Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули Как мы видели, квантовая механика на основе принципа тождественности одинаковых частиц ведет к двум классам состояний, абсолютно не смешивающимся между собой. Поэтому выбор пгоео или иного класса состояний для какой-лабо системы частиц может быть продиктован только природой частиц, образующих систему, а не характером внешнего поля нли каким-либо подобным обстоятельством. Опытным путем установлено, что в природе существуют частицы, принадлежащие обоим классам.
При этом наблюдается следующее правило: частицы, обладающие спинам, равным целому числу постоянных Планка: в = Ьп, т = О, 1, 2, ... (116.1) описываются симметричными функциями (Ч",). Мы будем называть такие частицы ч а ст и ц а м и Б оз е, а совокупности таких частиц — ансамблями Бозе — Эйнштейна, по имени физиков, разработавших статистику для таких частиц. Напротив, частицы, имеющие спин, равный полуцелому числу постоянных Планка: в=Ьп, т=-й-, 1 (116.2) описываются антисимметричными функциями (Ч",). Мы будем называть такие частицы ч а с т и ц а м и Ф е р м и, а совокупность таких частиц а н с а м б л я м и Ф е р м и — ) ( и р а к а, по имени физиков, построивших статистику для частиц такого рода'). Все простейшие «элементарные» частицы обладают спинам О, 1/2 или 1 (см. таблицу на стр.
22). Спинам 1/2 обладают электроны, протоны, нейтроны, гипероны, 1«-мезогг, нейтрино и их античастицы. Поэтому они все являются частицами Ферми («фермионами»). Спин О имеют и-мезоны и К-мезоны — они являются частицами Бозе («бозонами»). Единственная элементарная частица со спинам 1 есть фотон. Он также подчиняется статистике Бозе. Принадлежность сложной системы, например атома и ядра, к тому пли иному классу частиц будет определяться числом и классом более простых частиц, из которых образована сложная система. Рассмотрим для примера атом водорода. Атом водорода представляет собой систему из двух частиц Ферми: '1 Пользуясь теорией относительности, Паули показал, что это правило может быть обосновано теоретически. Однако мы не имеем возможности обсуждать здесь его аргумеитацнго и отсылаем читателя к оригиналу: В.
Па у ли, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947. сист!.мы !!3 оди!иковых иикио'!лсгиц !гл юх протона и электрона. Суммарный механический момент атома водорода в нормальном состояпип складываются из механического момента (спина) протопа и пз спина электрона. Так как каждый я пз иих имеет момент, равпьш -.—,-, то суммарный момент атома водорода в нормальном состоянии ьюжет быть равен О или ! !!, т, е.
измеряется целым числом постоянных Планка. Рассмотрим теперь ансамбль из атомов водорода. !(оордииать! лротоиа lг-го атома обозпачпм через Д» а координаты электропа й-го атома через Е». Тогда волновая функция, описывающая ансамбль, состоящий из М атомов водорода, будет иметь вид Ч'=Ч'(Я», $~ 9ы Е», Я Е,э ..., Я!ч $х 8) (116 3) Будем рассматривать каждый из атомов водорода как одну частицу (это можно сделать во всем том круге явлений, где можно игнорировать возможность возбуждения электрона атома водорода). Тогда обмен состояниями двух атомов водорода— А-го и )иго — означает одновременную перестановку в Ч' и кооодииат ядер (;)»,!;!!з и координат электронов 1», $,з принадлежащих й-му и )ьыу атомам.
Но так как мы считаем протоны и электроны частицами Ферми, то волновая функция Ч' должна быть антисимметрична отиосительпо перестановки любой пары ядер (!,')» и 9,). Равным образом оиа должна быть аитисимметрична и при пересзаиовке любой пары электронов Я» и ~у). Таким образом, ири перестановке и-го и 1ьго протона Ч' меняет знак, при перестановке й-го и /-го электрона оиа также меняет знак. Следовательно, ири перестаповке атомов водорода, когда сразу переставляется и пара протоков, и пара электронов, Ч' не изменится вовсе, т. е.
относительно перестановки атомов водорода Ч' симметрична, и атомы водорода, поскольку они рассматриваются как простые частицы, принадлежат к числу частиц Бозе. Подобным же образом можно лровести рассуждения и для с»-частицы, которая состоит из двух протонов и двух нейтронов. Исходя из того, что волновая ф) акция для системы а-частиц должна быть аитисимметри и:а относительно перес!ановки протонов и относительно ие(!ссзановки нейтронов, легко прийти к заключению, что относительно иерестаяоеки оь !аппц волновая функция должна быть симме! ричпа, т.
