Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Напишем эти равенства в виде произведений матриц. беря представление, в котором Мг диагонально. Тогда получаел~ !гл, хч!! злдлчл многих тнл 454 Отсюда йз / Г!!з АВ=Мз+-- — (Мг — — ! 4 (~ ' 27' ' ОА 7 ° й!Я ВА Мз+ (М + — )г . 4 (г 2)' (АВ)щщ — — Ащ,,Вщ т, =Мз-(- — — й (т — — ), (105,29) (ВА)щщ=Вщ щыАщы щ Мз ! йз ~т ! ) (10529) Будем теперь считать величину М- заданной.
Тогда возмогкные значения )и/ неизбегкно ограничены. В салгом деле, собственное значение Мз+ Мзз не люгкет быть отрицательным. Обозначим нижнее значение т через и', а верхнее — через и'. Тогда из (!05.29) и (105.29') следует (так как А .,„, =-О, Вщ,, щ,=О и Ащ +, щ.— — О, Вщ. щ„+ — — 0) йз гг, 1 3 Мз+ — =йзги' — — ! Мг+ =йзг "+ 4 ~ ' 2/' Отсюда (105,30) 2 )г йз 4 (! 05.30') Разность т" — пг'+! есть число целое, равное числу различных возможных М, при данном М'.
Обозначим т" — и'+! =2/+1. Тогда из (105.30) и (105.30') получаем 2з'+1=2 1г7 — -(- или Ме= !гзУ (Х+ 1), (!05.31) В силу полной равноправности полоипоельных н отрицательных значений М, мы должны положить и"= — т'. Вместе с (105.!5) зто нам дает 1 3 (т(~У, где т=О, е 1, дг 2, ..., .~- / или т= -г, д —, ..., -~- з'. ' 2' 2' '"' При доказательстве мы пользовзлнсь только правилами перестановки операторов проекций импульса (!05.!1), Так как таким же правилам перестанопки подчиняются порознь проекции операторч полного орбитального момента (105.16) и полного спннового момента (!05!7), то тем самым доказаны и форм)лы (105.18), (105.19) и (105.20), (105.21).
Беря диагональный элемент (т, т) от этих равенств, получим (105.28) (105.28') 4 10а1 совстнснные Функцйи ОпеРАтОРА моментл импульсА 455 Из этик формул и из (105.14) следует, что оператор скалярного произведения 2ММ, =-М вЂ” Мсз+Мз ниеет собственные значения 2 (ММ,) = йе [7 (7+ 1) — й (! + 1) + 5 (5+ 1)1, (105 32) так что формула (54.13) для одной частицы является частным случаен (105.32). Повторяя рассуждения 4 74, можно легко вывести формулу для энергии в магнитном поле для системы частиц й = АО ( 1 7 (У + !) С (Е + !) Ч 5 (5 + !)) + l (У + 1) так по (74.23) будет частным случаем (105.33) для одной частицы.
Формула (105.33) дает расщепление уровней в магнитном поле для системы электронов (сложный атом). ф 106. Собственные функции оператора момента импульса системы. Коэффициенты Клебша — Гордона Собственные функции оператора полного момента системы являются сложными функциями угловых и спиновых координат частей системы и их квантовых чисел. Однако в большем числе часто встречающихся случаев их можно выразить через функции моментов импульса отдельных частей. Рассмотрим наиболее простой случай системы, состоящей из двух подсистем.
Пусть Л4, н Мз суть операторы моментов импульса этих подсистем, коммутируюгцне друг с другом. М, и М, могут быть орбитальными и спиновыми моментами двух частиц, орбитальным и спиновым моментами одной частицы и т. д. Полный момент импульса будем считать интегралом движения. Состояние системы может быть охарактеризовано как квантовыми числами 1„(го т„тз ()э, )а — собственные значениЯ моментов импульса подсистем, т„п!,— их проекций), так и четверкой чисел а', т, ун )з (а', т — собственные значениЯ полного момента системы и его проекции, причем т=т,+тз (105.23)). Поставим задачу определить волновые функции системы через волновые функции подсистем. Пусть У),зп — общие собственные волновые функции операторов М'; и Мсо Уп„„ то же для М:-; и Мсо Тогда произведение )',,„,У;нн, будет собственной функцией оператора проекции полного момента М; =Мы+ Ива с собственным значением т =и,+пгз.
