Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 11
Текст из файла (страница 11)
«) Делеиие опытов иа «прямые» и <косвеииые» было введено Л, И. Хаиаельютамо»ь й !О! ВЕРОЯТНОСТЬ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ 8! де Бройля, может представлять собой весьма сложную функцию координат частицы х, у, г и времени й Тем не менее и для этих сложных случаев мы будем употреблять термин в о л н о в а я ф у н к ц и я и обозначать последнюю буквой тр '): (10.1) зр = зр(х, у, г, !). Как было пояснено в 5 9, на основании изложенных фактов мы припал!аелг, что вероятность местонахождения частицы, определяется интенсивностью волн, т. е. квадратом амплитуды тр.
Имея, однако, в виду, что ар может быть комплексной величиной, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной, мы будем брать за меру интенсивности не трз, а квадрат модуля т. е. величину (тр ~з =тй*гР, где через ТР" обозначена величина, комплексно-сопряженная тр '). Лалее следует заметить, что вероятность найти частицу в окрестности точки х, у, г зависит, конечно, от размеров выбираемой области.
Рассматривая бесконечно малую область х, х+с(х; у, у+ду! 2, ?+0(2, мы можем считать ф внутри этой области постоянной, а поэтому вероятность найти частицу следует считать пропорциональной объему этой области. Обозначим этот элемент объема через до = = г(хс(уд?. Обозначая саму вероятность (бесконечно малую) нахождения частицы в элементе объема до в окрестности точки х, у, г в момент времени Г через г()ьт (х, у, г, (), мы можем записать статистическую трактовку волн де Бройля в виде следующего равенства: с()к' (х, у, г, г) = ~ тр (х, у, г, !) /з г(о. (10.2) Это равенство позволяет по известной волновой функции ф (х, у, г, Г) вычислить вероятность местонахождения частицы г(гк'(х, у, г, Г). Величину гв(х, у, г, 1) =-„— = ф(х, у, г, !) (з а%' (10.3) будем называть плотностью вероятности. ') Укажем здесь, что для двух простых случаев мы уже знаем волновую функцию.
Именно, для частиц, движущихся с заданным импульсом р, волновая функция ф есть монохроматическая плоская волна (7.!). гхалее, нам известна функция длн почти монохроматической волны, т. е. для группы волн (7.8). В ближайшем изложении мы будем оперировать с произвольными волновыми функциями, оставляя пока в стороне вопрос о том, как такие функции могут быть определены для заданных физических условий (см. $ 28).
Считая такое определение возможнылг, мы будем говорить, что ф-функция описывает (статистически) состояние частицы. ') В дальнейшем звездочка всегда будет означать комплексно-сопряженную величину. ~гл. и основы квхнтоаоп механики Вероятность нахождения частицы в момент времени )в объеме )l, согласно теореме сложения вероятностей, равна К ()', () = ~ ц(г' = ~ ш г(п =- ~ ф (х, р, г, () ' г(о. (10.4) и Если произвести интегрирование по всему объему, то мы получим вероятность того, что в момент времени 1 частица находится гденибудь внутри этого объема. Это — вероятность достоверного события.
В теории вероятностей принято вероятность достоверного события считать равной 1, Если принято это соглашение, то интеграл от ( ф ~' по всему объему следует приравнять единице: '1 ' ~й (х, у, г, 0,' гЬ = 1. (10,5) Это условие называется и о р м н р о в к о й, а функция ф, удовлетворяющая этому условию, называется н о р м и р ов а н н о й. Нормировка может оказаться невыполнимой, если интеграл, взятый по всему объему от ( ф !', расходится, т. е. функция ф квадратично не интегрируема.
В физически реальных условиях движение частицы всегда происходит в ограниченном пространстве. Это ограничение обусловливается геометрическими размерами приборов и конечной скоростью движения частиц. Поэтому вероятность найти частицу отлична от нуля лишь в конечной области пространства, так что функция ф должна быть интегрируеиа.
Однако в ряде случаев приходится все же пользоваться некоторымн идеализациями, которые ведут к неинтегрируемым функциям. Простым примером таких функций является плоская волна (7.1). В го гремя как в действительности параллельный пучок всегда ограничен диафрагмами с боков и спереди своим фронтом, прн достаточно больших размерах пучка, когда краевые эффекты не играют роли, мы можем рассматривать пучок как плоскую волну. Предполагается, что последняя занимает все пространство. Из (7.1) следует, что ( ф (а =- ( С ~э =- сопз1. Это означает, что одинаково вероятно частицу найти в любом месте. Нормировать к единице в этом случае нельзя.
В дальнейшем мы дадим, однако, рациональную нормировку и для этого случая. Второе замечание относится к зависимое~и от времени. Нормировка имеет смысл лишь постольку, поскольку она сохраняется во времени, т. е. равенство (10.5) должно иметь силу для всех моментов времени (иначе нельзя сравнивать вероятности, относящиеся к различным моментам времени). Прп рассмотрении законов изменения волновой функции во времени будет показано Я 28), что нормировка действительно не меняется, т. е. что интеграл (10.5) от времени не зависит.
$ и! пвинцип сэптвпозпции состояния $1!. Принцип суперпозиции состояний В данных физических условиях частица может находиться в различных состояниях в зависимости от способа, каким она в эти условия попадает. Обращаясь к простейшему случаю свободного движения частицы без действия внешних сил и без взаимодействия с другими частицами, мы можем иметь дело с состояниями движения, различающимися как величиной, так и направлением импульсов.