е. с»- !истицы должны отиоситься к числу частиц Бозе. Этот ш,геод соо!встствует тому, что суммарпьп! механический л!омеит сс-час!ицы должен быль целым числом д!, та как он должен составляться из четырех спиноз, каждый из которых равен л!у2, В самом деле механический момент а-частицы равен О. Обратимся теяерь к рассмотреппю основной особенности частиц типа Ферми. Эта фундаментального зпачеиия особенность заключается в том, что частицы этого рода подчипяются так иазывае- к ин! чАстицы !>озе и чАстицы ФСРми ИРиицип 1нхкли 499 мому принципу Паул н, который еще задолго до разработки квантовой механики был сформулирован В. Паули на основании анализа эмпирических данных о спектрах сложных атомов. Принцип этот (в элементарной форме) утверждает, что в данной системе в одном и п>ал> же кванлюво>н состоянии не может находиться более одного электрона, Поясним этот принцип примером.
Квантовое состояние электрона, движущегося в поле центральных сил, характеризуется тремя квантовыми числами и, 1, т, определяющими эпергшо электрона (и), его орбитальный момент (1) и одну проскц'1ю орбитального мом нта на какое-либо направление (лй, а также четвертым кваптовыки числом (т,=+ 1)2), определяющим проекции спина электрона з, па то же направление. Таким образом, полностью кваптово.
состояние задается четырьмя числамп и, 1, т, а>,. Прин!ци Паули утверждает, что в таком состоянии либо вообще нет электрона, либо есть только один. Более же одного электрона там быть не может. В состоянии с одними и теми же квантовымн числами, относящимися к движению центра тяжести электрона (и, 1, п>), можно пометить два электрона с протпвоположнымн направлениями спина т, = -+ 1)2. Приведенная формулировка принципа Паули проста, но страдает тем недостатком, что опа прпблпжс!ша. В самом деле, когда мы помещаем второй электрон в состояние с заданными чпсламп и, 1, т, то все это сосгошше в результате взаимодействия первого электрона со вторым изменяется.
Поэтому в элементарной формулировке ие вполне ясно, в какое именно состояние нельзя поместить более одного электрона. Тем не менее, ввиду того, что состояние электронов из-за их взаимодействия во кнзогих случаях меняется незначительно, уже элементарная формулировка принципа Паули оказывается весьма плодотворной, Сформулируем принцип Паули так, чтобы освободиться от только что указанного затруднения.
Лля этого заметим, что ! Ьк электрон (или другая частица со сппном ) есть частица, обладающая четырьмя степенями свободы: три относятся к движению его центра тяжести, четвертая есть спин. Поэтому для указания состояния отдельного электрона, принадлежащего системе пли одинокого, достаточно измерить четыре вели !ипы ).„1е. )ь, э, которые должны обладать следующими свойствами: а) все они должны быть одновременно измеримы, б) первые три должны характеризовать движение центра тяжести и быть независимыми, в) четвертая должна определять состояние спина электрона, Совокупность четырех величин такого рода образует полный набор механических величин для электрона.
Одновременное измерение их является полным измерением, в результате котоРо1.о возникает состоЯнпе фык,ки(д,), в котоРом заданы четыРе СИСТЕМЫ ИЗ ОДИ!!АКОВЫХ МИКРОЧЛСТИЦ !ГЛ. Х1Х величины Еи Е», Е„з. Ради краткости мы обозначим определенное значение четверки таких величин одной буквой п, так что !(!» (ч») = !Рыа,ы (!)») (1!6.4) Г!риведем примеры таких четверок. Можно взять за три величины компоненты импульса р„р„, р«, а в качестве четвертой величины, определяющей спин электрона, — например, проекцию спина на направление импульса электрона 4 . Тогда Е1 =- р„, Е» = р„, Е» = = р„ з = зр.
Подчеркнутая нами независимость трех величин Л„ Е», 1» исключает, например, такой выбор 61 = р, Е» = р„, Е, = = р„"., так как в этом случае Е» есть функция 61. Другой выбор величин может быть, например, таким; в качестве У.1 возьмем энергию движения электронов в поле ядра Е„, (Е1 =- Е„ ), за Е, возьмем момент импульса электрона (Е» = 1И), за Е» — проекцию момента импульса на какое-либо направление (Е» =1И«) и, наконец, для опредечения спинового состояния возьмем проекцию з, спина на ось 02. При первом выборе величин Е„ Л„ Е„ з после измерения получается состояние 1г» (г!») = "Ь»Р„Р,» (Ч») при втором выборе (1! 6. 5) ф- Ю =фы-, 0)»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
