Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 99
Текст из файла (страница 99)
На основании этого получасы и(ш)=',",. „,„' е — 1 в (120.26') При 7(ш((6! закон распределения должен переходить в классический закон Рэлея — Джинса (9 6). Чтобы получить этот закон, следует взять а=0. Таким образом, получаем ашз и(со) = —,,— (120,26») е — 1 'е' т. е. формулу Планка' ). ') Литература по квантовой теории металлов весьма обширна. Укажем книги: А. А. А б р и к о с о в, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», 1972; физика металлов.
Электроны, под ред. Дж. 3 а й м а н а, «Мир», 1972; И. М, Лифшиц н др., Электронная теория металлов, «Наука», 1971. ') Применяя метод Гиббса, мо»кно непосредственно вынести формулу (120.25"), не прибегая к классическому закону Рзлея — джинса. (См, сноску на стр. 522). Температуру Та называют температурой вырождения газа. Применение статистики Ферми — Дирака к электронному газу позволило преодолеть многочисленные принципиальные затруднения классической электронной теории металлов и в настоящее время является исходным пунктом современной теории ').
В качестве примера распределения Бозе — Эйнштейна рассмотрим черное излучение. Будем считать кванты света (фотоны) частицами. Соотношение между энергией и и волновым числом й !(е для этих частиц есть е=Ьо=йсм, т. е. --=йс, Так как состоя!(я иия фотона представляются плоской волной, то число состояний иа интервал энергии будет (120.19). При этом еще нужно умио>кить (120,19) на 2, так как для каждого значения к возможны две независимые поляризации. Следовательно, из (120.19) получаем вп /е(в 1 р (в) с(е = —.
( — ) — «(е. (2п)а (, ас Лс Глава ХХ1 МНОГОЭЛЕКТРОННЫ Е АТОМЫ $121. Атом гелия Атом гелия, второй атом периодической системы, является наиболее простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем классическая механика потерпела полный крах. Попытки рассчитать его методами классической механики (с учетом квантовых условий Бора) привели к выводу о невозможности применения классической механики к атомным системам с двумя и большим числом электронов. Было сделано предположение о существовании некоторого рода «немеханическнх действий». Современная квантовая механика в проблеме многоэлектронных систем не встречает никаких принципиальных трудностей (вычислительные трудности довольно значительны). Начнем с качественного анализа возможных состояний атома гелия, опираясь при этом на общую теорию систем, состоящих из одинаковых частиц, изложенную в Я 114 — 117.
Определим прежде всего вид оператора Гамильтона Й для электронов атома гелия. Взаимодействия в атоме гелия можно разбить на две группы. В первую входят значительные кулоновские взаимодействия между ядром и электронами, во вторую — слабые магнитные взаимодействия, обусловленные взаимодействием спинов электронов между собой и с орбитальным движением'), Обозначим координаты электронов через х„дг, гг(гг) и х„у„ ге(г,), а их спины через в, и эе Оператор кулоновских взаимо. действий будет равен 2е' 2еа е' (7= — — — — +— га где первые два члена представляют энергии взаимодействия первого и соответственно второго электрона с ядром атома, имеющим ') В эту же группу следует отнести поправки, обусловленные эависи мостью массы электрона от скорости (ср.
4 бб). 512 Ц Атом Гелия 827 заряд +2е, а третий член определяет энергию кулоновского взаимодействия электронов (рнс. 87). Оператор магнитных взаимодействий обозначим через йг. Он будет зависеть от спинов, положения и скоростей электронов %'=()7(зи з„ги г„— злз7т — ЖЧа). (121.2) Учитывая егце кинетическую энергшо обоих электронов, мы можем написать полный гамильтонпан электронов атома гелия в виде аз Ье 2ез 2ез ез Н (г„г„з„зз) = — — У1 — — 7з — — — = -1- — -)- )Р.
(121.3) 2п 2и и, тз и,„ Последний член, как мы знаем (ср. 2 74), очень мал и обусловливает мультнплетную структуру спектров. Ограничиваясь в дальнейшем качественным анализом мультиплетного строения уровней гелия, мы вовсе отбросим этот член и будем исходить из гамильтоннана йз Й(гм г,) = — — 7,"— 2м +'е В этом приближении, когда игнори- Рис. 87. Взаимодействия в руются малые спиновые взаимодейст- атоме Не. вия, переменные, относящиеся к движению центров тяжестей электронов и к их спину, разделяются. Выбиоая в качестве спиновых переменных проекции спинов на некоторое направление (например, 02): з,„и з,м мы можем (ср.
