Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Для этого воспользуемся (118.6) и (118.7) и заметим, что с(гп„лг„..., лгм ..., тгз ..., лггт, () отличается от с(пг„пгг, ..., лм ..., лги ..., лгзь г) тем, что число частиц в состоянии лги=пг уменьшилось на 1, а число частиц в состоянии п„=а увеличилось на единицу. Подобным же образом с(лг„пг„... „пл, ..., и,, ..., лггг, г) отличается от с(пг„гп„..., глм ..., игз ..., пггг, () тем, что число частиц в состоянггях лг„=-гл, т,=-пг' уменьшилось на 1, а в состояниях п„=п, п,=п' увеличилось на !. На основании этих замечаний находим хс(М» ..., Ут, ..., Мт, ..., Ул, ..., Уль ..., !)) = глг1( ." (Мт г)г игал" (Мл+() "г(гл' =-'~МН * ' "' " ' "' )' и,т хс(Мг, ..., Ут — 1, ..., М, ..., М +1, ..., Ул, ..., ()+ ! +-,- ~~ 'г УтЛл, Клт, ..
Х т, т' и, л' (' ' ' ' ' 'Г ~г1 "Р~т г) "(Мт' г) Р л+ г! "(г'л'+ г) Хс(У» ..., Мт — 1, ..., Ут — 1, ..., Ми+1, ..., Мл +1, ..., !). (118.!О) ! дгг ! 2 ДелЯ на (у, у г ) з, полУчим 1' 2' гйяс(Мг, ", Мт,", Мт, ", Ул,..., Мл,..., !)= =Ч' М,",, (Ул ! 1)ч*Н..Х л,~л Хс(Уг, ..., У вЂ” 1, ..., Улс.. Лг,+1,, Мль ..„()+ + я- ~ Мл Мт (Ми+1) '(Мл +1) *К!!излл Х ХС(М» ..., У вЂ” 1, ..., Ут — 1, ..., У,+1, ..., Ул,+1, ..., !), (118. 1! ) 5!2 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВЛНИС И КВАНТОВАЯ СТЛТИСТИКА (ГЛ ХХ Это и есть искомое уравнение, в котором за независимые переменные взяты числа частиц в отдельных состояниях.
Это уравнение может быть записано в очень удобной форме, если ввести операторы ал и а„*, которые действуют на функции от чисел Ул, следующим образом: а7(УИ У„..., У„, ..., У,„, ...)= = — (Ул+1) Л)(УН Угн У,+1, ..., У, ...), (118,12) а„~(У„У„..., Ул, ..., У, ...) = =У,'~(УИ УВ, ..., Ул — 1, ..., У, ...), (118.12') а,~(У„УВ,..., Ол, ..., У, ...)=О. (118.!2л) Эти операторы, очевидно, обладают следующими свойствами: (118.13) (!18.14) Теперь нетрудно видеть, что с помощью этих операторов уравнение (!18.1!) может быть написано в виде (й ~( 3 л 1 Нс(У У () (118 15) где Й= ~1 а" Н лил+ — 7 7 а,*лалл Ж'„лзлла„ал. (118.16) ль л Оператор Н есть гамильтониан системы, выраженный через операторы ал и а,';. Его обычно называют в т о р и ч н о к в а н т ов а н н ы м. Это уравнение вполне эквивалентно исходному уравнению (118.1) для У частиц в конфигурационном пространстве.
В сущности уравнение (!18.15) есть уравнение (!18.!) в «Улпредставлении, т. е. в представлении, в котором в качестве переменных взяты числа частиц У„У„..., У, ... в различных квантовых состояниях 1, 2, ..., т, ... Однако уравнение (118.!5) в одном отношении общее уравнения (1!8.1); последнее написано для системы У частиц, в уравнении же (!18.15) полное число частиц явным образом не входит. Опо является постоянной интегрирования. 'Действительно, оператор Й (118.!6) в каждом члене содержит одинаковое число операторов а и операторов а".
Так как операторы ал увеличивают число частиц в каком-либо из состояний на 1, а операторы а уменьшают число частиц в каком-то из состояний на 1, то полное число частиц У = ~.'У под действием оператора Й не й на> вто> ичнос квлнтовлнис меняется, так что '-„;-=')й, й1=О. (118.17) Будем теперь рассматривать амплитуды ап не как числа, а как операторы со свойствами (118.14). Тогда сама функция ф будет оператором Чт(д) =~а„>р„(д), (118.19) действующим на числа >>>„7у'„..., >у"„„... Переход от (118.18) к (118.19) означает, что мы перешли от чисел к операторам, т. е. мы как бы перешли от классической теории к квантовой, Но так как описание движения одной частицы с помо>цью волнового поля Ч>(>)) уже само по себе является квантовым, то замену амплитуд ап на операторы ап называют в т о р и ч н ы и квантованием, а волновую функцшо Ч" называют квантованной волновой функцией').
Заметим, что переход от неквантованной волновой функции (118.18) к квантованной (118.19) может быть сформулирован непосредственно без обращения к операторам ап. Действительно, нз (118.14) и (118.19) следует Чт (д) Чтп (>)') — Ч'" (>)') Чт (>)) = ~ (а„а" — а*"а„ч) ф„(д) Ч>* (д') = пь п =;У', бтпфт (у') фп (у) =.'У', ф~ (у') фп (у), пь и где сумма распространена по всем собственным функциям. Такая сумма, как можно доказать, равна 6(г)' — в).
