Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 123
Текст из файла (страница 123)
е. мы получаем формулу (104.9), приведенную в основном тексте. Сходным же образом вычисляется оператор кинетической энергии. Достаточно вычислить оператор хн АнАлитические сВОР!стВА РАсссяннОР! ВОлны 55т ХП. Причинность и аналитические свойства рассеянной волны Рассмотрим простейший случай, который поясняет связь между причинностью и возможностью выхода в комплексную плоскость Е переменной ы= — — (ы — частота, Š— энергия). В Предположим, что некоторое рассеянное поле !)!(О зависит от источника Я (() согласно соотношению +со р(()= ~ 3((-~)()(р)~1'.
6(;) (() = еб (( — ('), (2) где е — некоторая величина, определяющая это изменение. Функциональная производная тр(() по я(р) вычисляется следующим образом: +о» (() = )пп-- ~ со" (! — г')[Я(!')+6(„с(г') — Я(('))е!!'. (3) Подставляя (2) в (3), получим — = од' (( — ('). 64с (О 6О (!') (4) Для выполнения принципа причинности, необходимо, чтобы оР(~) зависела от силы исзочника Я((') только в моменты времени, предшествующие Е Иными словами, должно иметь место условие — =О для (')г, 6!) (О 6Я (!') (5) откуда следует, что й'(! — !') должно равняться нулю при (') г'.
Поэтому (р(() = ~ ~ ((') Я(( — (') о(('. (6) о В частности, для источника Я ((), сосредоточенного в точке ! = О, получим К(г), (>О, О с(О. Найдем компоненту Фурье от !р(!): +со оо ор (со) = ~ е! !зр (() !((.=- ~ е! ЯГ (~) с((. (8) Изменим несколько источник в окрестности какой-либо точки г' так, что вариация дополнения Отсюда видно, что если рассматривать ы как комплексную переменную, то интеграл (8) сходится при !гп ы ) О, и, следовательно, ф (ы) есть аналитическая функция в верхней полуплоскости.
Тем самым и доказывается связь между причинностью и аналитическими свойствами рассеянной волны. Эти же свойства можно продемонстрировать, используя запаздывающую функцию Грина уравнения Шредингера (см. дополнение Х!!1). Х!П. Функция Грина свободного уравнения Шредингера Уравнение Шредингера с потенциалом г'(х, !): (1) может быть записано в форме интегрального уравнения.
Для этой цели рассмотрим вначале функцию Грина д(х, !) свободного уравнения Шредингера, которая определяется следующим ооразом: (!и зГ-1- ~ 7' к(х, !)=6!ю(х)6(!). (2) Чтобы однозначно задать решение этого неоднородного уравнения, наложим дополнительные требования на искомую функцию д(х, !). Потребуем, чтобы д(х, !)=0 при (<О.
(3) Такая функция Грина называется запаздывающей. С помои!ью д(х, !) решение полного уравнения Шредингера (!) можно представить в следующем виде: ~р(х, !) =ф~(», !)+~д(х — х', ! — !') У(х', Г)ф(х', !') дх'г(!', (4) где ф,(х, !) — решение свободного уравнения Шредингера (уравнение (1) с 1~=0). Физический смысл ф,(х, !) легко понять, если рассмотреть потенциал Р (х, !), который «включается» только после некоторого фиксированного момента времени )=(,. Тогда из уравнения (4) следует, что прн ! <1, ф(х, !) =-~Ъ(х, !), т. е. ф,(х, !) — это та волновая функция, которой обладала система до включения взаимодействия.
Интегрирование по й' в формуле (4) ведется фактически только при Г < ! из-за свойства (3) запаздывающей функции Грина. Это как раз и является отражением принципа причинности в квантовой механике: значение -волновой функции ф (х, !) в данный момент времени ! определяется воздействиями на квантовомеханическую систему только в предыдущие моменты времени Г < !.
С математической точки зрения выражение (4) представляет собой интегоальное уравнение на волновую функцию ф(х, !), значение которой равно ф,(х, !) до включения взаимодействия. хц). Функция ГРинА сВОБОднОГО уРАВнения шРединГеРА азэ Найдем теперь явное выражение для функции Грина д(х, 1), Представим ее в виде интеграла Фурье 1 ест(х, 1)= — ~ Гт (<о 1с)е '1хи "х) т(о)дй 12п)х Далее учтем, что 513) (х) б (() = — ~ е — т (е) — их) т(е) с(й 1 12н)х Подставляя эти выражения в (2) и сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получим а(Ш, й) = аа) —— 2т Поэтому и -тит+ тих 2т (5) (б) Обратимся сначала к интегрированию по а). Подынтегральное аах выражение в (5) содержит полюс при о)=о)в= —,', .
