Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Из этих правил следует а„*ал = Ул (О или 1), алак = 1 — Ул, (118.25) а„а,) та,"';,а„=б „. (118.26) ') Обюая теория этого квантования изложена в книге: Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947. е) См., например, П. А. М. Гх н р а к, Прннпипы квантовой механики, Физматгиз, 1960, ьс 65, или орипшальную работу В. А. Ф о к а, Хз. 1. Рьуз. 75, 622 (1932). а) Можно ввести вигнеровскую фупкпию тл, определяемую формулой мл= П (1 2ум)' ж<л вл1есто анака нс в формулах (118,24) писать тл (тл — — -1.1).
616 вторичное кВАнтОВАние и кВАнтОВАя стАтистикА 1гл. хх !(ак видно, правило перестановки для операторов а в случае частиц Ферми отличается знаком от правил перестановки для частиц Бозе. Пользуясь (118.18) и повторяя выкладки, ведущие к (118.20), получим Ч' (ч) Ч'* (Ч') +Ч" в (и') Г!«(д) = 6 (д' — д). (118.27) л Все остальные формулы, в частности, выражение для О (118.21), остаются без изменения.
Таким образом, гамильтониан Й совместно с правилом квантования (118.27) можно рассматривать как вторично квантованный гамильтониан для электронных волн, «классическое» уравнение для которых есть (118.28). Правило квантования для обоих случаев может быть записано в одной формуле ~Ч" (д), Ч" (д')1 = 6 («) — 4. (118.28) причем знак + берется для частиц Ферми, а знак — для частиц Бозе. В современной физике приходится иметь дело с явлениями рождения и уничтожения частиц. Эти явления, строго говоря, выходят за рамки квантовой механики. Однако метод вторичного квантования ввиду того, что в него пе входит явным образом полное число частиц, допускает простое обобщение на случай переменного числа частиц и тем самым оказывается пригодным для описания явлений рождения и уничтожения частиц. Действительно, если к гамильтониану О (118.16) добавить член вида (Е = ~, '()„а„+ ~ч„"ща,'о (118.29) и и где ф„(Е,"," суть некоторые операторы, характеризующие взаимодействие частиц с какими-либо другимп частицами, способными поглощать или излучать первые, то полное число частиц )Ч уже не будет интегралом движения, так как [(), А>1~0.
Прп этом члены, содержащие а", описывают рождение частиц, а члены, содержащие а, — пх уничтожение (см. (118.12) и (118.12')). Если кванты света (общее — фотоны) рассматривать как частицы, то монсио процессы испускания и поглощения света рассматривать как процсссы рождения и уничтожения фотонов. Основанная на этой мысли квантовая теория излучения была развита Дираком '). Подобным же путем можно изучить явления возникновения и уничтожения электронов и позитронов при !1 — '-распаде, ') П. А М. Л и р а к, Пр>п>кипы квантовой ыскаппкп, Фпзватгпз, !966, гл.
1О; В. Г а й тле р, Квантовая »сорвя излучения, ИЛ, 1956. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 517 $1]э] прн рождении и уничтожении пар, явления образования и распада мезонов и др. Все эти явления рассматриваются квантовой теорией полей '). Помимо квантовой теории поля, теория вторичного квантования находит также обширные приложения в области квантовой статистики. 9 119. Теория квантовых переходов и метод вторичного квантования Вычислим теперь вероятности перехода под влиянием возмущения из одного квантового состояния в другое в ансамбле одинаковых частиц. Для расчета воспользуемся методом вторичного квантования. Чтобы конкретизировать задачу, рассмотрим переходы под влиянием слабого взаимодействия между частицами.
