Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 116
Текст из файла (страница 116)
В первом случае функция Лагранжа 1 равна 1. (х, х) =--- х'. Соответствующий функциональный интеграл получается пз (138.8), если там положить )г (хь) = О. Воспользуемся элементарным свойством интеграла +ОЗ С'(О1) ~ ехр ~! 2 ~ А!' + ''а! ' ]11(л;= = С(21А1) ехр ~ А 2 2А! где С определено формулой (138.6). Последовательно применяя эту формулу (Л! — 1) раз, получим Этот результат легко обобщить на трехмерный случай К(х, (; х„1,)=(В,.Л(1 ) 'ехр~ — 'я 2-~», ",' ]. (138.12) (гл. ххн злил ю'!г! и !и б(4 Формула (!38.12), как и следовало ожидать, совпадает (с точтзз постыл до множителя — ) с запаздывающей функцией Грива л ') свободного уравнения Шредингера (см. дополнение Х1зе). В случае гармонического осциллятора функция Лагранжа имеет вид Е(х, л) = — (х' — юехе), где гоа — собственная частота осциллятора.
Вычисление пропагатора К для такого лаграижиаиа с помощью коиечцократиых аппроксимаций (формула (138.8)) довольно сложно. Поэтому здесь удобно использовать следующий прием. В формуле (138.9) сделаем замену переменных, полагая х (1) =- хя, (Е) + р (Е), где хк„(Е) — классическая траектория, проходящая через иачальиую (х„) п конечную (х,) точки. Очевидно, что у(Ео)=т)(Е„)=0.
Если лаграижиаи квадратичеп по координатам и скоростям, то действие В можно представить в следующем виде: 8[»(Е)1=-.8 ° (» «ь)+8'Ь(Е)1 где Зс„(х„ха) =- Я [х,я (Е)], а Я' — дополнительное действие, зависЯщее только от !Е(Е) ах). ТепеРь пРопагатоР К(хь, 1„; х„Е„) пРедставим в следующем виде: К(»ь, Еь', х, Е„)= = ехр ~ -5,а(х„хь)~ ~ с(1у(Е),'ехр~» 5'[у(Е))(. (138.13) Таким образом, удалось явно выделить зависимость пропагатора от координат иачальиой и конечной точки (х, и х,). Если лагранжпаи системы ие зависит от времени, то оставшийся функциональный интеграл в формуле (138.13) является функцией только разности времен Еа — Е„. В ряде случаев вид этой функции может быть найден без явного вычисления интеграла по траекториям.
1! !) Множитель ( —. ) обусловлен разной нормировкой пропагатора К(х, 1; а) хы Ее) и фУнкции ГРина д(х — хе, 1 — 1„). Это легко УвнДеть, сРавниваЯ УРавнение (2) из дополнения Х! (1 с уравнением для свободного пропагатора Еа . -+ —. Рз !К (х, 1; х„1,) = — —, 6 (х — хе) 6 (1 — Ео). з) Члены, содержащие произведение х„,(1) у(1), при интегрировании по времени дают в сумме нулевой вклад. б!5 Вол1ювля ьункш1я и квлптовыг Анслмвлп Ь !зэ! Для гармонического осцпллятора Я,а(»,„»,) имеет вид Яаа (»„»Ь) = 2— .'-" — ((»5+»Ь) СОЬ ЫЬТ вЂ” 2»а»Ь], 2 пи а!оТ ГдЕ Т=!Ь вЂ” (а.
Выражение для пропагатора в этом случае можно записать следующим образом: К (»Ь ГЬ! «а (а) =и (Т) ехР (21, „„° ((«,'+«ь) соз ЬТ вЂ” 2»а»ь)~. (138,!4) Функцию тт(Т) можно найти из требования, чтобы пропагатор гармонического осцпллятора (138.14) прп ы,— 0 переходил в пропагатор свободнодвижушейся частицы (!38.11).
Расчет показывает, что (2л! 1л Яп !Ьат ) Знание пропагатора дает практически всю информацию, которая необходима для квантового описания системы. Прежде всего с помощью пропагатора можно найти вероятности перехода мех!ду различными состояниями системы, а также волновые функции и энергетический спектр.
Все этп вопросы за неимением места здесь рассматриваться не будут. Их подробное изложение можно найти в цитированной выше книге Р. Фейнмана и Л. Хибса. Заканчивая краткое изложение фейпмаповского подхода к квантовой механике, отметим следующее. Хотя этот метод и не привел к принципиально новым открытиям в квантовой теории, тем пе менее его бесспорными преимушествами является физическая наглядность и более тесная связь с классическим описанием физических явлений. $ 139, Некоторые методологические вопросы.
Волновая функция и квантовые ансамбли Новые физические ндеп, принесенные квантовой механикой, привели в 30-е годы к серьезным и порой острым столкновениям между представителями различных философских направлешш. Дискуссии продолжались отчасти и в послевоенные годы. Зтн дискуссии ие были бесполезными, так как позволили выяснить более отчетливо многие ва!кные стороны дела, относящиеся к пониманию основ квантовой механики и следствий, вытекающих из нес для методологии пауки. В этом отноп1е!1и советские физики внесли пе лшлый вклад в разъяснение этих основ.
Основпыс споры сосредоточились глкруг понпь!щ1пя волновой функции !!!. Лает ли волновая функция объекьп1впос и полное описание физической реальности илн оно является только «запис- 6!6 3Аключение )гл. ххн ной книжкой» наблюдателя, регистрирующего с помощью ее известную информацию? Описывает ли волновая функция состояние частицы или ансамбля частиц? Другой круг вопросов был связан с проблемой причинности в квантовой механш<е. Дело в том, что квантовая механика является статистической теорией.
