Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Эти уравнения в нашем случае будут 111 д' — — — р~ чхФпт+Еп1п (Х, 1, У)Ф 1п1 (111.3) 476 пгч~мснгтт твоею~ дш~хо.нпя многих тгл !гл: юп янин с магнитным моментом Я„, =-О, будут двигаться без действия спл. Из уравнений (1!!.5) н (1!!.8) мы получим проходящий без отклонения пучок. Атомы, находящиеся в каком-либо другом состоянии с М -,' О, образуют отклоненные пучки (на рис. 83 приведены два таких пучка). Существенно, что магнитный момент И,„меняется от состояния к состоянию скачкообразно.
Благодаря этому пучки, вообще говоря, разделяются так, что по месту падения азимов на экран (или фотопластинку) Р мы можем решить, в каком из возможных состояний ф,„находятся атомы, т. е. определить их стационарные состояния. Траектории, принадлежашие пучкам, легко вычислить из уравнений (1!1.5), (111.6), учитывая расположение диафрагмы В, ее форму и начальное распределение скоростей атомов.
Можно и прямо воспользоваться уравнениями Ньютона: их ас„, И и т дп дх дЕи,„, (1 ! 1.?) д!' аллы~ Будем считать, что магнитное поле Л зависит лишь от г (по крайней мере на большей части отрезка РР). Тогда из (111.?) получаем Х==о(+Х., (111.8) (111.8') (1 !!.8") где о — скорость атомов (мы предполагаем, что опи первоначально движутся параллельно ОХ, и, кроме того, градиент поля —— дЯ" иг в пределах ооласти движения атомов считаем почти постоянным).
Обозначая длину РР через 1 и пользуясь (111.2), мы получим отклонение Произведенный нами расчет лишь приближенный. В действительности атомы, проходящие диафрагму, не будут двигаться по классическим траекториям: пучок будет расползаться. Чтобы учесть это явление, следует сделать еще один шаг в приближенном рсшеппи уравнения (11!.3), учтя члены в 5„л„, и р„, содержашие первые ступени й (см. ~ 35).
Мы пс будем этого делать, а ограничимся лишь оценками. 5 н!! ОпРеделсннс энеРГии стлц!юнлРных состОяннн лтомов 477 Пусть ширина пучка в направлении Ос есть Д7,. Тогда скорости атомов в направлении Ос в силу соотношения неопределенности Д~Р ДРР) (111. 10) не могут равняться пулю (как это допускалось в классическом расчете). Если среднее значение Р,=О, то из (111.10) следует, что ДУ~ Му~) 2 ' т а о=) 2М Дх. (11! . 10') 0 При прохождении через поле в течение времени 1, благодаря наличию разброса в скоростях пп, ширина пучка Дс возрастает и будет равна Дс! о () (! 11.1!) 2М Д7о Для того чтобы мы были еще в состоянии решить, к какому из состояний Е„,„, или Е„,„относится атом, падающий на экран Р, необходимо, чтобы )2 ° — с !))ДУ„т.
е. на основании (111п8п) Н ~ дЕп! дЕп! ~ Л! 2М ! дУ д2 ! 2М Д2 (111.12) или дг"-' ДУΠ— дЛ вЂ” ДЛО () Ь. (111.18) Но так как в силу слабой зависимости Е.!и, и Еп1„ от Л то последнее неравенство можно записать также в виде !Е,1„, — Еп, !!)й, (111.14) ())Е,— Е а (111.15) льп' л1т ! К этому обстоятельству мы еще вернемся в 2 112, В заключение теорин опытов по определению стационарных состояний атомов методом отклонения пучка атомов во внешнем поле рассмотрим более сложный случай, когда первоначальная волновая функция представляет состояние с неопределенным значением энергии. т, е.
