Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 95
Текст из файла (страница 95)
'р», (Еу) " Ч', (Ен) "р», (е,) " Ч'», (ее) " "р», (еу) " Ф», (чн) (117.6) Ф» (Чз)" 1» (Че) "'М» (Чт) "'!» (Чн) 'р»н (чз) "."р»н (еи) "'р»н (е!) "'р»н ('7н) Раскрывая определитель, можно написать Ф также в виде Ф »г...,»м...,»л...,»нфь ° ° ° г)ь ° ° ~ 47 ° ° ° ~ Дм)= = У,( ь)Рф»,(гй) . ф»в(ц») ф»7(ду)...ф»н(цн) (1176') Здесь сумма взята по всем % перестановкам координат частиц Чь ..., Чн, причем знак + или — берется перед слагаемым в (117.6'), смотря по тому, получается ли некоторое расположение величин Ч из расположения в порядке возрастающих номеров Чь г)в дь ()ьь ", (гн путем четного числа парных перестановок или путем нечетного числа парных перестановок. сиоп»мы нз одпнлковых мнкпо члст1щ !гл. хы Приведенное представление антпсимметрпчных волновых функций в виде суммы определителей очень важно в практических приложениях теории при приближенном решении задачи о движении многих тел.
Допустим, что нас интерес)чот волновые функции стационарных состояний двух электронов в атоме. Такие функции найти, вообще говоря, довольно трудно. Напротив, функции одного электрона найти значительно проще. Допустим, что этп функции мы знаем — пусть это будут функции Ч>„,(д,) и Чьи(4»). Если взаимодействие электРонов не сильно, то волноваЯ функция системы двух электронов будет такова, что состояние каждого из электронон будет мало отличаться от состояния одного электрона в атоме в отсутствие другого электрона. Если же один электрон мы помещаем в квантовое состояние, характеризуемое величинамп (квантовыми числами) п„то вероятность найти какое- нибудь иное значение и,' в этом состоянии равна нулю. Подобным же образом, помещая второй электрон в состояние п„мы должны будем утверждать, что вероятность найти и.', равна нулю.
Если мы теперь имеем дело сразу с двумя электронами в атоме, то в случае слабого взаимодействия между электронами состояние при помещении второго электрона должно мало измениться. Это означает, что если теперь вероятность найти п, =- и, 'и пз =- п,' и будет отлична от нуля, то она все же будет мала, а стало быть, все с (и,', п,', 1) в (117.3) малы, кроме с(п„п,, 1). Пренебрегая всеми с, кроме с(пь и„1), мы получим из (1!7.3) волновую функцию Ч"' для двух электронов атома в нулевом приближении: Ч"'(д„д,, 1) =с(пы п„1)1,,"' „"' - 1, (117 7) ~!Ч.,(4) Ч.,(ч>)) и так как общий множитель с(пы п„1) не играет роли, то г)>»»~ (~?1 )2)' (117.
8) Аналогично и в случае многих частиц, при условии слабого взаимодействия между ними, функцией нулевого приближения для системы частиц Ч" является Ф»г..., »„..... »,„, »л> (ды ..., дл,... с, ..., дк) (!17.6), если ф» (д>), ф»,(д>), ..., Ч>», (г(л) суть функции электронов без учета взаимодействия.
Таким образом, представление антисимметричной волновой функции в виде определителя (117.4) или (117.6) дает приближенный способ для представления волновых функций системы слабо взаимодействующих частиц через функции отдельных частиц в отсутствие взаимодействия между ними. Для частиц Бозе мы имеем другое разложение волновой функции системы частиц Чг по произведениям функций отдельных частиц: ф» (ф) ф» (д.)...ф», (ф~)...>(>» (ф)...Ч>»п (цл). Переставляя Э нт! ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦ1Ш ДЛЯ ФЕРМИ И БОЗЕ-ЧАСТИЦ 507 в разложении волновой функции системы Чч(71 Чл у сАч !) = ~,...,У',с(п„..., пА, !)х л, лА1 Х ТРА, (1(1) флА (ДА) фл,. (1)1) "фл,~ (ДЛ) (117.9) координаты л-й и 1-й частиц и замечая, что функция Ч" для частиц Бозе при этом не должна измениться, мы, сравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях, найдем, что с(л„..., и», ..., пл ..., лА, 1) = =+с(п„..., л;, ..., ЛА, ..., лАИ Г).