В этом случае целесообразно выбрать переменные Ен Еа, Е„ з, описывающие состояние частиц таким образом, чтобы одна из них (скажем 1.,) равнялась энергии частицы Е, (]7«) = Е (»)а). Тогда матрица О„,„будет диагональной. Если через е,„обозначить собственные значения энергии частиц, то Н „= — е 6,. При таком выборе переменных уравнение (118,15) имеет вид ]7].-с(Л]н Л]х...., () = ~~~~В Л] с(Л]н Л]а, ..., 1)+ ю + -- ~~~~~ а,",а'„Ю'аюпа„а„а„с(Л]н Л]а, ..., 1). (!19.1) ю, юз ппи Сумма ~ В,„Л]„=Е есть полная энергия всех частиц без учета их ю взаимодействия.
Вводя вместо функций с(Л]н Л]а, ..., 1) медленно АБ э аюл]" меня]ощиеся амплитуды Ь (Л]„ЛГэ,..., 1)=-с(ЛГИ Л'„..., 1)еа получим вместо (1!9.1) уравнение для Ь(Л]„Л/,, ..., 1); «71 — Ь (Лгх, Лг„... 1) =- — ~~ е " '" '" " о') эс Г]1 х' э' '''' 2 ю, ап, л, ха'"„",а' У' „,„а„а„Ь(Л]н Л'„..., 1). (119.2) х(опустим, что в начальный момент времени населенность различных состояний характеризуется числами Л71, У'„..., так что все амплитуды Ь при 1=0 равны нулю, кроме Ь'=Ь (ЛГ" Л]' .. Л]" Л]" ° .. Л»" . ЛГ" . ) = 1 ») Н. Н. Боголюбов, 7].
В. Ш и р к он, Введение в теорию квантоваиимх полей, «Наука», 1973; А. И. Ах и евер, В. Б. Бе рее те к к и й, .Квантовая электродйнамика, «Наука», !999. 5[В ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. ХХ Пользуясь обычным приемом теории возмущений, подставим в правую часть уравнения (119.2) начальное значение Ь'. Тогда, имея в виду свойства операторов а,'и, а,'~Р, а„, ап, (см. (118.12) и (118.12')), получим уравнение для определения ЬОН в первом приближении [й 6 по (Л[«Л[п Л[а 1 ! Л[«! ! Л[« [ Х(Л'т + !) "Л[л 'Л[п '%'ттч пп" (!19.3) Интегрируя это уравнение по времени и вычисляя вероятность [Н» перехода в единицу времени Р „; „„ = „— 'Ь'"," (ср.
вычисления й 84), найдем Ртт' пп' ()[[т+ 1) (Л[пс+ 1) Л пх[п' Х Х~ Ю' „,пп 1'6(ет+Е,„— Еп — Рп), (119.4) причем наличие «6»-функции обеспечивает закон сохранения энергии. Подобным же образом, понимая в (1!9.2) под а'", а*„п, ап и а„ операторы Ферми — Дирака (118.24), получим для случая частиц Ферми Р пп = (1 — Л[,'„) (1 — Лl' ) М„'Л[п„- - ~ В'т . „„.
~» Х Х 6 (е + е — еп — еп ). (119.8) Эти формулы показывают, что в системе одинаковых частиц вероятность перехода нз начального состояния (н, и') в конечное (и[, нг') зависит не только от числа частиц в начальном состоянии (и, и'), но от населенности конечного состояния (ш,и'). Это совершенно новый результат квантовой теории, не имеющий места в классической механике. Для частиц Бозе Вероятность перехода тем больше, чем больше частиц уже находится в конечном состоянии.
Частицы Бозе имеют, таким образом, тенденцию накапливаться в одном состоянии. Напротив, для частиц Ферми вероятность перехода равна нулю, если состояние, в которое происходит переход, занято (Л["„, = 1 или Л[' ° =- 1). Это есть новое выражение для принципа Паули. й 120. Гипотеза о столкновениях, Газ Ферми — Дирака и газ Бозе — Эйнштейна В классической кинетической теории предполагается, что вероятность перехода частиц в результате столкновения из некоторого состояния л и и' (энергии частиц е, и е„) в другое состояние и[ $ !те! ГАЗ ФЕРМИ вЂ” ДИРЛКЛ И ГАЗ БОЗŠ— ЭПНШТЕЙНЛ 5!9 и т' (энергни частиц е и е,„) пропорциональна числам частиц в начальных состояниях У„н Ули (120.1) Если У, и ӄ— среднее число частиц в состояниях п и п', то гзредаолагагтся в соответствии с (120,1), что среднее число переходов из и, и' в и, нг' равно (120.1') при этом Амм „„=Ана ° (так называемый «принцип детального баланса» !).
