Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(116.5') Эти состояния, возникающие в результате измерения, не будут вообще стационарными состояниями, что явствует уже просто из того, что в системе электронов нн импульс отдельного электрона, нн энергия отдельного электрона не являются интегралами движения. Для пас сейчас существенна другая сторона дела. Введя в рассмотрение состояния отдельного электрона 1р„(д»), возникающие в результате измерения, произведенного на электроне системы, мы освободились от употребления неясного термина «состояние электрона в системе», так как состояние системы характеризуется одной волновой функцией»Р(д»,..., д», д!«, 1) и выделить там состояние одного электрона без изменения системы вообще невозможно.
Если мы производим измерение величин, относящихся к отдельному электрону (Е„Е», Е„з), то по крайней мере в момент времени (=О, в который было произведено измерение, состояние электрона будет ТР (!!») Таким образом, вместо «состояния отдельного электрона в системе» мы оперируем с состоянием отдельного электрона, возникающим в результате произведенного над ним полного измерения. Зтп замечания позволяют нам формулировать принцип Паули в самой обшей форме, не прибегая к неточным словам «квантовые состояния отдельного электрона». 5 !М! ЧАСТИЦЫ БОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ.
ПРИНЦИП ПАУЛИ 5О! В этой общей форме принцип Паули гласит: в системе электронов в каждый момент времени при измерении любых четырех величин 7.П 7.„7.„з, характеризу!ои!их состояние отдельного электрона, каждое значение четверки величин йи 1.„7м з может быть получено только для одного электрона системы. Теперь мы докажем, что эмпирически установленный принцип Паули есть следствие принципа тождественности частиц в квантовой механике..Именно, частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями (частицы Ферми), подчиняются прин!(ипу Паули. Сначала мы проведем доказательство, простоты ради, для ансамбля, состоящего только из двух частиц.
Обобщение на любое число частиц будет уже совершенно просто. Допустим, что состояние частиц характеризуется антисимметричной функцией Ч'(ди д„!) (ои о, означают, как и раньше, совокупность всех координат, включая спин первой и, соответственно, второй частицы). Допустим, что мы измеряем для первого электрона совокупность четырех величин, характеризующих полностью его состояние. Их значения обозначим одной буквой п,. Значения тех же величин для второго электрона обозначим через и,. Состояние первого электрона, когда измеряемые величины имеют значение п„пусть описывается волновой функцией ф„, (у,), соответственное состояние второго электрона ф„, (о,).
Так как речь идет об измерении механических величин, то функция ф„,(о,) является собственной функцией операторов этих величин, и следовательно, функции для разных значений п, образуют ортогональную систему функций ~ ф„*(у!)ф.,(у!) у =б„„,. (116.6) То же самое, конечно, относится и к.функции ф,, (о,). При этом, так как под и, подразумеваются те же механические величины, что и под п„то ф„,— такие же функции, как и ф„„с той лишь разницей, что они относятся ко второму электрону, так что у них в качестве аргумента вместо у, стоит д,.
Разложим функцию Ч" (дь д„!) описывающую состояние системы, по собственным функциям измеряемых на электронах величин, т. е. по ф„, (о,) и ф,,(д,). Получим Ч" (дм Уы !)=~,~~',с(пи пы !)фт(О!)фт(УЗ), (!167) и, т где с(п„п„Г) = ! Ч'(дп уе, !) фуч (д!) !Рл, (уз) дд! с(у2, (116.8) при этом, написав в (116.7) сумму по и, и п„мы предположили, что измеряемые величины принимают лишь дискретные значения. СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ !ГЛ. Х1Х Если бы онн принимали непрерывные значения, то следовало бы вместо суммы писать интегралы. Это не изменило бы дальнейшего хода рассуждений.
