Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 92
Текст из файла (страница 92)
симметяичныа и лнтиспмывтеичныс состояния 493 з пм Аналогичные рассуждения можно провести и в тех случаях, когда частицы отмечаются не по их положению в пространстве, как в приведенных примерах, а по каким-либо другим признакам, характеризующим их состояние. Пусть, например, в момент времени ) =О частица а имеет импульс р„а частица Ь вЂ” импульс р,. Так как состояния с заданным импульсом занимают все пространство, то всегда существует некоторая вероятность столкновения частиц, в результате которого частицы обменяются импульсами так, что частица а будет иметь импульс р„а частица Ь вЂ” импульс р,. Таким образом, в квантовой области единственный способ, по которому можно различать одинаковые частицы — различие по состояниям, отказывается служить. В этой связи мыслимо предположение, что встречающиеся в природе системы устроены так, что вообще проблема различения одинаковых частиц является надуманной, т.
е. что состояния совокупности одинаковых частиц всегда таковы, что можно говорить лишь о состоянии всей совокупности в целом. а ие о распределении частиц по состояниям. Это предположение оправдывается на самом деле. Его мы формулируем в форме принципа тождественности: в совокупности одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при обмене одинаковых частиц. Это означает, что вероятность найти при измерении какай-либо механической величины 1., относящейся к системе одинаковых частиц или к ее части, значение, равное Е', не меняется при обмене частиц их состояниями. Высказанный принцип не вытекает из изложенных ранее положений квантовой механики, но, как мы увидим, ои вполне подходит к ней и обязателен, если мы хотим получить из квантовой механики выводы, согласующиеся с опытом.
й 115. Симметричные и антисимметричные состояния Пусть Ч" (дп ..., ую ..., ор ..., ан, )) есть волновая функция, описывающая состояние системы из Ф одинаковых частиц. Тогда, если мы обменяем состояниями, скажем, )ь-ю и )-ю частицы, то получим новое, как следует из теоремы (114.7), возможное состояние системы, описываемое волновой функцией Ч' (уп ..., др ..., дю ..., он, 1). Принцип тождественности частиц утверждает, что это новое состояние неотличимо от прежнего, т.
е. Чп и Ч" описывают фактически одно и то же состояние системы. Волновые функции, описывающие одно и то же физическое состояние, могут отличаться друг от друга только постоянным множителем. Следовательно, из принципа тождественности спстГмы из одинаковых микгочлстиц 1Гл. х!х вытекает, что Ч (Чь ° °, Ь ° ° °, Ч, ..., г)н, 1)= =ЛЧ" (Чц, ", дь ", дд .", )у, 1), где Л вЂ” некоторый постоянный множитель. Это равенство с помощью оператора перестановки может быть написано в виде Р Чг (1! 5.1) В уравнении (115.1) слева на функцию действует оператор Р,, а справа стоит эта же функция, умноженная па число Л. Следовательно, уравнение (115.1) есть уравнение для собственных функций Ч" и собственных значений Л операторов перестановки Рвн Мы можем поэтому сказать, что условие (!15.1), накладываеемое принципом тождественности на возможные состояния системы, заключается в том, что волновые функции Ч', описывающие состояние системы, должны быть собственными фушсцнями операторов Рсу (для любых А, /).
Нетрудно определить, каковы эти собственные функции и собственные значения Л. Для этого примешш к (115.!) еще раз оператор перестановки Ргп Имеем РцЖ =- ЛР~,'Р. (115.2) Два раза применяемый оператор перестановки Рву не меняет функции Ч'. Поэтому в (! 15.2) слева стоит просто Ч' (..., о„...
д,, ...), а справа в силу (115.1) ЛэЧ'(..., ды ..., д;, ...), так что (1!5.2) переписывается в виде Ч'= Л'Ч", т. е. (1 ! 5.3) Отсюда получаем собственные значения оператора перестановки Ран ' Л=--+.1, (! 15.4) а соответствующие собственные функции обладают в силу (115.1) следующими свойствами: Р„Ч"=+Ч, Л=+1, (115. 5) или Р„Чг= — Ч, Л=- — 1, (! 15.6) т.
с. собственнымп функциями оператора перестановки Ргу являются функции, которые при перестановке координат й-й частицы (Чь) и )чй частицы (о,) либо не меняются (!15.5), либо меняют свой знак на противоположный (1!5.6). Первые функции сиымстР!Рн!ь!с г! л!!и!с!!ммпгР!!'!ные состояи!!я 49ог 4 !!з1 (!15 5) мы будем назьвагь с иммет р и ч н ы и и, а вторят (1!5 6) а н т и с н м и е т р и ч и ы и и относительно псрестанозки частиц с иомерамн й и !. Такиы образом, возможные состояния системы пз Л! одинаковых частиц должны описываться волновымч функцинмн Чг(г)г,... ..., гг„, аи, ..., ди, !), которые либо меняют свой знак при перестановке снобои пары частиц (й, /), либо остаются неизменны!ни.