2 60) написать полную волновую функцию двух электронов атома гелия в виде Ч" (г„г„зе„з„) = Ф (г„г,) 8 (з„, з,з), (121.5) где через 5 (и„, з„) обозначена часть волновой функции Ч', зависящая от спиноз. Оператор Гамильтона Й (121.4) (а также и точный (121.3)) симметричен относительно обоих электронов ввиду их тождественности. Поэтому к рассматриваемому случаю применимо утверждение обшей теории (2 115), согласно которому волновая функция Ч' (121.5) должна быть антисимметричной или симметричной относительно частиц, в зависимости от того, подчиняются ли они принципу Паули или нет. Опыт показывает, что электроны подчиняются принципу Паули (впервые именно для электронов он и был установлен).
Следовательно, волновая функция (121.5) должна быть антисимметричной многоэлектпонные атомы (гл. хх! относительно перестановки электронов, т. е. Р,еЧ'(г,, ге, з,„з,е) == — Чг(г„ге, з,„з,,). (121.6) Оператор перестановки мы можем представить в виде произведения двух операторов перестановки Р,'е н Р,"в, из которых первый переставляет координаты центра тяжести электронов г, н г,„а второй — спины электронов ам и гмз Тогда (121.6) с помощью (121.5) можно написать в виде') Р;еФ(г,, ге) Рь5(зхы з„)= — Ф(гт, ге) 5(зм, з„). (121.7) Отсюда мы получаем две возможности: либо РгеФ(гт, ге) =+ Ф (г,, г,), (121.8) и тогда Ры5 (з)т зм) = 5 (зн вгм), (121.9) либо же Р,'еФ (г„ге) = — Ф (г„ге), Р;е5 (зе„ьхз).=+ 5 (з„, з,в).
(121.8') (121.9') и тогда (121.10) (121.10') где значками з и а обозначены симметричные и соответственно антисимметричные функции. Рассмотрим теперь подробнее спиновые функции 5 и 5,. Поскольку мы игнорируем взаимодействие спиноз, каждую функцию можно было бы написать в виде пропзведения спиновых функций, рассмотренных в й 60 (60.6), (60.6'), относящихся к каждому электрону в отдельности, т.
е. в виде 5 (зхм лет) = 5ат (зм) 5а (згз) где значки ест и сге и указывают, как направлен спин электрона— по оси 02 или против нее. Но функция (121.1!) не является ни симметричной, ни антнснмметричной функцией спннов электро- ') Утверждение ()2!.6) справедливо и в тех условиях, когда спиновын взаимодействием не пренебрегают. Дальнейшее, напротив, базируется на при.
ближении ()2!.3). Первая возможность означает, что координатная функция симметрична, а спиновая антисимметрнчна, вторая возможность означает., что координатная функция антисимметрнчна, а спиновая— симметрична. Поэтому мы получаем два класса волновых функций для возможных состояний атома Не, именно, Чг! =- Ф, (г„ ге) 5, (ает, з.з), Ч'и=Фа (гт, ге) 5,(зм, зм) з 1ти АТОМ ГЕЛИЯ 629 нов.
Легко, однако, построить из функций (121.11) антисимметричные функции 5, и симметричные 5,. Рассмотрим сначала случай, когда спины электронов противоположны друг другу. Тогда волновая функция (!21.1!) имеет внд (зсз згз) 5+'ь (з 1) 5 в ча (зте) (! 21.12) но возможно и другое состояние, когда спин первого электрона противоположен оси ОЕ, а спин второго — направлен по оси 02,: 5" (ь,„ь,а) =-5 ь (етт) 5ьчч (з,з). (121,12') Оба состояния отвечают суммарному спину по оси 07, равному нулю, и оба пр1гнадлежат одной и той же энергии Е. Поэтому этой же энерпш может принадлежать и любая суперпозиция этих состояний.
Среди ГИ1х единственная, описываемая антисимметричной функцией 5„имеет вид') 5„(зсз з,в) = — .. [5чиз (зтз) 5 и (з,з) — 5 „(з,,) 5е ь (зсз)~. (121.13) 1 1' 2 Таким образом, мы определили вид антисимметричной синцовой функции. Если спины электронов параллельны, то антисиммстричные состояния, очевидно, невозможны, В этом случае мы можем иметь следующие состояния спина электронов: 55 (Зтт Згз) 5ьна (Заз) 5Г Н (Заз)г 5,"(зтз, зтз)=5. ь(з„)5 ь(з,в).
(121.14) (121.14') Таким образом, мы имеем всего три симметричные по спину функции 5,', 5," и 5;". Первые две относятся к суммарному спину 1, но в состоянии 5; спин направлен по оси Ог"., а в состоянии 5,"— против оси ОА. Несколько менее ясно то обстоятельство, что состояние 5;" также относится к суммарному спину 1, но только он ориентирован перпендикулярно оси ОА. В этом можно убедиться 1 ') Множитель —. присоединен из соображений нормировки В„н 1. Р2 В самом деле, фуикпнп 5, „(з,) нормированы к 1 (согласно (60.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
