Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Отсюда следует ~ ЙхЛ4Р*(х, й') Лф(х, й) =О, (8) т. е. ортогональность собственнь х дифференциалов. Если Ль'. и Л(.' совпадают, то интеграл (8) не равен нулю. Нетрудно пока- Эту величину называют собственным дифференциал о м (оператора (.). Примером тако~о собственного дифференциала является рассмотренная в й 7 группа волн. Мы докажем, что не сами функции, а собственные дифференциалы явля1огся ортогональными и могут быть нормированы. Для этого проинтегрируем подобным же образом сопряженное уравнение РФ(х, 7.')=7.'фь(х, Л) (4) НЬ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯ 635 I 1ип — = 1, ье 0 ~Е т.
е. ~ г(х Лф* (х, Е) Лф (х, Е) = Л Е (11) при ЛЕ -ь О. Формулы (8) и (1!) можно объединить в одну, выражающую нормировку и ортогональность собственных дифференциалов: ~охЛф*(х, Е')Лф(х, Е)=-ЛЕ или О, (12) в зависимости от того, совпадают интервалы Е., Е+ЛЕ и Е'+ЛЕ или нет. Освобождаясь от одного интегрирования (по Ж) в (12), мы можем написать (12) в виде ~г(хЛфФ(х, Е')ф(х, Е,)=1 или О, (12') смотря по тому, попадает ли точка Е' = Е в интервал Е', Е'+ ДЕ или нет. Условие ортогональности и нормировки (!2) или (12') может быть с помощью особого символа сформулировано для самих функций. Для этого поменяем в (!2') порядок интегрирования по х и Ж.'.
С'+ АС г(Е' ! т'(х, Е) ф*(х, Е,') г(х= ! или О. (13) Введем обозначение ~ф*(х, Е,')ф(х, Е) дх'=б(Е' — Е). (14) Тогда из (13) следует ь ФАЕ Ы.'6(Е' — Е) =1 или О, (! 8) зать, что он будет первого порядка малости относительно ЛЕ. В самом деле, интеграл Е = $ г(х ЛфФ (х, Е) Лф (х, Е) (9) можно заменить интегралом Б, Г =- Г г(х Дфа (, Е) 1 ф (, Е) г(Е, (10) причем Е, и Е, выбраны так, что участок (Е, Е+ЛЕ) лежит внутри участка (Ен Е,). В силу ортогональности собственных дифференциалов интеграл по участкам (Е„Е) и (Е+ЛЕ, Ет) ничего не добавит к интегралу (9). Поэтому (9) и (10) равны.
Но при ЛЕ-эО (10) стремится к 0 как ЛЕ. Поэтому, выбирая подходящий нормировочный множитель, можно всегда сделать так, чтобы ДОПОЛНЕНИЯ смотря по тому, попадает ли точка Е' = Е в интервал Е'„ Е' + ЛЕ или нет. Это последнее равенство мы будем рассматривать как апргдглгниг гиигола 6(Е' — Е), назыгпг|ваго 6-функцией или ф у н к ц н е й Д и р а к а (на самом деле это не функция, а просто обозначение). Из (15) следует ((2!.11)), что ~((Е') 6 (Е' — Е) Ж.' =) (Е) или О, а (16) смотря по тому, попадает ли точка Е'=Е в интервал (а, Ь) или нет. Для доказательства (16) достаточно разбить интервал (а, Ь), на столь малые участки, чтобы в каждом из них можно было вынести функцию 1(Е') за знак интеграла (для этого она должна быть гладкой).
Во всех участках результат интеграции в силу (15) будет равен нулю, кроме, однако, как угодно малого, содержащего точку Е'=Е. В этом участке интервал от 6, согласно (15), будет равен !. Вместо того чтобы говорить о нормировке и ортогоиальности собственных дифференциалов (12), мы будем говорить, что собственные функции нормированы к 6-функцни (!4). В качестве примера приведем нормировку собственных функций оператора импульса Р .
Эти функции суть ркк фр (х) =-Л' г (17) где 6| — искомый нормирующий множитель, могущий а рпоп зависеть от р,. Образуем интеграл (14): (р„— р )к ~ |р; (х) фр (х) ах = — У„;6| ~ г +т (р„, — рк)к =6|а„'У й 1!|и ~ г т сО (Р,'-Р,) т 2 ма = 6|р„'дгр„й 1| |и ° (16) т ак (Рк Рк) | мп |иСравнивая это с множителем Дирихле 1!щ —, обладат со ющим свойством 6-функции от г (см.
