Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 122
Текст из файла (страница 122)
П а у л и, Общие принципы волновой неханнки, Гостехнадат, 1947, $ 6. что возможно лишь в том случае, если а(1. Отсюда мы видим, что волновые функции во всяком случае не могут обращаться в бесконечность быстрее, нежели 1)г'", а ( 1. Неоднозначность в волновой функции может возникнуть в том случае, когда мы имеем дело с циклическими координатамн, например с углом ср, отсчитываемым вокруг некоторой оси.
Тогда угол ср и угол ср+2п означают одно н то же положение в пространстве, поэтому вероятность тр":ар, как величина наблюдаемая, обязана быть однозначной функцией угла са. А рлог! этого нельзя сказать про саму ф-функцию. Однако на основании свойств сферических функций и уравнения непрерывности (1) путями, сходными с изложенными в этом дополнении, можно показать, что ф-функция должна быть однозначна (иначе самосопряженность оператора Й не может быть обеспечена) '). Таким образом, естественные условия, предъявляемые к волновой функции на основе требования сохранения числа частиц (3), в конечном счете сводятся к требованию выполнения условия самосопряженности оператора (2).
Будут ли при этом выполнены условия самосопряженности для других операторов А — будет зависеть от их природы, поскольку класс допущенных волновых функций уже определен оператором Й н допущенными в нем нарушениями непрерывности. !Х РЕШЕНИЕ УРЛВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРЛ бз1 Чтобы функция еl'" явилась фактором, определяющим асимптотическое поведение «р Д), нужно выбрать ) так, чтобы коэффициент 7""+7"' — Д в особых точках с = -+ оо был регулярным, т.
е. чтобы член Д уничтожался. Это дает 2 "' (4) Стало быть, решение уравнения (1) можно представить в виде ф (Е) = с,е- '~:-'о, ($) + с«е+ ч 1'о« ($). (5) Мы интересуемся конечными решениями»р„поэтому берем частное решение с, =О, т. е. берем ф в виде ф ($) = е — ч мн я). (6) Для функции о будем теперь иметь уравнение о" — 2$о'+(Л вЂ” !) и=О.
(7) Точка $=.0 — регулярная. Поэто«1у о можно искать в виде ряда Тейлора о=~ аД». «=-о Подставляя (8) в (7) и собирая одинаковые степени $, получим рекуррентную формулу для определения коэффициентов а«: ()»+2) (к+1) а»» — 2йа«+() — 1) а« =О, (9) откуда 2« — 1« — 1) («+2) («+1) (10) Если ряд (8) оборвется на члене номера и, то о будет много- членом и-й степени. Тогда решение (6) будет конечным, непрерывным и однозначным во всей области — оо ( в ( + оо. Такие решения и будут собственными функциями уравнения (1). Из (10) следует, что ряд может оборваться лишь при тех значениях )., которые определяются формулой ) =2а+1, л=О, 1, 2, (11) Это и есть формула (47.6), приведенная в тексте.
Многочлен о (2) с коэффициентами„определяемыми формулой (10) для ).=2п+1, носит название и ног очл ен а Чебышев ав Эрмита. Его обозначают обычно через Н„($), и он удовлетворяет уравнению (7) при )«=2п+1, т. е. уравнению ̈́— 2$Н„' + 2НН„= О. (12) 652 ДОПОлНеНИЯ Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет многочлен еем — „2„(е м).
Поэтому Н„только множителем отличается от этого последнего многочлена. Следуя обычному определению, мы положим Н„Я) =( — 1)" еы „.„(е м). (13) (Нетрудно убедиться, что многочлен (13) имеет коэффициенты, удовлетворяющие рекуррентной формуле (10) прн Л=2п+1.) Приведенный в тексте (47.8) многочлен Н„отличается от (13) множителем г' 2"и! ~'и, который выбран так, что функция 2Р„(~) нормирована к 1. Именно, в тексте мы даем нормированный полинам Чебышева — Эрмита Н„(з) = е-' — (е-м).
(14) 1' 22Л! 1''л д12 Собственное решение уравнения (1), принадлежащее собственному значению Л=-2п+1, может быть теперь записано в виде ф' ф = е-'"2"Н„Я), (15) где под Н„Я) будем понимать нормированный полинам Чебышева — Эрмита (14). Функции 2р„(с) ввиду самосопряженности оператора, определяющего уравнение (1), должны быть ортогональными. В этом легко убеждаемся непосредственно. В самом деле, для двух функций 2р„и 2р„имеем и'т2 +( п 1 1 22)ф 0 — „,"' + (2п' + 1 — Р) 2Р2 = О.
УмножаЯ пеРвое УРавнение на 2Р„Н а втоРое на 2Р„, вычитаЯ и интегрируя по $, получаем + СО + сэ ~2р„— „„," — 2р„„.,"' ) д$ = — 2 (и,— и') ~ 2р,,2р„г($. Левая часть есть + со =0 Ез ) 1Х. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА аьз следовательно, + СО ФМл 4=8лль (1б) т. е. функции ~р„образуют систему ортогональных и нормиро- ванных функций. Любая функция ф(~) (с несущественными для нас ограничениями) может быть представлена в виде ряда ф(В)= ~ слфл(В), л=О (17) где с„= ~ ф ($) ф, ($) е$.