(117.10) Для двух частиц будем поэтому иметь ч (111, оэ) = У, с(л1, п1) (1(1л,(чг)фл,(дт) +тРл,(1(1)Ч1л,(д )1 (117.11) л,)л, Если взаимодействие между частицами слабо, то приближенное выражение для нолновой функции состояния двух частиц, близкого к состоянию невзаимодействующих частиц, в котором одна из частиц находится в состоянии п„а друтая в л имеет внд Ч" = фл, (д,) фл. (О,)+ф„. (д,) фл, (тз). (117, 12) В случае 11! частиц на основании сходной аргументации получим Ч" =ХРф (Чт) фАЫ" ф (г(7) "ф„(17 ), (117.13) где ~, означает сумму по всем Л'! перестановкам координат частиц д», дз " ол" Глава ХХ ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА $ 118.
Вторичное квантование Ансамбли одинаковых частиц могут быть рассмотрены особым методом, носящим название вторичного квантования. Сущность этого метода закл!очается в том, что в качестве независимых переменных для описания ансамбля вместо полного набора механических величии, характеризующих индивидуальные состояния отдельных частиц, берут числа частиц в энтих состояниях. Каждое из этих состояний будем характеризовать тремя переменными: Еы (,„(.„относящимися к движению центра тяжести частицы и спиновой переменной з, если частицы имеют спин. Ради упрощения математического аппарата будем считать, что эти переменные имеют дискретный спектр, так что все состояния можно перенумеровать числом п так же, как это делалось в 9 1!6 (под и разумеется совокупность значений четырех величин: (.г, /-з, (з з).
Обычно гамильтониан дается в координатном представлении поэтому мы выполним сначала преобразование от координатного представления к «Е»-представлению, которое будем считать дискретным '). Если в координатном представлении волновая функция системы Аг одинаковых частиц будет »р(г)„ г)з, ..., дд,, (), то ') В теории втори шого квантования часто берут импульсное представление ((«=Р».
(«=Ра (»=Р«). Однако импульсное представление непрерывно. ПозтолгУ пРибсгают к искУсственномУ пРиемУ, полагаа Р =2пап (1, Ра — — 2папаг!. р,=2лпп,11, где и., пл, п,-целые числа, а ! — некоторая большая длина (ср. 4 120). Тогда импулльсйое представление становится дискретным. В окон. чательном результате переходят к 1-» о» и тем самым освобождаются от »того искусственного допущения. Исчерпывающая теория вторичного квантования.
применимая также и к случаю непрерывной последовательности состояний, была разработана В. А. 4»оком (Н. А. Р о с и, Рйуз. 2», б, "ооч. ()п1оп 6, 425 (!934)) э н«! ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ уравнение Шредингера для этой системы имеет вид Л1 (~ Л)!)« ~ Л)! «))л, 11)81) А)/ т где Н()/А)= — — т)А«+(/(г)А) есть оператор энергии й-й частицы, 21) (/()/А) — потенциальная энергия /г-й частицы во внешнем поле, а )р'()/А, д/) — энергия взаимодействия /«-й и !-й частиц. Разложим теперь волновую функцию ф по собственным функциям )))„,()),) операторов й! /.„ г'.„ з точно таким же путем, как это делалось в й 115. Тогда получим ф (Чг Ч ° )г'А' () = =.~,~ ",~,с(пн п«,, иА, ()фл,й!)«рл,()!«) ")!)л„()/А)).
(!18.2) 1 1 с (п„п„..., пА, /) есть, очевидно, волновая функция нашей системы в «(.))-представлении. )с(пг, и„..., пА, /) ~' есть вероят- ность того, что первая частица находится в состоянии и, (имеет чствсрку /.„!1, 7«, В, обозначенную одной буквой и,), вторая частица в состоянии и, (нмеет четверку г,'„Ц, /.„', э', обозначен- ную через п,) и т. д.
Подставляя (118.2) в (118.!), умножая ураВНЕНИя СЛЕВа На !))„";, ()!1) ф" (д,)...)рл (дА) И НитЕГрнруя ПО 1/! Ч« //)«, получим 1! гй-/ с (гп,, т.„., та,, тз .. тп /) =- ~,' 'У,'Н...,. „, с (т,, т„..., и„..., т/, А=! л« + ~л ~ У 1~'... г ... с(т„т„..., п«...,, и/, ..., пг, /). (! 18 8) А>/ лг, лг ЗДЕСЬ Н; И Ю'л) л)., л,л, СУТЬ МВТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ А:«А А"'/ А / Н.,: „= ~ М, (г/А) Н(г/А) ф«А Ы г!с/ (!18.4) )л)л л))л л.= А/) А/ .= ~ ф* „(г/А) "Р))/ (д/) )У/ (ЧА //г) ф)л, ()/А) фл/(гг/) г(г/л с/г/г.