дополнение 1, формулу (!)), мы находим, что ~фр"„'(х)фр (х)|(х=М";,Ь(р 2пйб(р' — рк). (19) 1У. ЗНАЧЕНИЕ КОММУТАТИВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ 637 Отсюда определяем нормирующий множитель ) )Ур /' 2нй = 1, Ур —— (2яй) — щ (20) (разумеется, еще можно было бы включить фазовый множитель еир(Р ), где гр — действительная функция, однако в этом нет ника- кой надобности). !Ч. Значение коммутативностн операторов Докажем теорему: если два оператора Т. и М имеют общую полную систему собственных функций, то они коммутируют.
Обозначим общие собственные функции через ф„(х). Тогда имеем ТлР. = (..ф., Мфр = М,4.. (1) Действуя на первое уравнение оператором М, а на второе оператором Т, и вычитая один результат из другого, получим М6~„= Е„мрф„, ЬМф„= Е„м,ф„(М1. — Т.М) Ф„= О. (2) Так как любую функцию можно разложить по функциям ф„, то мы имеем (МТ. — 1.М) <р = У, с„(М1. — 1.М) ф„= О, (3) р т. е., применяя оператор М(.— (.М к любой функции, мы получаем нуль. На язьнсе операторов это означает коммутативность операторов Мт'. — (.м = О.
Покажем теперь, что если операторы 1. то опи имсют общие собственные функции. ственных функций оператора Е будет БР =- ТАР. Действуя на это уравнение оператором М и на ХМ, мы получаем и М коммутируют, Уравнение для соб- (5) меняя порядок М(, (6) (7) Отсюда следует, что ф' = Мф есть также собственная функция оператора А, принадлежащая собственному значению Е. Если вырождение отсутствует, то значению Т. принадлежит лишь одна функция, а, стало быть, ф' может отличаться от ф лишь постоянным множителем, т. е, Чт'=Мф Таким образом, ДОПОЛНЕНИЯ откуда следует, что ф есть также собственная функция оператора М.
В случае наличия вырождения !Р' может быть линейной комбинацией функций !Ра (Й= 1, 2, ..., !), принадлежащих собственному значению ~: ф =Мфа= ~", М„ф» й=), 2, ..., ). (8) «=! Однако вместо функций ф„можно взять их линейные комбинации (см. дополнение П) <р= ~ч~ азу„ (9) а =! причем аа могут быть выбраны так, что новые функции !р будут собственными функциями оператора М: (! 0) Подставляя сюда !р из (9) и пользуясь (8), найдем путем сравнения коэффициентов при ЧЬ ,'э Мы аз =Ма„а=1, 2, ..., 1. (!! ) ь=! Это — система однородных алгебраических уравнений для определения коэффициентов аэ.
Она имеет решение лишь а том случае, когда ее определитель равен нулю: М!! — М М!а ... Л1!у М.„М,а — М ... М.„ (12) м!! ... мл -. л! Из этого уравнения найдем корни М„МЕП ..., М~. Лля каждогс из этих корней (М,) получим свое решение уравнений (!!) а„. ааа, ..., а г и, следовательно, согласно (9), свою функцию !р: \! <Р!! =,~, оаафы А=! Новые функции !р, (!Я=1, 2, ..., 1), будучи линейными ком бинациями фы будут собственными функциями оператора 2, при надлежащими значению Л, а вместе с тем и собственными функ циями оператора М, принадлежащими значениям М =Мо М„.. ..., М„, ..., Мг, соответственно, ч. сееяические фкнкцнн г„„|к ч| Ч. Сферические функции Гип(0, ~р) 639 В проблеме нахождения собственных значений оператора момента импульса М' мы встречаемся с уравнением для сферических функций (25,14): | д! .
дф'~ 1 дий — — ( з(п 0 —, + —.„—, + Ьр =- О. (1) Ип а дз (, да,,' ап'-' З д~р'- Нам нужно найти собственные функции этого уравнения (т. е. непрерывные, однозначные и конечные решения во всей области изменения переменных 0( 0. ' и, 0 -.гр=-2п). Разделим прежде всего переменные 0 и гр. Для этого положим ф=ыВ(0) Ф(<р).