Каждое из этих состояний может быть реализовано само по себе. Однако существуют и более сложные случаи. Примером может служить дифракционный опыт Дэвиссона и Джермсра, в котором падающий на кристалл пучок разбивается на систему дифрагироваиных пучков. После взаимодействия с кристаллом движение происходит опять-таки в пустом пространстве, но представляется уже целой совокупностью волн де Бройля, отличающихся друг от друга направлением распространения.
Направляя на поверхность кристалла пучок определенной длины волны к, мы не можем получить какую-нибудь из дифрагированных волн, а получаем сразу всю совокупность этих волн (вместе с падающей), находящихея к тому же в определенных фазовых отношениях друг к другу и поэтому способных к интерференции. Вся эта совокупность волн представляет собой единое волновое поле и изображается одной волновой функцией ф. Однако такое волновое поле является совокупностью простых волн де Бройля фр, каждая из которых сама по себе может описывать возможное состояние двимгенпя частицы в пустом пространстве. В этом можно убедиться, если выделить с помощью диафрагмы из всего волнового поля ф один из дифрагированных пучков н затем вторично подвергнуть его дифракции. Мы говорим, что состояние, возникающее при дифракцни частиц на поверхности кристалла, является с у п е р п о з и ц и е й (наложением) состояний свободного движения, описываемых простыми волнами де Бройля.
Этот случай суперпозиции является частным выражением общего принципа суперпозиции состояний, составляющего одну из основ квантовой механики. Принцип этот может быть сформулирован следующим образом: если какал-либо система (частица или их совокупность) способна находиться в состоянии, изображаемом волновой функцией ф„ и в другом состоянии ф„то она можепг находиться и в состоянии, изображенном волновой функцией ф, такой, что ф=с,ф,+сДЪ, где с, и с, — произвольные, вообще говоря, комплексные числа, определяющие амплитуды и фазы частных состояний ф, и ф,. Отсюда следует, что если имеется ряд возможных состояний системы, отличающихся друг от друга значением какой-либо величины ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ )гл.
и (импульса, энергии, момента импульса и т. и.), которые изображаются волновыми функциями т!)1, т))з, ..., то, согласно принципу супер- позиции, существует сложное состояние: т!) = стт))т + сз)))з +... + сл)рл + ° где с„с„..., с„, ... — произвольные, комплексные амплитуды. Если состояния, входящие в суперпозицию, отличаются друг от друга бесконечно мало, то вместо суммы (11.1) мы будем иметь интеграл.
Важным примером суперпозиции последнего рода является представление произвольного волнового поля ф (х, у, г, 1) в виде суперпозиции волн де Бройля ') (е!- рг) т() (х,у, г,!)= —,,е (!1.2) (2н аг) зг з Волновую функцию любого состояния можно написать в виде +го 1()(х, у, г, !) = г )с !т)с(рк, р„р„() т()р(х, у, г, !) с!Ркйр, с(рк, (!1.3) где с (Рк, р„, р„г) — амплитуда волны де Бройля, имеющая импульс р (Р„, р,, р,). Утверждение очевидно, так как (11.3) есть не что иное, как разложение т)) (х, у, к, !) в тройной интеграл Фурье.
Чтобы в этом убедиться, обозначим . Е! — г тР(Рк, Рр, Р„г) =-с(Рк, Р„, Р„!)е (1 !.4) Тогда на основании (!1.2) формула (11.3) может быть записана в виде +лл р к -1- р„р-)- р г тр(х, у, г, !) = ~ ~ ~ тр(Р, р, р„!)е " ",,'. (11,5) Отсюда по известной теореме Фурье об обращении интеграла (11.5) мы находим для каждой функции т)) амплитуду тр, а вместе с тем и с: + со р к-)- р р -)- р к гр(Р Рр Р !)= ~ ~ $ ф(» У г !)в " "з,з. (11.б) Таким образом, мы видим, что любое состпояние можно рассматривать как суперпозицию волн де Бройля, т. е. состояний с заданным импУльсом часпн)т(ы Р (Рк, Р„, Рк). ') Множитель Ц2нй) Л введен нз соображений нормировки, целесообразность которой вскоре иыяснится (см.
(!2,6)), 4»»1 ВеРоятность 1»мпульсА микРочястицы В 12. Вероятность импульса микрочастицы 55 Мы показали, как на основе статистического толкования волн де Бройля можно определить вероятность местонахождения частицы. Сейчас мы увидим, что принцип суперпозиции позволяет расширить статистическое толкование, так что оказывается возможным определить не только вероятность тех пли иных значений координат частицы, но и вероятность тех или иных значений ее импульса р.
Формулу де Бройля р =- йй, ~ (с' ,=-— ') В связи с данным нами определением импульса микрочастины ноже» возникнуть вопрос; почему вообще величину р = Дй следует называть импуль. сом) Ответ на этот вопрос заключается в том, что определенная таким образов величина на самом деле обладает свойствами, вполне аналогичными свойствамг импульса р,» в классической л»еханике )ср. Я 32, 33, 103). В 4 34 показано, чтс классический импульс р„» (подчиняющийся уравнению Ньютона) есть средны квантового импульса рк.» =.Р.
В частности, для состояния с определенным значением р имеем р, = р. Благо. ларя этому р может быть также измерено, скажем, по отдзче при ударе, как это делается в классической механике для определения р„«. мы будем рассматривать как определение величины р, которую в квантовой механике лю» будел» назь»вать импульсол» частиць» ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