Обозначим через У755 общую собственную функцию операторов Ме и М,. Ее можно представить как линейную комбинацшо !Гл, хоп зддАчА многих тел произведений 1';н„,У;„,,: 1 ! У',";„, =- ~Х ~~ (!',)зт,»лз 12т) Ул„нУп,„.. (106.1) ~и = — » м = /~ Коэффициенты (/!)зт!»пз~,)»п) являются действительными числами и называются коэффициентами Клебша — Гордона (Жордана) '). Они равны нулю при т =,' т, +!п.„так что двойная сумма в (106.1) фактически сводится к однократной. Функции У»»зл зависят ат тех же переменных, от которых зависят функции Улан, Ул„ь В частности, если одна из них есть функция угловых координат, другая — спиновых, то соответствующая У»н„называется сферической функцией со спином.
Именно этот случай был нами рассмотрен в 9 63, где находились собственные функции полного момента — спинового и орбитального для одной частицы. Коэффициенты при У, и У, „в формулах (64.28) и (64.28') и суть не что иное, как коэффициенты Клебша — ГоРдона длЯ слУчаЯ ') )', =- з»з. Спиновые волновые фУнкции в этих формулах заменены их значениями (01). Выражение (!06.!) допускает обратное преобразование / .1-!ч» 1'АкнУ„, = ~~ ~", (узл!зтз !»'т) У.»лй (106.2) »=!л в. м= (сумма по»п содержит фактически один член т =т,+тз).
Из условий ортогональности систем функций У, и У»АВ следуют условия ортогональности для коэффициентов Клебша— Гордона, а именно (!»)зтзгнз ~ гт) ()з)зтзп!з ~ ) т ) = 6»» бя~м, (106.3) м = — » ю =' — / А 4 1,,» 2~ (П)"гпзтз ~ У»п) (1!)з»п!та ! »т) =- бм т'Ьт м (106.4) »=!»,-»Иш=- —.» Х 2»+1 (Й)зтзтз ~ »т) 0Ызтгтз ),»т) = ., 6» Лбя, „. (106,5) пим ') Подробно см. К. К о н д о н, Г. Ш о р т л и, Теория атомных спектров, ИЛ, !949.
По поводу обозначений см. А. С. Да выд о в, Теория атомного ядра, Физматгиз, !958. 1 з) т в (64 28 ) соответствует т, в(!06.!), ! — > /ь т е — — » т. 2 5 гоо1 соьствсгшые Функгпш опсРлтоРл момипА импульсА 45т Коэффициенты Клсбша — Гордона удовлетворяют также некоторым условиям симметрии, а именно, (угуегпггп,, / угг!) =- ( — 1)' ' г'- — г (угуе, — пг,, — те ~ У, — т), (106,6) (угуетгпг, / ут) =( — 1)! +у У (уэугпгэпг! /,уггг), (106,7) 1г~2уг+ 1 (угуэгггггпэ ~,Угп) =- =-( — !)Ь ~оп~ 2,У+1(Ууе, — т, пг, )уг, — тг), (106.8) 3г' 2уе+ 1 (у,уеггггггг.~,(т) = =( — 1)ь — ™) 2у+1 (угУт„— пг! уа.
— пге), (106А9) 3 2(э+1(Уг)етгтэ),Ут) = = ( — 1)У вЂ” '+ ) '2 У+ 1 (Уе (те, — т ) У,, — т,). (106.10) 1 Приведем табл. 2 и 3 козффициентов Клебша — Гордона для 1, =— '=2 и 1. Таблица 2 1 Коэффициенты Клебша-Гордона ( У! — тгтэ (,Ут) ' 2 ! Ю г (6 "Г гУ,+1 г+ +2 21,+1 Благодаря свойствам симметрии коэффициентов Клебша — Гордона зти таблицы могут использоваться во всех случаях, когда любое пз квантовых чисел у'„уэ,,У равно 1У2, 1.