Из соображений равноправносп! всех частиц нетрудно предвидеть, что возможные функции Чг таковы, что онн либо симметричны во всех нарах одинаковых частиц, либо антиснммстрнчны во всех парах частиц, так что не молсет быто г)л(унк!!ий, кон!орые е насти часты! силгметричны, а е другой— ангиисиммстригны !). Окончательно из принципа тождсственнюстн частиц следует, что возможны только два класса состояний для одинаковых частиц: Р а гт)г, = Ч", (й, ! — любые) (115.7) — симметричные во всех частицах и РауЧг„=- — Ч", (к, ! — любые) (115.8) — антисимметричные во всех частицах.
Мы сейчас покажем, что переходов между этими состояниями быть 'не может: если в какой-то момент времени система находится в ситлметричном (Ч",) или антиснмметричном (Ч'„) состоянии, то она всегда находится в симметрично;л или соответственно антнсимметричном состоянии. Для доказательства этого важного положения достаточно воспользоваться уравнением Шредингера и тем обстоятельством, что гамильтониан обязательно симметричен относительно одинаковых частиц.
Уравнение Шредингера !абдт =Й' (115.9) нам удобно переписать в форме АЧг =-. ЙЧгаг(, (115.10) ') Если встречаютси перестановки и того и другого рода, то Ч'=О. Действительно, пусть Чг симметрична при перестановке а н 1, ! и !', но антисимметрнчна при перестановке !' и /!. Тогда писем Ч (" си ". еа " е!' ")= Р(" чм" ° си " ч!' ")= Ото!ода 2!Р !..., еь ..., его ..., дл ...) =О, т. с. ги !..., еь ..., ч!„ ..., Ом ...) =-О. [1одобньы нсе образом проводится доказательство в предположении, что дпе перестановки антнснммстричны, а третья снз!четрнчна. СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ А1ИКРОЧАСТИЦ !ГЛ, Х1Х 496 где 4 будет означать приращение волновой функции за время 1(1.
Допустим, что в момент времени 1=0 Ч' есть симметричная функция координат частиц (Ч'=-Ч",). Тогда в силу симметрии Й величина НЧ', будет также симметричной функцией координат частиц, а следовательно, и приращение функции г(1Ч" будет симметричной функцией от координат частиц.
С помощью оператора перестановки зти рассуждения могут быть записаны так: Реи (Йч",) = и (Рмчг,) =- Йч"„ отсюда с помощью (115.!О) следует РАТ (г(1Ч',) = 1(1Ч", (115.11) для всех пар я, 1. Наше доказательство, таким образом, утверждает, что функция, симметричная в какой-то момент времени (г'=О), остается симметричной и в соседние моменты времени как в прошлые, так и будущие, ибо доказательство одинаково применимо н к 1(1 ) 0 и г(1'(О. Следовательно, симметрия функции остается неизменной для всех моментов времени от 1= — оо до г= +со.
Совершенно аналогичным образом проводится соответствующее доказательство для антнсимметричных функций. Пусть в момент 1=0 функция Ч', описывающая состояние системы, антисимметрична (Ч'= Ч',). Тогда Далее, Р„(Йчг„) = н (Ргцчг,) = — Йч., из (!15.10) тогда следует Ргц (г(117„) = — г(1Ч"„ (115.12) т. е, приращение антисимметрнчной функции Ч", само антнсимметрично.
Поэтому, если система находится в состоянии, описываемом антисимметричной функцией Ч'„, то она всегда остается в таком состоянии. Доказанная теорема показывает, что деление состояний на два класса носит «абсолютныйх характер: если какая-либо система в какой-либо момент времени обнаружена в состоянии того или иного класса (Ч', илн Ч',), то она никогда ие перейдет из одного класса в другой. Такой переход невозможен, как бы мы ни меняли внешнее поле, так как всякое поле одинаково действует на одинаковые частицы, и, следовательно, при любом изменении внешнего поля гамильтониан остается симметричным. Нам надлежит теперь решить вопрос о том, в каких случаях какую из двух возможностей (Ч" = Ч", или Ч' = Ч'„) следует применять для описания состояния системы из одинаковых частиц. 4 гья чдстицы возя и частицы оеемгг пеггнцг«п паули 497 9 116.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