Чтобы фор- 2п) мула (5) имела смысл, необходимо определить путь обхода этого полю- 1я)и) са в комплексной плоскости ы. Выберем этот путь таким образом, чтобы д(х, 1) удовлетворяла условию (3). а)тг )йеа) Легко проверить, что контур, показанный на рис. 103, как раз приводит к нужному результату. Дей- ~~ г ствительно, если 1 ( О, то интеграл по Г(о) в (5! можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, дополняя Рис. 103. Кох)паеисная пно- скость переиенной о) и Контур контур С па рис. 103 полукругом интегрирования при 1) о.
бЕСКОНЕЧНОГО бОЛЬШОГО радИуСа В р,„н„, „„„Р „я верхней полуплоскости. Такое дополнение можно сделать благодаря множителю е-"" в подынтегральном выражении в (5). При этом полюс о)=о)о остается вне контура и вычет равен нулю. Таким образом, д(х, 1) =0 при 1(0. Если же 1)0, то, обходя полюс ш=о)а сверху и замыкая контур бесконечным полукругом в нижней полуплоскости, мы сведем интеграл в (5) по о) к вычету в полюсе о) = о)в. Таким образом, получим ДОПОЛНЕНИЯ +со Интеграл в (6) может быть сведен к интегралам типа 1 е — '«х'«(г = = (п/ра)ч (а)0).
Не останавливаясь на подробностях вычислений, приведем окончательный результат т х' '! х»>' «х д(х, 1).= а >>з гн) О, 1(0. Заметилц что если бы мы обходили полюс а>=«>, снизу, то мы получили бы опережающую функцию Грина, соответствующую обращению времени 1-+ — 1. Эта последняя функция равна нулю при 1)0. Опережающая функция Грина также отражает причинность, но соответствует другой постановке начальных условий: по заданному значению волновой функции в будущем (1=-+ сю) определить ее в предшествующие моменты времени. Такая необычная постановка вопроса не встречается в практических приложениях квантовой механики.
Х1У. Расчет взаимодействия микрочастицы с макроскопическим телом где «> — некоторая константа взаимодействия. Преследуя в рассматриваемом примере максимальную простоту, мы приписываем шарику лишь одну степень свободы. При таком упрощении необязательно пользоваться матрицей плотности. Более того, будет удобнее пользоваться волновыми функциями. Положим, что в начальный момент времени 1=0 микрочастица описывается стоячей волной: ф» (х) = ф«(х)+ грр (х), (2) где ге мх ф — (х) = 1 2Л (3) В качестве макроскопического тела рассмотрим шарик с массой М.
Координата центра тяжести шарика пусть будет Е1. Его потенциальная энергия У Я) изображена на рис. 102. В вершине усеченного конуса имеется небольшое углубление, обеспечивающее относительную устойчивость шарика. Достаточно сообщить шарику незначительную (микроскопическую) энергию ЬЕ и шарик покатится по плоскости и далее под «откос». Координату микро- частицы обозначим через х, ее массу — через р. Частицу считаем свободной. Для простоты предполагаем, что взаимодействие микро- частицы и шарика осуществляется только в центре шарика. В этом случае энергию взаимодействия можно записать в виде )РЮ х)=дб(о — х), (1) Х!Н.
ВЗАИМОДЕЯСТВИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ С А1АКРОСКОПИЧЕСКИМ ТЕЛОМ бш Здесь й — импульс частицы (постоянную Планка в дальнейшем положим=1). Сопряженную волновую функцию микрочастицы в конечном состоянии после рассеяния на шарике обозначим через е-га'х граи (х) = —. р йл (8') Волновая функция шарика в начальный момент, когда шарик находился еще в ямке, приближенно описывается функцией нижнего состояния осциллятора ш Ь(Э=,.— '„„,-' "-, (4) где а — амплитуда колебаний шарика в ямке (см. рис. 102).
После рассеяния мнкрочастицы на шарике последний приобретает импульс р', н так как его масса велика, то его волновая функция ф ° (с)) может быть описана с помощью функции действия З(р', Я) так, что тф (1 )) = йГ е" (5) Причем, пока шарик еще остается на плоской вершине, 5 (р', А)) = = рЯ.
й) ° есть нормирующий множитель. Далее за пределами площадки шарик будет скатываться вниз, ускоряться, и импульс р' станет растущей функцией 1,). Вместе с тем будет уменьшаться я длина волны х= —,, что и показано на рис. 102. Вычислять Р'' подробно функцию Я(р', 1",), как будет видно из дальнейшего, нет необходимости. Из сказанного следует, что полная функция нашей системы в начальный момент времени будет иметь вид Феей;), х) =тйе(Я) ~гре (х)+тра(х)]=Фее(1), х)+Фее'(Я, х), (6) а одна из возможных функций конечного состояния на основании (3') и (5) запишется в виде Ф а Я, х) =ф, (Д) 1ра (х). (7) Полная волновая функция в момент времени 1 может быть вычислена методом, изложенным в Я 84, 85. Именно, в формуле (84.8) в первой сумме остается лишь одно начальное состояние, так как по предположению в нашей задаче других дискретных уровней нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
