Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Закономерности, управляющие часгица«ш перво~о рода, и составляли в сущности предмет квантовой механики, напрогпв, фотоны мы рассматривали как обьекгы изучения теории электромапппно~о поля'). Эта грань основывалась на том факте, что перечисленные частицы имеюг массу покоя шо, так ч~о они остаются пепзменпымн и ие могут возникать заново при нсрелятивпстских энергиях Е -: 'Огосо.
)гл ххн заключение 628 Напротив, масса покоя фотона равна нулю, так что он при всех обстоятельствах является релятивистской частицей, способной рождаться и исчезать при как угодно малых энергиях. Если энергии становятся сравнимыми с энергией покоя частиц, то все частицы уподобляются фотонам: рождаются, исчезают н превращаются друг в друга. Поэтому при этих больших энергиях более целесообразно говорить об электронно-позитронном поле, о мезонном поле, о поле протонном или нейтронном («нуклонные» поля), нежели о системе данных частиц '). За последние годы теоретическая мысль сделала существенные успехи в развитии квантовой теории полей. Однако нигде и никому еще не удалось достигнуть окончательного успеха.
Уже в квантовой теории электромагнитного поля выяснилось, что распространение теории поля за рамки простейших процессов поглощения, излучения и рассеяния фотонов на любые электромагнитные процессы, включая взаимодействие частиц, ведет к принципиальным трудностям. В этих случаях приходится иметь дело с фотонами бесконечно большой энергии.
Вместе с тем оказывается, что так же, как и в классической электронной теории, электромагнитная масса заряженных частиц равна бесконечности. Этот результат получается и в теории других полей. Проблема массы частицы видимо есть проблема структуры частицы и представляет собою труднейшую и до сих пор нерешенную задачу теории, Особо важное место занимает в современной теории релятивистская теория электрона, развитая П.
Дираком. Она является обобщением нерелятивистской квантовой механики электрона на случай больших скоростей '). Эта теория, в сочетании с квантовой теорией поля, позволяет рассчитать многие релятивистские явления такие, как превращение кванта света в электроны и позитроны, и обратно, рассеяние света на электронах и другие. Опа дает полную теорию движения быстрого электрона во внешнем поле, например в кулоновском поле ядра атома. Особенно интересны поправки, вносимые в это движение нулевыми колсбанпями электромагнитного поля и поляризацией вакуума. В настоящее время эти эффекты получилп экспериментальное подтверждение и являются доказательством изумительного факта: в вакууме существуют постоянные нулевые колебания, подобно тому, как они существуют в твердом теле, более того, из-за образования пар позптронов и электронов и последующей их аннигиляции происходит поляризация этого ') Подобно тому, как, говоря о фотонах, мы имеем в виду квантовую теорию электромагнитного поля.
') Изложение теории Лирака выходит за рамки этой книги, посвяптенной нерелятивистской теории. 4 !«Н ГРАницы пРнменимости кВАнтоиой мехАники 629 вакуума. Все эти эффекты удается вычислить применением теории возмущения, основанной на малости электрического заряда электрона. При этом для устранения бесконечностей из расчетов применяются специальные методы «перенормнровки», позволяющие последовательно устранять бесконечность в каждом приближении').
Применение этих же методов к сильным взаимодействиям таким, как взаимодействие мезонного поля с нуклонами, приводит к более ограниченным результатам. Причина лежит в том, что сами методы «перенормировки» не решают проблемы собственной массы частицы н их структуры, а представляют собой лишь искусственный прием, позволяющий обойти явное рассмотрение физических процессов в области особо малых масштабов. В последнее время результаты исследований взаимодействия частиц при особо высоких энергиях явно указывают на сложную структуру барионов и мезонов. Гипотеза о том, что они состоят из «кварко⻠— частиц с дробным электрическим зарядом'), получила подтверждение как в снстематисе часп«ц, так и в описании результатов эксперимента на современных ускорителях. Сейчас было бы преждевременным утверждать, будут ли эти субчастицы подчиняться принципам квантовой механики, или переход в глубины элементарных частиц потребует новой динамики, подобно тому как переход на субатомный уровень привел к созданию квантовой механики.
В свое время В. И. Ленин сделал гениальный прогноз о «неисчерпаемости электрона»"). Эта идея получает в современной физике элементарных частиц всестороннее подтверждение '). з) Н. Н. Б о г о л ю б о в, Л. В. Ш и р к о в, Введение и теорию квантованнык полей, «Наука», 1973; А. И. Ах и евер, В. Б. Бересте цкий, Квантовая электродипамика, <Наука», !969. ») См., например, Ю. В. Н о нож и л о в, Элементарные частицы, «Наука», 1974. ») См. В. И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм. Полное собрание соч., т. 18, Госполитнздат 196!. «) См. анализ этой идеи применительно к современной ситуации: Д.