Поэтому ради определенности мы сохраним обозначение через сумму. Сумма по и, н л, распространена по всем значениям и, и и;, кроме того, и, и л, пробегают одинаковые значения (так как речь идет об одних и тех же механических величинах как для первого, так и для второго электрона). Согласно общей теории величина ю(и,, п„!) =!с(п1, и.„() ~' (116.9) есть вероятность того, что в момент времени 1 на первом электроне будет получено значение измеряемых величин, равное и„ а на втором — значение тех же величин, равное и,. Переставим в Ч" ((11, д„1) первььй и второй электроны.
По предположению мы имеем дело с частицами Ферми, так что функция ТР изменит при этой перестановке свой знак. Следовательно, Ч" ~Яь, 91, !) =.~',,~.',с(П1, П2, ()фп,(42)фл,(91) =- и, и, (! 16.10) (Ч1 Ч2ь !) ~ т. е. ~ь с (п1 П2 () тль (()2) 2!ьпь ((21)— л, л, = †.У,,У', с (п„пэ, !) ьр„, ((!1) Тр,ь ((12). (1! 6.11) ль пь Если мы теперь изменим обозначения, заменив и, на лм а пэ на п„все останется по-прежнему, так как суммы распространены по всем значениям л, и льи и они пробегают одни и те же значе- ния.
На основании этого замечания мы можем переписать (116.11) в виде ) ~ С (П2 Пь !) 2(ьпь ((г2) ьрп, ((21) = °, и, — ~ ~' с (л„п.„() ьРл, ((11) фл, ((12). (116,12) л, и, Эти ряды по ортогональным функциям могут равняться друг другу только при условии, что коэффициенты при одинаковых функциях равны между собой, т. е. с (п„п„!) = — с (п„п„(). (1!б.!3) Для и, = из мы получаем, что с(пь, л„!) = — с(л„л„!), (116. 13') но функция, равная самой себе с обратным знаком, равна нулю. Следовательно, с(л, 11, !) =О. (1!6.14) % ггь! члстпцы ьозе и члстицы ФеРм!! пРипцип плу чи коз Подставл я я э го в ( 1 ! 6.
9), на ходи и, что если значения л, и и, одинаковы, то вероятность св (и„ и,, !) равна нулю: ю(п, л, !) =-О. (116.15) Тем самым наше предположение доказано: вероятность того, что одновременно в системе двух электронов будут измерены на обоих электронах один н те жс значения одной и той же совокупности механических величин, характеризующих состояние электрона, равна путо. Следовательно, такой результат измерения невозможен, что н составляет содержание принципа Паули. Обобщение на г!г' частиц проводится без труда путем таких же рассуждений как те, что были нами только что проведены для двух частиц. Волновая функция системы Чг(г)„ ..., г)ь ..., дм ...
..., ул, !).разлагается в этом случае следующим образом: 'р И ", ул, " у ° ", ун, !) = =~Х„... у', ... у, ... ~,'с(пь ..., иь ..., исч ...,ин, !) Х л! пг, лг пн х !Р ! (г!!) ° ° фпл (Чгг) . !Рь; (г(г) !Рьн (г7н) (116.7') где с(п„..., ль ..., иги ..., пл, !) = — ) г(г)л "йг)нгу(г)г, г)н, !) гРй, (г)!) " !Рьн(г)н) (1!6 8') Вероятность найти значения измеряемых величин равными и, на первом электроне, и„— на я-м, и — на !Ем, пн — на гЧ-м, равна пг(л„..., иь ..., игл ..., пл, !) = = ~с(п„..., ль ..., лзу ..., пл, !) ~л. (116.9') Производя в (!16.7') перестановку й-й и !Ей частиц и меняя суммирование по ль на суммирование по и, и наоборот, мы в полной аналогии с (116.11) и (116.12) получим с(пг..., лг,, ль, лн, !) = = — с(п„..., иь ..., ир ..., пн, !), (!16.!3") откуда следует, что с(п„..., лгп ..., ил, ..., пн, !) =О для п,=игр (116.14') Следовательно, пг(пг, ..., пь, ..., игь ..., пн, !) =О для и,=иго (!16.!5) Так как это доказательство применимо к любым парам частиц (я, !) Цз числа гу' частиц, то все ил должны быть различны, иначе пг= О.
