Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Различие между кулоповской энергией (в узком смысле слова) и обменной Л основано на приближенном представлении 1 функций системы Ф, н Ф, в виде =(ф, + фе). Тем не менее это !' 2 разделение энергии взаимодействия на кулоновскую и обменную части оказывается очень плодотворным и поэтому получило право па существование. Согласно теории возмущений поправка к энергии е должна просто равняться средней энергии возмущения в соответствующем состояепш. Это утверждение легко проверить для рассматриваемого нами случая. Энергией возмущения является кулоновская энергия взаимодействия электронов —. Чтобы вычислить средГи нее значение этой энергии в некотором состоянии Ф (г„г,), нужно ел умножить — на вероятность положения первого электрона в обем ласти ГЬ, и второго в области е(о„т.
е. На ~ Ф ~'до, ГЬБ. и проинтегрировать по всем возможным положениям электронов, т. е. вычислить интеграл ,— е ㄠ— = г! — ! Ф!'до,дое. (123.6) Ги г Пе Подставляя Ф„илп Ф, пз (122.2!) н (!22.22) вместо Ф, мы находим — — = — ~ — — (1 фГ !'+ ( фе )е 1 1„'Гфе +' ~1э"фе) доГ до„(!23.6) Не Г12 что в силу (122.6) п (122.6') равно (123.6') К-4- А т е. поправка Б есть просто средняя энергия нрлоновского вэаил1одействия электронов в состоянии Г1), или Ф,.
~гл. хю МНОГОЭЛЕКТРОНИЫЕ АТОМЫ 542 Этот расчет позволяет нам глубже взглянуть на происхождение обменной энергии. Величина ~»Р,~»«Ь, до» есть вероятность того, чго первый электрон находится в области «(о, и в состоянии и, а второй — в области йо, и в состоянии и. Аналогично величина ~»р»~»г(п,г(п» есть вероятность того, что первый электрон находится в области г(о, и в состоянии т, а второй — в области по» и в состоянии и.
Если бы состояния ф, и »р» были независимы, то мы получили бы, что вероятность первому электрону находиться в области г(ОО а второму — в области РЬ», независимо от того, в каких состояниях эти электроны находятся, равна (считая ф, и »ра равновероятпыми) (Р„= —,' И,~'+,ф,Г) Ь, Ь.. (123.
7) На самом деле состояния фг и ф» оказываются не независимыми, и фактически реализующееся состояние есть Ф= — (ф, + ф»). 1 Р'2 (123.8) г()» 1» = ~ Ф ~' «Ь» «(о» = г()» ы + (ф»ф.,"+»Р';*'ф») г(ог РЬ„(123,9) который и приводит к существованию обменной энергии. Легко видеть, что обменная энергия вовсе не связана специально с кулоновскнм взаимодействием электронов. Предположив любое другое взаимодействие наших частиц 1Р'(г„), мы все равно получили бы среднюю энергию )Р" (гы) в виде двух частеи: энергии 1Р', которая получилась бы, если бы в (123.3) вместо — ввести )Р'(г„), и обменной энергии А, которая получилась б» бы из (123А), если опять-таки вместо — ' ввести туда 1Р'(г,»). Г!2 Таким образом, всякое классическое взаимодействие )Р'(г„) двух одинаковых частиц ведет к обменной энергии.
Обменная энергия не имеет никаких аналогов и классической механике. Открытие ее существования является одним из фундаментальных и новых результатов квантовой теории. Название «обменная энергия» выяснится гораздо полнее, если мы рассмотрим состояния Ф, в которых распределение частиц по состояниям п н т фиксировано. Для этого обратимся к временной зависимости состояний Ф„и Ф,. Так как это— Волновые функции»»Р, и ф, находятся при этом в определенных фазовых соотношениях, и мы получаем В выражении для вероят- ности нахождения частиц в областях «Ь, и РЬ» интерференцпоп- ный член 543 ОБМЕННАЯ ЭНЕРГИЯ ф )ел стационарные состояния, то 1 — — 1Е'+ К+ Я) 2 Ф, = — ()Р) + Ч)2) е 1'2 (123.10) 1 !Ба+К А)) Ф,==-(аР, — )Р2) е )а 2 Обозначим Ео+К л Б) о— 6=— (123.1! ) и рассмотрим вместо Ф, и Ф, состояние, являю.цееся их супер- позицией (это будет уже не стационарное состояние): ! Ф= — (Ф,.+Ф,) = )а 2 1 2 = - — е- '""' 1а(а„(е-)А'+ е'ь') + )22 (е )М вЂ” е'ь')1, (123.