для того, чтобы различать стационарные состояния атома (Еп, или Е„! ), измерение должно производиться в течение достаточно большого времени Е 4?а ПРимгнення теоРн!1 движения мног11х тел !Гл, хн!и По общей теории вероятность получить при измерении в таком состоянии значение энергии Е„равна',с„1, где с„— амплитуда в разложении ф по собственным фуккциям оператора энергии') Покажем, как относится это общее утгерждение к определению энерпш методом отклонения пучков. Если система находится во внутрсннем состоянии ф„(х, у, г), то полная волновая функция, с учетом движения центра тяжести, будет равна Ч'(Х, 1', Л, х, у, г) =-Ф„(Х, У, 2) фн(х, у, г), (11!.16) причем Ф, определяется из уравнения (111.3) (или вообще (110.1!)). Если состояние ф есть суперпозиция ф„, то в силу линейности уравнений квантовой механики общая функция имеет вид Ч"(Х, )', 2, х, у, г) =- ~ с„Ф„(Х, У, 2)тра(х, у, г).
(1!1.1?) л Непосредственно на опыте мы измеряем не внутреннюю энергию атома, которая нас интересует, а положение атома Х, У', 8'. Определим вероятность того, что атом находится в области Х, Х+с(Х, 1', У+с(У', с, 2+Ы. Эта вероятность равна и! (Х, У', 2) с(Х т(К т(7 = с(Х с(У с(2 ~ ~ Ч' !а с(х с(у с!г = =~;~с„1а.;Ф„а (Х ( и.
а (111.18) ~ )Ф„! аХа (г. (111.18) ') Для простоты мы обозначасм асс наантоаыс числа (и, й т) одной бун аой н, Измерение энергии атома Е„заключается в том, что мы решаем, к какому из пучков (см. рнс. 78) относится атом. Каждый пучок описывается своей функцией Фн(Х, У, Л). Для того чтобы наш опыт был действительно опытом по измереншо энергии атома, нужно, чтобы различные пучки были разделены друг от друга, пнымн словами, функции Фн(Х, У, Л) должны быть отличны от нуля в различных областях пространства (для этого должно быть обязательно выполнено условие (111.15)).
Найдем теперь, какова вероятность и1„того, что атом принадлежит пучку щ. Для этого нужно проинтегрировать (11!.18) по объему этого пучка. Мы обозначим этот объем через !т: и! =- ~ Рд(Х, У, Л) с(Х Л' с(Е= т нехпеггие столкновения элсктгонл с атомом 4?9 э пц Если пучки разделены, то все интегралы равны нулю, кроме интеграла ~ Ф„, ' йХ г( 1' гЯ, ~л равного единице в силу того, что Ф,„нормирована.
Таким образом, ш~= ~ с,„'. (111.20) Но ш есть как раз вероятность того, что энергия атома равна Е„(так как атомы с различной энергией принадлежат различньм пучкам). Поэтому рассмотренное нами определение энергии атома находится в полном согласии с интерпретацией величин ', с„,' как вероятностей найти значение энергии атома Е„.
При этом измерительным аппаратом служил сам атом: внутренняя энергия Е„определялась по положению центра тяжести атома. Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство. В 9 16 мы утверждали, что измерение всегда превращает чистый ансамбль в смешанный. Легко убедиться, что в рассматриваемом случае это превращение на самом деле имеет место. Определим вероятность найти электрон в окрестности точки х, у, г при заданном положении центра тяжести атома Х, 1', 7.
Имеем ш (х, у, г, Х, 1', л) = ~ Ч'," =~~ ~с„с,",ф, (х, у, г) ф,"„(х, у, г) х и л~ мФ„(Х, Г, 2)Ф;„(Х, у, г). (Ш.21) В области, где Ф, и Ф,„перекрываются, мы имеем интерференцию состояний ф„, ф и для определения за важны фазы с„, с,'",. В области, где Ф„п Ф„не перекрываются (измерение!), мы получаем ш (х, у, г, Х, У, л) = ~ Ч' Р =. = ~, ) с>, 1' ( ф, (х, у, г) )'; Ф„(Х, У, 2) (', (111,21') и т.