В этой связи высказывались различнье взгляды на природу этой статистичностп и многие предполагали, что эта статистичность тпебует обоснования на основе какой-либо полностью детерминированной механики. Существование различных точек зрения являлось отчасти следствием недостатка веры в квантовую механику, отчасти недостаточно глубоким анализом некоторых следствий квантовой механики, казавшихся парадоксальными. В настоящее время нет никаких оснований не доверять квантовой механике.
Сила ее методов полностью доказана и в атомной и в ядерной физике. Отказавшись от описания движений частиц по траекториям, которое в течение столетий казалось идеалом науки, мы утеряли лишь некоторые иллюзорные надежды. На месте их перед нами открылась поражающая красотой гармония закономерностей, управляющих атомным миром. Изложение содержания старых дискуссий сейчас имело бы лишь историческое значение').
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся разъяснением поставленных выше вопросов, исходя из концепции квантовых ансамблей, на которой было основано изложение квантовой механики в этом курсе. Следует отметить, что эта концепция с методологической точки зрения отличается от более популярной концепции копенгагенской школы тем, что отводит более скромную роль наблюдателю и повсюду подчеркивает объективный характер квантовых ансамблей и управляющих нми закономерностей'). Концепция квантовых ансамблей очень близка к концепции классического ансамбля Гиббса, хорошо известного из статистической термодинамики. В ансамбле Гиббса микросистема рассматривается во взаимодействии с макроскопическим термостатом ог)ч имеющим температуру 8. Вероятность Ж'а(У, с«) того или иного результата измерения динамических переменных микросистемы (У, с«) относится к ансамблю, образованному нес)гранпченным повторением ситуаций, состоящих из микроспстем р и термостата вта; инылш словами — путел! неограниченно!о повторения спстел! р в одной и той же макроскопической обстановке, заданной в этом случае терлюстатом телтпературы 8.
В силу этого вероятность т) См., например, предыдущее 4-е издание этой книги: Д. И. Блохи нцев, Основы квантовой механики, «Высшая школа», )963. ') См. )т. И. Б л о х н н ц е в, Принцнпнальные вопросы квантовой механики, «Наука», !966. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И КВАНТОВЫЕ АНСАМБЛИ з 1м1 6гг )0'Б (У, г1) содержит как характеристики микросистемы (Ю, гт), так и характеристику макроскопической обстановки — температуру термостата 0. Квантовый ансамбль в полной аналогии с классическим ансамблем Гиббса образуется путем неограниченного повторения ситуаций, образованных одной и той же микросистемой р (но не одним ее экземпляром!), погруженной в одну и ту же макроскопическую обстановку е772, Таким образом, в квантовой механике микросистема р рассматривается в связи с той макроскопической обстановкой ФЖ, в которую она помещена и которая диктует ей «состояние» в квантовомеханическом смысле.
Однако это состояние, в отличие от классического ансамбля, не описывается какой-либо вероятностью, а описывается амплитудой вероятности Ч'.А(Й), т. е. волновой функцией, или, в более общем случае, матрицей плотности р.я(Й, Ю') (см. 0 46). При этом индекс О77 указывает на макроскопическую обстановку, определяющую квантовый ансамбль. В простейших случаях индекс Ф7А может быть сведен к квантовым числам. Например, для достаточно холодного газа температуру термостата 0 можно заменить на л„— квантовое число нижнего уровня атома Е„если средняя тепловая 3 энергия атомов л0 (здесь й — постоянная Больцмана) многомень- 2 ше энергии возбуждения атома Б = Е, — Е;, индекс Ф72 можно заменить на р — импульс частицы )А, если макроскопическая обстановка такова, что она организует монохроматическую волну де Бройля.
Все предсказания квантовой механики относятся к ансамблю, состоящему из повторении макроскопической обстановки а4~ и находящейся в ней мнкросистемы р. Вопрос о том, принадлежит ли волновая функция одной частице или нет, также неудачен, как вопрос о том, является ли вероятность того или иного выигрыша характеристикой данного лотерейного билета? Волновая функция (или матрица плотности) содержит как характеристики мнкросистемы Ги например, ее координаты ((А), так н характеристики той макроскопической обстановки ВФА', которая определяет состояние этой микросистемы. Поэтому волновая функция Ч',п(Й) или матрица плотности р,л (Г2, бч) характеризуют принадлежность мнкроснстемы р к определенному квантовому ансамблю.
Вероягность же того нли нного результата измерения динамических переменных ге определяется величиной г(Ю'~ ((х) = ~ %'.„ф) ~'т(Г2' нли й)У" „(ГА) =р,(6', Й) Ф. Макрообстановка еда может как искусственно создаваться в лаборатории, когда стремятся приготовить частицы определен- злклю и:ннс ~гл, хху Ч" . (й=Х;Мн Ю Чн6), и (139.1) если измерено ь=х.н. При этом в серии измерений первоначально чистый ансамбль превращается в смешанный (ср. ~ 46). Те, кто готовы удовлетворяться чисто информационным взглядом на этот процесс, ответили бы так: в результате измерения изме- ~)® вилась информация, имевшаяся в распоряжении наблюдателя, (~г и он в свою «записнукз кои>я-р« сйх ку» заносит новую функцию ф„ + ) ~~ и зачеркивает прсжнююЧ.«. Тахт туп ~ кое толкование, прагматически Я весьма удовлетворительное, встречается с затруднением, когда квантовый переход совершается явно без участия наблюдателя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