Обратим внимание читателя на значение некоторых козффициентов Клебша— Гордона. Если У=-уг+у„то (Уг(э, Уг(э~ УУ) =(Уг(э, — Уг — Уз~ У, — У) =1 (106.11) для любых значений у, и уе. Для случая сложения двух анти- параллельных сппиов имеем (2-,, -- — ~00) = — (--, -, — —, — ~00) =- — —, (106,12) Таблнна 3 т~ = — ! «н= ! (/! т) (/! !и+ !) ~!!а 2(!(2)! + !) (у! — т) ()!+ т) 1 ! !2 1,(г),+!) (у, + т+!) (у!+ т)1! '2 :!)! (4!+ !) Кон(!фнцненты Клебша — Гордона ((!! т,т, !,йн) О! ы ы .Г ы о !! Н т Ь СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 5 ~ют! т. е. волновая функция системы двух антипараллельных спиноз будет ! 5(з,т, зге)= — -[5 ! (згг) 5 ! (з,,) — 5 ! (з,т) 5 ! (з„)1 (106.13) 1'9 !с +д " — я — я +в (см.
(121.13)). Общая формула для коэффициентов Клебша — Гордона приведена в работе Вигнсра'). $ 107. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени Физическое пространство обладает свойством однородности и пзотропности. Время — свойством однородности. Кроме того, в отношении обратимых процессов имеется равноправие по отношению к знаку времени. Эти свойства пространства и времени отображаются в основных законах сохранения квантовой механики для замкнутой системы А. Закон сохранения энергии Рассмотрим следствия однородности времени. Произведем бес- конечно малый сдвиг во времени Ж.
Тогда волновая функция системы ф перейдет в ф' = ф (х„х.„..., ха,, !+ А!). Это изменение функции мы можем рассматривать как действие бесконечно малого унитарного преобразования Я, (см. Я 28, 44): ф' = 5гф, (107. 1) где О,=1+11".гаг и 1".— эрмитов оператор, С другой стороны, ф' — ф =- - —, А1 и, сравнивая с (107.1), д4 получим дг) ." Это уравнение совпадает с уравнением Шредингера и [. = —,'- Й. Но в силу однородности времени 7., а следовательно, и Й не дй должны зависеть от времени, т.
е. — =О, а следовательно, и Й = [Й, Й)=-0, (107.2) что и выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе. ') Е. В и г н е р, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, гэб!. !Гл. хтл! юо зхдлч.! млюгн.' тел Б. Закон сохранения импульса Рассмотрим зал!кнутую систему частиц и произведем сллещенпе всех координат (радиусов-векторов) хл на бесконечно малую величину Лх. Тогда лр'=лр(х,+Лх, ..., хл+Лх, !) = =-лР(х„..., хм, 1)+Лх ~' ЧллР, (107,3) ь=! где рл — градиент по координатам й-1! частицы, Рассматривая это смещение как бесконечно малое унитарное преобразование 5,, =-1+!'лгЛх, где д-эрмитов оператор, найдем К=- — ! .~~ т7! (107.4) л= ! Оператор лг только множителем г! отличается от оператора полного импульса системы Р (!03.!).
Так как операции смещения в пространстве 5 и во времени 5, могут выполняться в любом порядке (в отсутствие внешних сил), то 5 и 5, коммутируют, т. е. (Йд1 = О, а следовательно, [лбй) = О. Это означает лР-=О, (107.5) т. е. сохранение полного импульса замкнутой системы. В. Закон сохранения момента импульса Рассмотрим бесконечно малое вращение системы в изотропном пространстве вокруг оси Ол на угол Лгр,. Зто вращение приведет к изменению координат й-й частицы на Лхл = (ул Лгр„— хл Лгр„О) .
(107.б) Новая функция лр'=лр(х,+Лх,, ..., хм+Лхм, 1) может быть получена из первоначальной с помощью бесконечно малого унитарного преобразования 5, = 1+ цп, Л(р„-, лр' = 5ч,лр. С другой стороны, учитывая (107.б), получим лр(х,+Лх„..., хх+Лх!т, !) = ==лР(хл, ..., хм, 1) — ~ 1хл — у,-,,-)Лгр,. (107.8) л=! й 107! с11ь!мгтгня пгост!'листал и вРьл!ен11 46! Сравнивая (107.7) н (107.8), получим .с~7 д д! лг,=г; (ха — — р, (107.9) т. е.
пг. только множителем отличается от оператора М, проекции полного момента на ОЯ. Аналогичные соотношения получим для вращения вокруг двух других осей и, таким образом, З„=.1+-,',-Мй~р, (10?.10) где М-оператор момента импульса системы. В силу нзотропностн пространства и однородности времени операторы 5 и З„а следовательно, М и Р? кол!мутируют между собой, т. е. [МН) =-О. Поэтому „М =О, (107.11) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