е. фазы с„выпали. Вероятность ш образуется теперь пекогерентно пз ф,, как это характерно для смешанного ансамбля (ср. 9 16). й 112. Неупругне столкновения электрона с атомом. Определение энергии стационарных состояний атомов методом столкновений Одним из простых приложений теории движения многих тел является расчет неупругпх столкновений с атомами. С такого рода столкновениями мы встречаемся в опытах Франка и Герца (з 3), Однако наш расчет нельзя будет непосредственно приме- 480 применения теоппн ди!Оке!и!я многих тел !Гл. хун! нить к этим опытам, так как мы будем предполагать, что сталкивающийся электрон имеет эперги!о, значительно превышающую энергию электрона в атоме (прп этом условии можно будет применить теорию возмущений). Оператор полной энергии двух электронов') имеет вид Н (г„ г,) =.
Н (г,) + Н (гв) + йУ (г„ гв) = Н" (г„ ге) + )Р'(г„ ге), (1 12.!) (112.2) йг Й (г,) = —, т!!+(7 (и,), Й (г,) =- — --- 47„-', 2р (!12.3) Здесь У (г,) означает потенциальную энергию атомного электрона ев поле остова (ядра и остальных электронов атома), ', г, — ге ! есть кулоновская энергия взаимодействия атомного электрона с электроном, летящим извне, У(га) есть энергия этого последнего электрона в поле остова атома. Остальные члены имеют само собою понятное значение. Кинетическую энергию летящего извне электрона мы считаем столь большой, что все его взаимодействия с атомом (Р' будем рассматривать как возмущение. Тогда уравнение Шредингера для невозмущенного движения будет иметь вид Н' (Г Г ),(!е (Г Гя) Ет!>о (Г Г ) Оно имеет решение тРп р„(Г! Га) = т(!л (Г!) ч(!р (Га)> (! 12.5) Е = Е„" + ~~ '-', (1!2.6) где тр„' — волновая функция стационарного состояния электрона в атоме, принадлежащая энергии Е„', а ч!я, — волна де Бройля, описывающая свободное движение летящего извне электрона с импульсом ро.
'г!ас интересует вероятность перехода нашей системы из двух электронов в какое-нибудь другое состояние: ф" р (г„г,) = т)!" (г,) тйр (г,). (112.7) Для вычисления этой вероятности применим теорию квантовых переходов под влиянием возмущения, не зависящего от времени с! Движением атома в целом мы можем пренебречь ввиду болыцой величины массы ядра по сравнению с массой электрона. $ И2! НЕУПРУП1Е СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНЛ С ЛТОМОМ1 чв! (3 85). Таким возмущением является у нас энергия !у' (1!2.3).
Вычислим сначала матричный элемент этого возмущения для перехода и, р,— и, р. Имеем еп )Р тр, и„= ~ ~ СЬ1 СЬ21!г'"р (г„г2) !(2 (гр) + ф,',Р, (г„г,) ) г, — гг ~2 (112.8) (здесь г(О„ЕЬ2 означает интегрирование по координатам первого и соответственно второго электрона). Вычислим сначала интеграл по ТЬ1. Введем р и (г,) = — ег)1'„',(гг) 2р„." (г,). (112.9) .Рг» »в л ! Р ( 2) !пла)212 ° . Р»г, е )Р» ( 2) !» 21312» (! 12.11) получим 1 1р — р) г» 11' п»р, пр, = (Р а)г ~ ЕЬ2 )ггпп (г2) е ' = (Рлг»12 Етп ((г) где через К обозначен вектор (1!2.12) Р» Р (112.13) где КР и к — волновые векторы электрона до и после столкновения.
Для вычисления вероятности перехода в 1 сек из начального состояния Е„ р,', р,,", р," в конечное Е , р, д!1 (г(!1 — элемент телесного угла, в котором лежит направление импульса электрона р после столкновения) применяем формулу (85.3). Плотность состояний на интервал полной энергии системы, обозначен- Эту величину будем называть матричным элементом плотности заряда для перехода и -пт (очевидно, что р,п есть среднее значение плотности в состоянии »р„'). Учитывая ортогопальность функций 2Р,', мы получаем ~ ЕЬ12)г»тп (гг) 2)гп» (гг) ((У (гг) +, ' ) = =(I'(г,) 6 „— е ~ Р ", ', !' — — Ъ' п(г,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