(18) Обратимся теперь к свойствам ненормированных многочленов лл Чебышева — Эрмита (13). По формуле Коши производная — е-м И~л может быть представлена в виде интеграла по замкнутому контуру -г' (19) причем контур обходит точку в, Поэтому из (13) имеем л! Г е' Полагая г=$ — г, получим (20) (контур обходит вокруг 1=0). Из последней формулы следует, что — н+ еч ~~ 1 Н (Вь) Гл (21) О=О т. е. е — '+ "~ есть производящая функция для Нлф.
Производящая функция (2!) позволяет установить важное рекуррентное соотношение между полиномами Чебышева — Эрмита. Для этого дифференцируем (21) по г: е — О + В4 (2$ 21) '~) 1 Нл ($) (л-г л=1 С помощью интегрирования по частям можно также убедиться, что + со ~ Ф4. 6=1; дополнения 654 т.
е. сп '~' — '„':г Н. (Р(" — '~ — „', Н. (6) !""=,'~, „',р Н. (Р("-'. (22) и =- 0 лс а Х. Электрон в однородном магнитном поле Функция Гамильтона (см. дополнение У1, формулу (6)) при сделанном нами выборе вектора-потенциала А (57.1) имеет вид зи Отсюда дрх дру дН суу" ! с д! ду лс ! ' с дрс дН вЂ” = — — =О, де дх дН вЂ” =0 дх дх дН ! 7 е дх дН рг йе др» И ду дН р„ с!! дру (3) Собирая коэффициенты при одинаковых степенях (, получаем 2ЕНп (с) = Н„,д (с) + 2пНп, (Е). (23) Умножая эту формулу на 6 и прпменяя еще раз (23), получим а~Не ($) (2П+ 1) Нп (тл) + 2 Нппс Я) +2п (и 1) Нп е ф (24) Умножим эти равенства на епн и заменим в них ненормированные полиномы Эрмита на нормированные (для чего в (23) и в (24) каждый полином Нп, умножаем и делим на У2 и! 1~я).
После сокращения на общие множители получим рекуррентные соотнощения для волновых функций (-15). Именно, апре ($) = ~/ — ф„.д (6) + ~е7 — ф„, (с). (25) Отсюда получаем интеграл, встречающийся в Я 47, 48. Умножая (25) на ф (6), интегрируя по с и принимая во внимание ортогональность и нормировку функций фп (16), получим ° Г л+ ! Г и фпДфп с(с ~'~ 2 б~л, се 1+ ~/ л ба „„, (26) что дает интеграл (48.7). Подобным же путем, исходя из (25) и ортогональности, можно вычислить интегралы от любой целой и положительной степени $. х!. координлты якови 655 Следовательно, р» = соп51 = р„, р» = соп51 = — р», Полагая ср» е у=) —:;„.- «!о= е »ух рс получим д»У — =- — «!»Г, )' = а 51п «!«/+Ь соз с«е/, д/е и, стало быть, » у/ аз/п«!е/+Ь соз«!«/ — =.— ° ср» ее»1' (4) (б) (б) (?) (8) Далее, о р — = р„"+ †.2.' у =- Р„"+ — Л ( а 5(п с««/+ Ь соз а!«/— — (.
х = о с05 «/«/+Ь 5!п «!«/+Хо (9) (1О) Х!. Координаты Якоби Согласно формулам преобразования (104.3) имеем — — = —, Ь=--/; —:--= — 1, Ь=/+1; — '--=0, Ь>/+1, дхе М/ ' ' д»е ' ' ' дх!, причем / те й=! помощью (1) и (2) находим /е д!) д" / е=! (2) м/= есть масса первых / частиц.
С т. е. движение происходит по кругу ср" (х — х,)' + (у +,,". ~ = а'+ Ье ср„з с центром в х=х„у= — —.. и с радиусом Р =)с ае+Ь'. Энерее»Х" гия движения не зависит от р„" — эта величина определяет положение центра круга. Полная параллельность этого классического расчета с приведенным в 9 б? квантовым очевидна. 656 дополнения М 2! 2! М 2=! 2=! 2=! ! =.! С помощью (1) и (2) находим 22 2 У 2 Х»~ ~ 1 '2 ~!1 ! а""' ~ (2! Первая сумма по 22 в (5), как легко видеть (путем изменения порядка суммирования по 12, 1' и 1'), равна нулю.
Вторая сух!ма преобразуется следующим образом: 22 22 М / "'222 М вЂ” ! 2= ! т. е. М вЂ” ! 1 д2!Г 'д ! д22!2 в.р= — —,+ ~~ — — „, М д2у 2' 2 127 дЦ у= ! (7) 1 частиц где рт есть приведенная масса центра тяжести первых и (/+1)-й ! 1 1 — = —.- + —. а!~ я~, ! Имея в виду, что (8) Щ =(П„+Па+О,)р, из (7) получаем (!04 4) 2! — ! 1 2 ! вр=- м 7О1р+ Х вЂ”,—,-ч'Ю. !'= ! (9) (10) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