12) или (123.13) Ф = с (1) )Рф + с2 (1) а()„ где с, (!) = е — '"~ соз 61, се (1) = !е — '"" з(п 6!. (123.14) Согласно статистическому значению амплитуд с, и с, величина ) с, )2 есть вероятность нахождения системы в состоянии )р, (т. е. первый электрон в п, а второй в т), а )с2)2 — вероятность того, что система находится в состоянии )р2 (т. е. первый электрон в т, а второй в и). Имеем !сз (!) )2 = соз2 61, )с2 (1) )2 =- з !Н2 61, (123. 15) отсюда взятое нами состояние Ф (123.12) таково, что прп 1=0 первый электрон находится в состоянии )р„, второй в состоянии )р .
Спустя время т= — получим )с))2=-0, ~с,)2=1, т. е. первый электрон перейдет в состояние )р, а второй в )р,,— произойдет обмен состояниями. На основании (123.11) мы видим, что это время обмена можно выразить через обменную энергию. Именно, мы получаем, что (!23.16) Отсюда следует важный вывод: время обмена сос)ваяниями обрагпно пропорционально обменной энергии. Интересно посмотреть те условия, при которых обменная энергия столь мала, а время обмена столь велико, что обменом можно совсем пренебречь. Обменная энергия зависит от плотности Р „(г) ==.2()„(г))))„(г), следовательно, она зависит от того, насколько 544 многоэлсктгоппыв лтомы 1гл. хх> перекрываются функции состояний ф„и ~)>„. Если ф„,=-О там, где ф„э' О, илп >р,„О там, где ф,=-О, то р„„,==-О и обменная энергия вовсе отсутствует. Этот крайний случаи являстся, однако, идеализацией.
Тем не менее мы можем вывести яз него важное заключение: если состояния ф„и >р., таковы, что ~>)>,„~х и )>)>„~' сосредоточены в разных частях пространства, то обменная энергия мала (стремится к нулю). Допустим теперь, что состояния ф„суть состояния электрона в атоме, но энергии Е„и Е„, предположим сильно отличающимися: Е )) Е„. Тогда функция ф„сосредоточена в области, очень близкой к ядру, а ф довольно широко распространяется от ядра. Так как обе функции нормированы к 1, то это означает, что ф мало там, где ф, заметно велико. Следовательно, плотность р „опять-таки мала. Таким образом, обменная энергия мала и обменом можно пренебречь, если идет речь либо об обмене состояниями, сосредоточенными в разных частях пространства, либо об обмене состояниями, сильно отличающимися по энергии.
Последнее обстоятельство оправдывает, например, то, что во многих случаях можно пренебречь обменом оптического электрона с электропамн внутренних оболочек. 5 124. Квантовая механика атома и периодическая система элементов Менделеева Открытый Менделеевым периодический закон является важнейшим законом природы.
Он составляет основу не только химии, но и вообще всей современной атомной и ядерной физики. Теория этого закона далеко еще не завершена. Проблема структуры атомных ядер находится еще в зачаточном состоянии, а между тем именно яд)>о атома определяет полностью структуру его электронной оболочки, и вместе с тем — химические и физические свойства атома в целом. Однако если рассматривать характеристики атомных ядер как данные из опыта, то квантовая механика позволяет понять периодичность в структуре электронных оболочек атомов, исходя из теории движения системы электронов в электрическом поле ядра. Таким образом, для выяснения природы периодичности можно ограничиться расчетом движения электронов в атомах, исходя из заданной массы ядра и его заряда.
Поставленная таким образом задача представляется все же еще чрезвычайно трудной математически нз-за большого числа электроноп в атомах. Напомним, что в классической механике даже проблема движения трех тел не получила до спх пор общего и полного решения. К счастью, в атомной механике положение лучше и многие практически важные результаты могут быть получены с помощью приближенных методов. Прпчииой такого упро- з 1ЗЧ КИЛИТОИЛЯ МСХЛННКЛ АТОМЛ П НСР!ЮД!ШССКЛЯ СНСТГМЛ щспия является дискретность состояний электронов в атомах. Благодаря этому, на основе принципа Паули и теории движения электрона в поле цсптралыюй силы, удается достигнуть сущестгенных результатов в понимании распределения электронов в атомах и вместе с тем периодичности в химических свойствах элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
