Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 98
Текст из файла (страница 98)
(119.4) и (119.5)) имеем е +е =е„+е„. (120.6) Из (120.5) получаем, что ж= У-.. У "=С, (120 5') 1«С Ум!сВУ . =1«СУ„1-» М„. где С вЂ” некоторая постоянная, которая может зависеть (на основании сделанного предположения об .Ч и закона сохранения (120.6)) лишь от суммы е„+е ° (или е„+е„=е +е ). Таким об азом, р =С(е +е ).
(120.5") Обозначая '" =гр(е ), мы перепишем (!20.5") в виде Ум гр(е ) гр(е ) =С(е +е ). (120,7) ') Мы называем (120.4) «предположением»ч так как в выражении для вероятности перехода (120.2) разумеются истинные значения населенности уровиеа Лг», Лгч„дг»о Лг»„, а в (120.4) стоят средние значения У«п Л'«„Лги, Уг» . Равенство (1 «- Лг»г) (1 чг Лг»г,) Лг„дг«,=(1 -г- У„,) (! -г- Лг„„) УиЯ„, не Явлкегсв очевидным и выполняется не при всех условиях. $!ее! ГАЗ ФеРми — диРАкА и ГАЗ Бозе — эпнштеинА 521 Дифференцируя это равенство один раз по е н другой раз по е ° и деля один результат на другой, найдем Ф" (еа) с2' (е„, ) (120.8) Е (Е е) Ф (Еа.) О где Π— некоторая постоянная, не зависящая от е.
Интегрируя теперь (120.8) по ЕФ, находим е Ч(Б,.)Р в (120.9) где се — постоянная интегрирования, Отсюда находим для среднего числа частиц в состоянии с энергиеп Б„: Л' =Л((е ) =, е и! (знак + для частиц Ферми, знак — для частиц Бозе). При большой энерпш частицы (Б-+со) закон распределения по энергиям должен совпадать с классическим законом Больцмана е,„ Л'(е,„)= сопз1 е (120. 11) где й — постоянная Больцмана, а Т вЂ” абсолютная температура. Переходя в (120.10) к пределу е,„— е.оо и сравнивая с (120.11), находим, что О=гсТ. Таким образом, окончательно 1'е'т =, (120.12) !11 еет ".,1 Постоянная интегрирования се определится из условия равенства числа частиц во всех состояниях полному числу частиц в рассматриваемом объеме газа: ~Л~ =Л(.
(120.13) Совокупность частиц, подчиняющихся закону распределения (120.12) со знаком (+), носит название газа Ферми — Дирака, а со знаком ( — ) — газа Бозе — Эйнштейна. Закон (120.!2) явно написан для дискретных состояний. Введем число состояний на интервал энергии с)е. Обозначим его через (ср (Б) с(е, где Р' — объем всего газа. Тогда, суммируя (120,12) по всем квантовым состояниям, энергия которых попадает в интервал е, е+с(е, мы получаем среднее число частиц газа, имеющих энергию между Б, е+с(е (закон распределения по энергиям); 1'Р(е) ае с е — — а ео 599 ВтОРичнОе кВАнтОВАние и кВАнтОВАя стАтистикА (гл хх и деля на )У, получаем то же число для единицы объема газа и ) ( =,""" .
— — а ео -~- ! Вместо (120.13) теперь следует написать ~ Т'(е) с(е= ~,~ =и, а (120.15) где п = Аг/)г — плотность числа частиц '). Распределение (120.14) со знаком (+) носит название р а спределення Ферми — Дирака, а со знаком ( — ) — распределения Бозе — Эйнштейна. Наиболее существенной особенностью распределения Ферми — Днрака является существование нулевой энергии газа. Чтобы В этом убедиться, положим а= 8; тогда имеем р (е) г(е . р (е) е — еч 3 — еч е е ! ! ее +1 (120.15) г) Очевидно, что р(е) не может зависеть ет объема газа, так как иначе функция распределения также зависела бы от него. Такая независимость р(е) от (г всегда имеет место, если объем газа )г значительно больше Аз, где л— длина волны в преобладающем числе занятых состояний.
з) См. М. А. Ле он то ви ч, Статчстическая физика, Гостехиздат, )944. При О- 0 (низкие температуры) е, должно быть больше нуля (если энергию е отсчитывать от нуля так, что е) 0), иначе при О- 0 )(е) — ьО и нельзя удовлетворить первому равенству (120.15). Далее, мы видим, что при О-+.0 ) (е) =р(е) для е(ее и ) (е) =0 для е) е„т.
е. при абсолютном нуле все состояния в газе Ферми — Дирака заняты вплоть до состояний с в=е„остальные же состояния свободны. Энергия частиц, занимающих состояния от е=О до е=е„и есть нулевая энергия газа. Более подробное рассмотрение показывает, что такое распределение очень мало меняется с температурой, если только температура остается такой, что О =)еТ((ее. е„очевидно, есть максимальная энергия частицы в газе Ферми — Дирака при абсолютном нуле температуры. Мы вывели распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, исходя из гипотезы о столкновениях (120.4). Эти же распределения могут быть найдены из общих положений термодинамической статистики (ансамбль Гиббса) без каких-либо предположений о кннетнке процессов').