Поэтому квантование волновой функции можно записать в виде Чт(д) Фп(о') — Ч"и (о') Ч (в) =б(в' — д). (1!8.99) ') Следует не упускать иа виду, что волновой функцией в обь>чпоь> понимании етой величины в теории вторичного квантованкя является функция с(Л'>, Лп, ..., д>,п, ..., у), а не Ф! Таким образом, Л> =- сонэ!. Поэтому уравнение (118.15) справедливо для любого числа М одинаковык чистин Бозе. Гамильтониан (118.16) теории вторичного квантования мо>кно написать в другой форме, которая соответствует энергии некоторого волнового поля. Пусть волновая функция одной частицы есть ф(и).
Разложим эту функцию по собственным функциям фп(д) операторов Б„Бт, Бв, >н чр (г)) = ~ а„>р„(д). и 5!4 ВтОРичнОе кВАнтОВАние и кВАнтОВАя стАтистикА (гл. хх С помощью кваптованной волновой функции ТР (д) (118.19) гамильтониан (118.16) может быть написан в виде Н = Г' ~ 'РЧ"' (д) РЧг (а) дгг + ~ Чга (в) (7 (г)) Чг (в) дг) + + -- ~ ~ Чга (в) Чгэ (г)) Ж'(гу, г)') Чг(г)) Чг (г)') г(аг(г)'. (118.21) Эквивалентность (118.21) и (118.16) очевидна, если учесть (118.19) н выражения дчя матричных элементов (118.6) и (118.7).
В этой форме гамильтониан Н (118.21) можно рассматривать как энергию некоторого волнового поля, которое «квантовано» в том смысле, что классическое поле тр(д) заменено на оператор Чг(г)). Действительно, будем понимать под »Р(г)) волновое поле де Бройля — Шредингера и предположим, что отдельные элементы этого поля взаимодействуют между собой так, что энергия взаимодействия двух элементов пропорциональна произведению плотностей ! тр ((() !а ) Чз (г)') !з. «Классическое» уравнение для такого поля будет') !й — ",,'"' = — -~~МФ+(7Ю Х(Ч)+ + ф (а) ~ 1уг (г), г)') ) ф (г)') !з с(г)'.
(118.22) Полная энергия такого поля будет равна' ) Н=,"„- ~ ~ ~ф(д) !'Ь|+ ~, Р(д),'(7(Ч) дд+ + —,' ~1ф(д)~'~ф(д)1'йу(), д')Ьуа). (П8.28) Если теперь расположить здесь ф и ф* надлежащим обоазом и заменить их операторы Ч" и Ч", подчиняющиеся правилу перестановки (118.20), то мы получим в точности гамильтониан (118.21) теории вторичного квантования. Отсюда видно, что теория вторичного квантования допускает следующий замечательный подход к теории систем одинаковых частиц: рассматривается некоторое классическое ноле ф. Для него находится выражение энергии Н.
В этом выражении классическое поле ф заменяется на оператор т)г. Тогда мы приходим к гамильтониану Н теории вторичного квантования и получаем право говорить о частицах, г) Это уравнение отличается от правильного уравнения Шредингера для одной частицы последним членом, который выражает допущенное нами самовоздействне ф-волн. е) Пользуясь уравнением (118.22), можно убедиться, что ВН(И=О, т. е.
Н есть интеграл движения. Так как второй член в (118.22) заведомо есть нотенцнзльная энергия во внешнем поле, то все выражение, поскольку Н =сонэ! следует рассматривать как полную энергию поля. $1! а) ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 515 свойственных данному полю ф: после квантования поле обнаруживает дискретнуго, корпускулярную природу. Эта процедура носит название ак в а н т о в а н и я п о л яя. Сила ее заключается в том, что она применима к любому классическому полю '). В приведенном выше примере речь шла о квантовании поля де Бройля — Шредингера для случая частиц Бозе.
Совершенно таким же путем можно выполнить квантование для случая частиц Ферми. Различие заклочается лишь в свойствах операторов а, а*. Чтобы найти эти операторы, нужно выполнить заново преобразование уравнения (118.3) от переменных т,, т„..., тд к переменным У„У„..., У, ..., которое для частиц Ферми несколько более кропотливо ввиду того, что при перестановке частиц функции с(т,, пь, ..., тд, () меняют свой знак. Далее, как уже отмечалось, числа У могут иметь лишь два значения: 1 и О. Выполняя сходные преобразования' ), мы получим из (118.3) опять уравнение (118.15) с гамильтонианом (118.!б), но операторы ал, аа будут определены в этом случае иначе, именно, а„""7" (Ух, У„..., Ол, ..., У, ...)= =-+-)(Ут, У„..., 1л...,, У, ...), (118,24) а„'7(У„У„..., 1л, ..., Усн ...)=О, (118.24') а„((У„У„..., Ол, ..., У„„...)=0, (118.24") а„7(У1, Уа, ..., 1л, ..., У, ...)= = ь )(У„Уз, ..., Ол, ..., У, ...), (118,24"') причем знак + илн — берется, смотря по тому, четное или нечетное число занятых (У =1) состояний предшествует состоянию и, если состояния расположить в порядке возрастания') и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