И. Блохи н це в, Ленин и физика, В международном ежегоднике «Наука и человечество», !969, «Знание», 1970, стр. 48. ДОПОЛНЕНИЯ !. Преобразование Фурье Напомним сначала интеграл Дирнхле, фигурирующий в теории интегралов Фурье: ь 1йп ~ тр(г) с(г, (1) аа со а р"„= ~ тр*(ра) р'„'»р(ра) т(р„= ~ »Ь*(х)( — 16 ) тр(х) т(х, (3) где тр(ра) есть компонента Фурье от тр(х): а м + 0» тр(Р») = ~ тр(х) „- г(х, (4) ') См., например, В. И. Сын р сов, 1(урс высшей математики, т. 11, «Наука», !9бб, стр.
477. где тр(г) — произвольная функция. Этот интеграл обладает следующими свойствами: 1) если а, Ь 0 или а, Ь(0, то этот интеграл равен О, 2) если а(0, Ь)0, то он равен тр(0) (для непрерыв- 1 ! ми та ных функций) ). Наличие функции - — под знаком интеграла и 7 и взятие предела (тп — ~-со) мы можем обозначить одним символом 6(г), так что предыдущий интеграл напишем в виде ь (О, если а, Ь)0 или а, Ь(0) 1»р(0), если а(0, Ь) О. Символ 6 (г) часто называют 6.функцией (дел ь т а-ф у и к ц и я). Общее определение символа 6 дано в дополнении !11.
Переходя к доказательству эквивалентности формул (13.1), (13.3) и (13.5), (!3.6) соответственно, мы рассмотрим ради сокращения выкладок случай одного измерения н докажем справедливость равенства .1- «» 1. ПРЕОГРЛЗОВЛНПГ ФУРЬЕ а и — целая положительная степень. Для доказательства подста- ВНМ В (3) ВМЕСТО ср(рк) И Крр(рк) ПХ ВЫражЕИИя ПЗ (4). ТОГда имеем к' р к 4хоо Ф со +со Р„"= ~ г(Р, ~ кр*(х') ',, 1(х'р, "~ 1р(х)', 1(х.
ркк Р к / Д1р Вместо произведения рке " можно написать (И вЂ” ) е к д» Тогда получаем -1- со + со р„к' +со р .с' Р„"— -- ~ ~ 1к ~ 1Р*(Х')Е ' 1(Х' ~ 1Р(Х) (И ) Е " 11Х. (8) Проинтегрируем в последнем интеграле и раз по частям, причем будем предполагать, что ф(х) и ее производные обращаются в нуль на границах интегрирования х= е со. Выполняя интегрирование, найдем +со р к +со р к Р„= ~ 2 ~, ~ 1р (х)е " 11х ~ е ' ~ — Ил..) ор(х)1(х; (7) переменим теперь порядок интегрирования и будем интегрировать сначала по Р„: + оо +со + оо р „(к' — кс Р„"= ~ $Ф(х')дх' ~ ~ — И ~ 1р(х)1(х ~ е " 21'р.
(8) Введем теперь переменные ь=~'-, г =х' — х. Выполняя в последа нем интеграле в (8) интегрирование по ь в конечных пределах от — т до +и, а затем переходя к пределу т-роо, мы можем написать (8) в виде Р"= ~ ~( — И -) $(х)1йх!ип ~ ф" (х+г)1(ггакм= ~ (( — И1а ) кр(х)~дх ~ 1рр(х+г) 6(г) г(г. (8') На основании (2) (а= — со, 6 =+ со), 1р(г) =$к (х+г) имеем Р" =. ~ ~( — И -) 1Р (Х)1 1Рк (Х) ПХ = ~ оРФ (Х) ( — И -) $ (Х) ЫХ. (9) ДОПОЛНЕНИЯ следует нз справедливости (3), если заметить, что по теореме Фурье р„х +с» с— ф(х) =- ~ чс(Р») ч г(Р„. (4') Взаимно заменяя в (3)»р и гр, рх и х и меняя одновременно знак у мнимой единицы в показателе формулы (4), мы получаем из (3) и (4) формулы (11) и (4').