На основании квантовой механики мы должны для газа, состоящего из одинаковых частиц, сделать другое предположение о среднем числе переходов под влиянием столкновений. Как было показано в предыдущем параграфе, вероятность перехода зависит не только от числа частиц в исходных состояниях, но и от степени населенности конечных состояний, именно, вместо (120.1) в согласии с (119.4) н (119.б) имеем для вероятности столкновения в случае частиц Ферми Р, „„= А „„(1 — У„) (1 — У„) У„У„(120.2) (Унн Уа,, У,, У„=1 или О).
В этой формуле явно выражен принцип Паули: если одно из конечных состояний занято Ум= 1 или У ° =1, то перехода быть не может. Подобным же образом для частиц Бозе имеем Р „,„=А „, (У +1)(У ° +1)У,У„. (120.3) Здесь множители (У +1) и (У ° +1) не имеют столь наглядного значения, какое имеют множители (1 — Уж), (1 — У„) в случае частиц Ферми. Однако необходимость наличия таких множителей была нами доказана (9 119).
Как уже отмечалось, частицы Бозе имеют тенденцию к ассоциации: они переходят в наиболее населенные состояния '). Равенство величин А а„и А„„° (обратный переход) вытекает в квантовой механике из того факта, что А„ „„ пропор- ') Этот принцип справедлив не всегда. Он, во всяком случае, справедлив в первом приближении теории квантовых переходов (см. Я 84, 85) и строго справедлив, если силы взаимодействия между частицами — центральные (ср. 544 и цитированную там работу Д. И.
Блохинцева). з) Это приводит к замечательному свойству газа из частиц Бозе: при низкой температуре наступает своеобразная коняев«Чиня этого газа, даже если предположить, что газ — совершенно идеальный, так что силы взаимодействия бесконечно малы.
См. А. Е(пз(е(п, Вег(сп(е дег Ргепки АКад. 3 (!925). теория идеального газа Бозе была развита Н. Н. Боголюбовым (допгп. Рьуз. т~55й Х1, 23 ((947)). Эта теория позволяет дать толкование интересному явлению сверхтекучести гелия. 020 Втоиичгюс кВАитоВАиие гг кВАнтоВАК стАтистикд !Гл. Хх цнонально квадрату модуля матричного элемента энергии взаимодействия (У'ммч ачь а Ж'м,„„з = ()ты ч„н (см. сноску на стр. 519), В соответствии с (120.2) н (120.3) для газа из одинаковых частиц в квантовой механике для среднего числа переходов под влиянием столкновений бсрут вместо (120.1') выражение Р „„= — А„п, ч„(1:Ь,Ч )(1 У ) Уий„, (!20.4) причем знак — берут для частиц Ферми, а знак + для частиц Бозе.
Формулу (120.4) мы будем рассматривать как новос предположение о среднем числе столкновений частиц, основанное на квантовой механике '). Очевидно, что (120.4) превращается в классическое выражение (120.1), если среднее число частиц в каждом из состояний мало в сравнении с единицей. Найдем теперь распределение по энергиям при тепловом равновесии в газе частиц Бозе или Ферми. При тепловом равновесии число переходов в состояния и и и' в результате столкновения частиц, находившихся в состоянии т и т', должно равняться числу обратных переходов.
Из (120.4) тогда получаем (в силу РаВЕНСтВа А,„° =Аччч ) (1 1- у ) (1-+- у,) У„У„, = (1-+- гЧ„) (1-+- 17„) !Ч У . (120 5) Далее, при равновесии среднее число частиц в каждом из состояний У будем считать только функцией энергии этого состояния е [У =У(е )1. На основании закона сохранения энергии при столкновениях (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