Таким образом, вергттность найти в системе ыостпц Ферчг! хотя бы пару настин, для которых результаты измерений всех системы пз одпнхковых микеочлстиц !гл. х~х величин, характеризующих состояние частицы (пх), одинаковы, равна нулю. Например, два электрона не могут иметь одинаковый импульс и одинаково направленный спин (в этом случае лх = пр причем под и следует разуметь р„., р,, р„ в).
Подобным же образом нельзя обнаружить в одной и той же точке пространства два электрона с одной и той же ориентацией спинов (тогда дв = дэ причем под о разумеются х, у, г, в; при ов = о; функции (116.7~, (116.7') имеют узел так, что ~ Ч'," обращается в нуль). Этп же утверждения справедливы также и для всех других частиц Ферми, для позитронов, протонов и нейтронов. В заключение отметим, что так как электроны являются составной частью атомов, а протоны и нейтроны — составной частью атомного ядра, то принцип Паули имеет первостепенное значение как в теории электронной оболочки атомов, так и в теории атомного ядра. й 117. Волновые функции для системы частиц Ферми и частиц Бозе Рассмотрим несколько подробнее волновые функции, обладающие свойством симметрии или антисимметрии в частицах.
Начнем с антисимметричных функций, принадлежащих частицам Ферми. Сначала обратимся к случаю двух частиц. Антисимметричная функция двух частиц Чг(в„ о„ Г) может быть разложена по собственным функциям ф„,(д,) и ф„,(д,), принадлежащим отдельным частицам. Ч'(ди о„!)= ) х с(ли лм !)ф„,(д,)ф,,(ое). (1!7.!) т и, Выражение (117.1) мы можем представить в ином виде, разбив сумму на две части, в одной пусть пг) ль) а в другой п,(л, (п,=п, выпадает, так как с (по пи !) =0): Ч (Чы ды !) = ~Х'~ ~~С(лы Лм Г) фт (Ч1) фт (уг) + т)т т + ~', '~с(ло пь) !)ф„,(д,)ф„,(уе). (117,!') л,<т т Меняя во второй сумме индексы суммирования пг на л, и л, на и,, получим Ч" (ды д„!)= ~Ч~~ ~с(пы пы 1)ф„,(д,)ф„,(д,)+ л,)т т + ~)~ ~)~~с(л„ле, г) фл„(Дг) Ч3л, (Уе), (117.1 ) т(т т % ну) волновыс функции для авгия и воза-члстпц зов и, наконец, переставляя л1 и л, в с(пь п„Г), мы получим на основании (116.13): Чг(4ь Ь г) = У', У', с(пь пь !) «ф», (д~) ф», (де) — ф», (дв) ф„(61)); (117 2) »,>», », выражение в скобках можно представить в виде определителя и записать Ч' в виде » в,, д„е= т.
х.(~, „о(„",, „„. (1в.з) !'Рь (г1) Ч'„(ад Таким образом, антисимметричная волновая функция представляется в виде суммы (или интеграла) определителей вида ~ 1е,, (41) )„, (4.) 1 ~ Ч „, (д1) ~е», (а;) ~' (117.4) Если мы имеем дело с ))! частицами, то подобным же образом легко получить, опираясь на (116.13), в общем случае Ч" И " ° ч'в ° ')л ° Ч г) = — с (л„..., ль..., л;,..., пн, г) х » >» »... »и Х Ф»„,»ы .., ! "., »„((7ь . дь " Ф дн) (117.5) где Ф»в ...,», ...,», ..., »и 67ь ° ° ° Чь ° ° ° э 9 ° ° ° (7л') = "р», (Ч1) " у», (Ее) ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