(2) Подстановка (2) в (1) приводит к разделению переменных, если положить д29 ьь — = — и Ф. дЧЯ Отсюда Фт (гр) = е'"~ (4) Подставляя (4) в (!) и деля на Ф, получим уравнение для О: (6) Введем вместо 0 новую переменную в=сох 0, — 1~5==-1-1, сЦ= — з|п0М (7) н будем рассматривать О как функцию с. Тогда из (6) полу- чается (1 — йг) О" — 20О +().— —,""~,) В=О. (8) Рассмотрим поведение решения О вблизи особых точек уравнения 9= -+.1. Обратимся сначала к точке $=+1. Введем переменную г=$ — 1. Тогда из (8) получаем Будем искать О в виде ряда по степеням г: О=гто, о=а,+а,г+а,г'+...+а„г'+...
(10) Чтобы Ф была однозначной функцией гр, необходимо, чтобы и было целым числом и=О, ~-1, +'2, ... (5) 640 дополнения Нам нужно сперва определить степень у, с которой начинается ряд. При г-~0 О = аогт Подставляя это решение в (9) и пренебрегая бесконечно малыми меньшего порядка, нежели гт', мы получим из (9) откуда -1- т 2 (11) То же значение у получается для разложения вблизи особой точки $= — 1. Чтобы решение оставалось конечным при $= + 1, нужно в (10) взять 7= (12) т. е. для т)0 у=а, для т 0 у=- — — -. Второе решение (11) т т обращается в бесконечность. Таким образом, мы можем взять О в виде ~ ю~ ! 0=(1 — С') г о (13) где о — ряд по степеням г.
1-!ам теперь удобнее взять о в виде ряда по З: р (14) т. е. (17) Л = (а + ! и ~) (л + ! т '+ 1). Подставляя (!3) в (8), получим (1 — ~Р)о" — 2(!а|~+1)5о'+(Л вЂ” ~и! — п1э)о=О. (15) Внося сюда ряд (14) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $, мы получаем рекуррентную формулу для определения коэффициентов 0,: (э+2) (о+1) Ь„,=!т(т — !)+2((и!+1) т — Л+~т)+иэ1 Ь„. (16) Если ряд (!4) оборвется на каком-то члене номера т=л, то о будет многочлепом л-й степени, и, следовательно, (13) будет конечным, непрерывным и однозначным решением, т. е.
собственной функцией уравнения (1). Из (16) следует, что ряд может оборваться лишь в том случае, если а (Уг — 1) + 2 (( т; :+ 1) lг — Л+ ) и / + т' = О, Н СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Уг»» 1«,Ф) Полагая мы получаем )с+1лг ! = 1, (18) Р,($) есть многочлен степени 1 и называется многочленом (или пол и номом) Лежа ндр а. Коэффициент при нелт обычно нормируется так, что (23) Р, (1) = 1. Из (16) при (т!=0 получаем Ь = Ь (У+9) ( +1) (24) Отсюда мы видим, что если взять Ьо4:О, Ь,=О, то многочлен Р, будет содержать лишь четные степени $, если же Ь, =-О, Ьт~й, то только нечетные. Выбирая Ь, (при четном 1) или Ь, (при нечетном 1) так, чтобы соблюдалось (23), мы можем вычислить все коэффициенты в многочлене Р,.
Можно проверить, что получающийся многочлен может быть представлен формулои нг Рг (8) Р (8) (Б 1) (25) Имея в виду (2), (4) и (21), мы получаем собственную функцшо уравнения (1) в виде Уг (6, ср) =А)ы,ргч' (соей)е' Ф, (26) где А), — нормировочный множитель. Вышсление этого нормировочного множителя, которое мы опускаем'), приводит к ') См., например, А. Н.
Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1966, стр. 670. ') См., например, Л. Ш и фф, Квантовая механика, ИЛ. 1967, й 1И Л=((1+.1), 1=0, 1, 2, 3, ..., (19) )т/=О, 1,2,...,А (20) Можно доказать, что никаких других собственных функций уравнения (!) не существует' ). Решение 6), принадлегкащее характеристическим числам 1 н и, мы обозначим через 0($)=Р! )($) $=соэа. (о)) Если уравнение (15) дифференцировать по $, то получается уравнение, в котором 1лт( заменяешься на 1лг1+1. Поэтому если решение для т=О обозначать через Р,(9), то 1 "»',1, Ф~ Рт" ' (Р = (1- Р) " Р, (й). (22) дополниния 642 значению Ч э /(1 — ! т !)! (21+ () (1+ ! т !)! 4л (22) Функции (26) образуют полную систему ортогональных функций на поверхности сферы О, гр. Поэтому любая интегрируемая квадратично и однозначная функция ф(0, гр) может быть представлена в виде ряда се +Г тр(0, гр) = У ~; е !'т(0, гр), (28) а=о = — г где с,т= ~ ~ ф(0, гр) Угт(0, гр) з(об с(бе(гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
