характеристику кванрпового ансамбля. В заключение укажем еше на одно существенное различие чистого и смешанного ансамблей, которое могло остаться незамеченным. Из одних и тех же волновых функций может быть образован как чистый, так и смешанный ансамбль.
В самом деле, сели даны частные состояния ф,, ф„..., ф„, ..., то из них може~ быть образована волновая функция Ч', представляющая суперпозицню этих состояний: СООТНОШЕНИЕ НСОПРЕДЕЛЕННОСТЕЯ й !51 которая описывает чистый ансамбль. В эту суперпозицию частные состояния входят с определенными фазами и амплитудами (с„= =- ~ с„, 'его» а„— фаза). С другой стороны, если известно, что система может находиться в состоянии грг с вероятностью Р„в состоянии ф, с вероятностью Р, и т.
д, то мы будем иметь дело со смешанным ансамблем, для харакгеристики которого нужно иметь два ряда величин ') (14.8) Вычислим теперь вероятность того, что частица находится в точке х. В случае чистого ансамбля получим для плотности вероятности ш (х) = ', Чг(х) Р - — — ~Ч , '~ сгр„(х) ~Я+ ~ р', о„*с чР* „(х) гр„, (х). (149) лф»л м гв (х) = ~Ч„Р„(»Р„(х) /и. и (14.10) Пз сравнения (14.9) и (! 4.10) мы видим, что в чистом ансамбле имеет м шгго интерференг(ия между отдельными частными состояниями (члены вида е'„е грв (х)»Р (х); в смешанном ансамбле такая интерференция отсутствует).
Таким образом, различие между чистым и смешанным ансамблями в отношении частных состояний аналогично сложению когерентного и некогерентного света; при вычислении вероятностей в чистом ансамбле складываются авгплитуды, а в смешанном ансамбле— интенсивности. $ 15. Соотношение неопределенностей Мы перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства квантовы: ансамблей — к так называемому соотношению неопределенпос~еге Пнпомнпм, что в классической механике мы интересуемся траекториями частиц и их движением по этим траекториям.
Г П 4 46 пояснен другой способ описания смешанного ансамбля с помов кл шккг гчегрицм плотности» вЂ” величины, аналогичной функции распределения классической статистической механике. В смешанном ансамбле эта же вероятность должна быть вычислена так: вероятность того, что частица будет находиться в точке х, будучи в состоянии гр„ (х), есть ~ ф„ (х) ~е. Вероятность же находиться в состоянии чр„(х) есть Р„. Поэтому вероятность этого сложного события будет Р„~ »р„(х) ~', а полная плотность вероятности н (х) будет равна основы квлнтовоп мах«ники 64 !гл, и Можно было бы думать, что квантовая механика дает некоторое статистическое описание такого классического движения, подобно тому как это делается в классической статистической механике.
Простые соображения показывают, что это не так. В области микромира механические величины находятся в иных отношениях, нежели в области макромира, в области классической механики. С понятием движения частицы по траектории неизбежно связано предположение о существовании у частицы в каждый момент времени определенной координаты х и определенного импульса р».
Первая указывает положение частицы, а вторая величина указывает, как изменяется это положение в течение бесконечно малого интервала времени: х + «)х =- х + и'-' Л = х+ о „Ш, (15.1) где т — масса, а о» вЂ” скорость частицы. В статистическом ансамбле частицы могут иметь самые разнообразные импульсы и координаты, но если это ансамбль классический, то в нем всегда могут быть выделены подансамбли и с вполне определенными импульсами, и с вполне определенными координатами.
Напротив, такое разложение квантового ансамбля оказывается невозможным, что указывает на совершенно отличное от классического взаимоотношение между локализацией частицы и ее импульсом. Для того чтобы рассмотреть эту важнейшую особенность микроявлений, мы будем основываться на опытах по дифракции микрочастиц. Основной вывод этих опытов заключен в формуле де Бройля, связывающей импульс и длину волны: Р='"," (15.2) Если под Х понимать именно длину волны, то, какова бы ни была природа волн, эта величина не может быть функцией координат х. Выражение «длина волны в точке х равна Х» не имеет никакого смысла, ибо по своему определению длина волны есть характеристика синусоидальной волны, неограниченно простирающейся в пространстве (от х =- — оо до х =- + оо), ) есть «функция» формы волны, а не функция координаты какой-либо точки.
Поэтому в (15.2) правая часть не может быть функцией координаты х. Следовательно, не может быть функцией координаты х и левая часть равенства (15.2), т. е. импульс р. Подобным же образом нельзя ответить на вопрос: «какова частота колебаний маятника в данный момент времени», так как само определение понятия частоты предполагает, что нужно проследить за многими колебаниями маятника. Мы приходим к заключению, что коль скоро соотношение де Бройля (15.2) признается правильным, то импульс частицы р не может соотношсьгие нкопрсделанггостеп вв З 151 е„раа тр(х, л) = ~ с(к)е-гг""-"'1 г(л (15.3) лч — ьа может быть представлена в виде (см.
(7.9)) ) ('вга 5|п — —. 1 — х аЛл т(т(х, 1)=-2с(йо) ", ' ' е-тлмог — лигу ,,й еи †-1 †(15.4) Интенсивность ! тр 1е в такой группе волн для некоторого момента времени 1 изображена на рис. 15. Удвоенное расстояние от точки Рис 15. 11нтеисивность ~гР!е в группе волн кик функ- ции х дли некогорого момента времени Г. максимума ! тр," до первого минимума мы можем принять за меру, определяюнлую размеры группы. Обозначим его через 2Лх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