(118.5) Уравнение (118.3) есть уравнение (118.1) в «(.))-представлении. В силу одинаковости частиц матричные элементы (118.4), (118.5) зависят лишь от значения квантовых чисел т„, т/, пм п/, а ие от номера частиц /г, /. Обозначая какое-нибудь значение тл через т, п„через и, подобным образом т/ через т', и, через п', координаты Ьй частицы через д, а / — через г/', мы можем написать ая ВтОРичнОС кВАнтОВАниа н кВА!НОВАя стАтистикА !Гл. Хх (118.4) и (! 18.5) в виде и»,.!..
= — ,-"„~д(д) т' ~„(д) ад+ ~ ф,»(д)и (д) ф.(д) (д= = —,"„' ~ т'ф*, (д) тф„(д) (д+ ~ д, (д) и (д) ф (д) (д =- и.„, (П8.8) 1«'», »~;»».= «р«! =- $ Ф' (Ч) ф' (Ч ) )т' (Ч, Ч') ф (Ч) ф» (д') г(д Йд' = В'»,.Р, „. (118.7) Амплитуды с(т„т„..., тп, () (волновые функции в «!'.»- представлении) суть симметричные функции квантовых чисел т,, т«.. тп для частиц Бозе и антисимметричные функции для астпц Ферми (см. з 116).
Поэтому значения этих амплитуд зависят лишь от того, сколько аргументов из пх полного числа Л'(п!„п22, ..., тп) равно т, сколько равно т', п!", ... и т. д., а не от того, какие именно из этих аргументов равны т, т', т", ..., т. е. эти амплитуды являются функциями числа частиц в каждом пз состояний. Обозначим эти числа через Л!„Л'„...
..., Л!»„..., Л!,„ч ..., У,„-, ... и т. д. Следовательно, например, Л!», равно числу чисел т, среди аргументов с(т„т.„..., тп, !), значение которых равно т, Лг,„равно числу чисел ты значение которых равно т,' и т, д. В случае частиц Бозе числа Л«», могут быть любыми. Напротив, в случае частиц Ферми, в силу принципа Паули, функция с(т„т„..., тм, () обращается в нуль, если хотя два числа п!«, т, равны между собою, так что Л!,» принимает только два значении О или 1: состояние может быть занято только одной частицей или вообще не занято. Дальнейшие преобразования мы произведем для частиц Бозе. Наша задача заключается теперь в том, чтобы написать уравнение Шредингера (118.3), взяв в качестве переменных вместо квантовых чисел п«„т«, ..., п!А.
числа частиц в этих состояниях Лм Л'2, ..., Л«„, ... Для этого нам нужно прежде всего изменить нормировку амплитуд с. В самом деле, если рассматривать с как функцию чисел Лн Л'2, ..., Лг, ..., то |с (ЛЕ„Л'„..., Л«,», ..., ()," есть вероятность нахождения Л!! частиц в состоянии 1, ЛГ» частиц в состоянии 2, ..., Л«„, частиц в состоянии т и т. д. Эта же вероятность выразится через с(т„т,, тм, 1) в виде !с(Л!«, Л!2, ..., У„„..., () !'= '»" ~с(т„п22, ..., тп, !)!!2, (П8.8) где сумма взята по всем с(т„т«, ..., тА, (), имеющим Л!! чисел т«, равных 1, Л'2 чисел т«, равных 2, и т. д.
В силу симметрии все эти с равны между собою. Поэтому ~с(Л!«, Л!2, ..., ЛГ, ..., 1) ~»=- (с(т„т„..., тп, Г) ~2, (118.8') И з г!л! Втоиггчнов квлггговаггьа откуда с(У» М„.,., Ут... () = =(. °,. )' ггг! г чю ) с(т„пг„..., гггд, (). (118.9) Подставляя теперь в (118.3) вместо с(лг» агг, ..., тм, () амплитуды с(У„Мг, ..., М, ..., г), мы можем выполнить суммирование по номерам частиц )г и !'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