ГЛЗ ФЕРМИ вЂ” ДНР'КЛ И ГЛЗ БОЗŠ— ЭЙНШТЕННА % !20! Отличие расчетов, базирующихся на квантовой механике, от расчетов, базирующихся на классической механике, заключается в разном способе подсчета числа возможных состояний. В квантовой механике состояние характеризуется заданием симметричной пли антисимметричной волновой функции тр, и различные перестановки частиц по отдельным состояниям не даютшового состояния (тР переходит сама в себя или меняет знак). С точки зрения классической механики каждая такая перестановка означает новое состояние частиц. Классическая статистика, базирующаяся на таком подсчете состояний, представляет собой предельный случай квантовой статистики, в которой число состояний исчисляется по числу различных волновых функций (можно показать, что классическая статистика получается из квантовой, если число частиц в объеме средней длины волны )гз много меньше единицы).
В квантовой области различают две статистики — от а т и с т и к у Ф е р м и— Ди рак а (для частиц, подчиняющихся пршщнпу Паули,— анти- симметричные Ч) и статистику Бозе — Эйнштейна (симметричные Ч", частицы Бозе). В своих принципиальных основах эти две статистики, конечно, не различаются. Применим статистику Ферми — Дирака к электронам проводимости в металле. Последние приближенно «южно рассматривать как свободные частицы '). Подсчитаем число состояний на интервал энергии р(е). В объеме металла Б' = !г состояния свободных частиц будут стоячими волнами.
Удобнее рассматривать бегущие волны, считая металл бесконечно большим, но мы будем предполагать, что в каждом объеме Б' = (г состояние полностью повторяется («условие периодичности»). Такое рассмотрение вполне законно, если 1 ~~1, где ) есть длина волны преобладающего числа занятых состояний. Волновые функции будут плоскими бегущими волнами вида ( т а» ) (Ел ! )зга (120. 17) (нормированы к 1 в Б'), причем )з„ед, е, имеют значения ') Строгое доказательство возможности такого приближения и установление границ его применимости до сих пор еще не произведены. Благодаря такому выбору й„, й„, А, состояние в объемах Б' повторяется. Состояния у нас нумеруются числами п„п„, и,.
Эту тройку чисел и следует теперь понимать под одним индексом и, фигурировавшим в (!20.!2) Образуем сумму д',сзп,бп«7«п, (7уп=-+:!) по состояниям, которые попадают в интервал энергии е, е +г(е. На основании 524 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ и КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА (ГЛ ХХ (120.18) имеем Ллл Ллу Лле — (,— ) ЛЛ2ЛЛР Ляез следовательно, Х ЛИ„ЛИ„Лп, = е„е+ уе (з )з е, (2:Оз (2л)" е Лй Л/гуЛйе= е+ де г/Аз гйу г(/г, = еч-Не (120.21) (2лз)2 /Зл )з/з З)з (8л (120. 23) Величина максимальной энергии электрона е, для металлов (и 1022 сзг-з) получается равной нескольким электронвольтам. Такого же порядка величины средняя нулевая энергия электронов е(0) (точно 8(0) = '/,е,).
По классической теории средняя энергия электронов должна быть гораздо меньше ('/,/гТ). Более детальное исследование показывает, что е, очень мало зависит от температуры, если только последняя много меньше Т, = †'. Эта /е ' температура для электронного газа составляет 10000'. Для температур ТР Т, можно доказать, что распределение Ферми — Дирака переходит в максвелловское распределение е /(е) г/е=сопз1 е еег/зпее. /22 Замечая, что для свободных частиц е= — ле и что каждому зна- 2)е чению (г соответствуют два состояния с различной ориентацией спина электрона, мы получаем (/р (е) г(е = „, — ене г(е.
вл)е Щз/2 (120.20) Подставляя это значение р(е) в (120.14), находим закон распределения свободных электронов вл (2)е)з/з ег~з де ю е (- ! Вычислим максимальную энергию е, для 6 =0. Так как при 0=0 /(е) =0 для е>со, то пз (120.16) и (120.21) и!леем 8л (2л)згз Г' 8л (2)з)згз 2 з/з а = ~ /'(е) г/е = — — е'" г(е= — — — ее~ . (120.22) (ЗИЬ)з 2 ) (2л/бз 2 3 о о Отсюда 9 !201 ГАЗ Фи!жн! — дирдкл и !'лз вози — эпнштспнд 525 Таким образом, закон распределения фотонов по энергии получается в виде (120.26) — а ев Полное число фотонов неопределенно (= — со), поэтому условие (!20.16) для определения !х не может быть использовано. Энергия в единице объема в интервале с(е будет равна е((е) с(е, Имея в виду, что в = йот, перейдем к плотности излучения и (а») на интервал частот гйо: и (ш) с(ш= ег(в) й! йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