Из (11) далее следует Р Р(х) = ~~~„п»х" = ~ ср (Рх) Р (1Л д ) ср (Рх) г(Р.» (12) Это — частный случай (13.3) для одного измерения. Обобщение на три измерения опять-таки тривиально. И. Собственные функции в случае вырождения Собственные фУнкции ф,л (Я=1, 2, ..., 1), пРпнадлежащие собственному значению Ьл, линейно независимы, т.
е. между пимп не существует соотношении вида У', ал»Р»»=0, (1) А=! где ໠— некоторые постоянные. Если бы такие соотношения существовалп, то они означали бы, что одна или несколько функций Тем самым доказано (3). Целая рациональная функция от р имеет вид Р (р,) =- ~ , 'алр"„. Имеем л Р(рх) = ! П„Р„=~,~~~о» ~ ф (Х) ( — (Л- )»Р (Х) ЙХ= л л = ~ фл (х) Р ( — И --) ф (х) г(х. (10) Таким образом, эквивалентность (13.3) и (13.6) для случая одного измерения доказана. Обобщение на три измерения сводится просто к увеличению числа интегрирований и поэтому совершенно тривиально (достаточно доказать эквивалентность (13.3), (13.б) для среднего от Р»р„'"р',, где т, и, ! — целые и положительные степени).
Справедливость равенства +с» +с» х" = ~ ф (х) х"»Р (х) Йх = ~ гР (Рх) (~й — ) гР (Р „) с(Р„(11) и. соьствсниые Фун!сции в случАе Вынождсния бзз выражаются через другие, т. е. фактическое число различных собственных функций, принадлежащих Ел, было бы не!, а меньше. Если функции трн» не ортогоиальны между собой, то мы можем ввести новые функции, получающиеся из 1Рн» линейным преобра- зованием грла= ~ па»чгл», а=1, 2, (2) В силу линейности уравнения для собственных функций функции чг„будут опять-таки собственными функциями оператора (. и принадлежащими собственному значению Еа.
Из условия ортогональности функций грл„: !) гр„' грнр г(х = б р, следуют условия для определения коэффициентов а„»: ,~~ пав»пр»гз»»' = бар »=1» =! (4) где з»» = ') ф„'»тра» г(х. (5) ') Подробности об ортогонвлизации функций см. в книге Р. К у р в н т и Д. Г ь л ь б е р т, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздзт, !951, гл.
П,4 !. Возможность найти коэффициенты аа», удовлетворяющие условиям (4), следует из геометрической аналогии. Будем рассматривать фУнкции фл» как единичные вектоРы !» в пРостРанстве ) измерений, а з»» — как скалярные произведения (1м 1»). Тогда (2) можно рассматривать как преобразование в пространстве ! измерений от косоугольной системы координат к прямоугольной '). Отсюда ясно, что преобразование (2) — не единственное: получив ортогональную систему координат, мы можем ее еще вращать любым образом. Так, например, если функции тр„» уже ортогональны, то а»» = = б»», и из (4) тогда следует ! па»пр» = бар »=1 Это и есть условия для коэффициентов ортогонального преобразования системы ортогональных функций «Р,» в новую систему опять-таки ортогональных функций грл„.
Таким образом, собственные функции, принадлежащие одному собственному значению Л„, определяются лишь с «точностью» до ортогонального преобразования вида (2) с коэффициентами, подчиняющимися условию (6). 634 дополнения Ш. Ортогональиость и нормировка собственных функций непрерывного спектра. 6-функция Проинтегрируем уравнение для собственных функций 1.ф (х, й) = й ф (х, 1) по 7. в малом интервале Л~.
Мы получим ь-,"- ьь 1Д$(х, 7-)= 1 74(х, 7.) (и., (2) где Лф(х, 7.) = 1 ф(х, й) Ж, по Ь', мы найдем ь +ьь ЕФДФь (х, й') = 1 (.'Ф" (х, 7,') ги'. (5) Умножим (2) на Лф*(х, й'), а (5) на Лф(х, й), вычтем один результат пз другого и проинтегрируем по х. Тогда получим ~ дх(Лф* (х, Г) 7.Л4Р(х, Т.) — Лф(х, 7.) АьЛф' (х, й')) = ь+ьь ь +вы = ~дх ~ Ш ~ д7.'(1.— 7.')ф*(х, Л')ф(х, Ь), (6) Левая часть равна нулю в силу самосопряженности оператора 1, а справа при малых ЛС и Л(.' мы можем вынести А — 1' за знак интеграла, Тогда получим (й — 7.') ~ дхЛфв(х, й') Лф(х, 7.) =О. (7) Если интервалы Лй н ЛЛ' не перекрываются, то ~ се 1.'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
