Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Поэтому принадлежность частиц к сорту гз» или сорту «а» может определяться только природой частиц. Частицы, состояния которых описываются антисимметричными волновыми функциями Ч"о, суть частицы Ферми. Они подчиняются принципу Паули, который вытекает как следствие из свойств ансамбля, описываемого антисимметричными волновыми функциями, Частицы, состояния которых описываются симметричными функциями Ч'„ называются частицами Бозе.
Таким образом, мы видим, что в основе квантовой механики лежат пять фундаментальных положений: (1) принцип суперпозпции состояний, (1!) определение среднего значения, (111) толкование собственных значений как единственно возможных, (1т!) уравнение Шредингера и (зг) принцип тождественности частиц одного сорта. Физические основания этих положений были подробно обсуждены в соответствующих главах курса. $ 138. Фейнмановская формулировка квантовой механики В предыдущем параграфе была изложена формальная схема квантовой механики, которая стала общепринятой. В основе этой схемы лежит уравнение Шредингера, и при переходе от классического описания к квантовому используется гамильтонов формализм.
Однако существует и другая формулировка квантовой механики, предложенная Фейнманом в 1942 г."). Фейнмановский подход не базируется на уравнении Шредингера и вместо гамильтонова формализма используется лагранжев метод '). Хотя эта формулировка не столь популярна, тем пе менее она обладает рядом преимуществ. Основным объектом в подходе Фейнмана является пропагатор К(Ч, 1; Ч„!о), который позволяет выразить волновую фУнкцию ф(Ч, !) чеРез ее начальное значение ф(Ч,, !о) в момент времени !.=-!о. Здесь под Ч можно понимать любые динамические переменные, описывающие нашу систему в момент времени 1, а под Ч,— те же переменные в момент времени !о.
В этих обозначениях пропагатор К определяется соотношением тР (Ч !) = ~К (Ч. 1! Чо !о) згг'(Чо )о) с(Чо (138.1) ') Полное излохеенне этого метода можно пай!и в книге Р. Ф е й н м а н а и А. Х и б с а, Квантовая механика и интегралы по траекториям, «Мир», )968 ») На возможность применить лагранжев метод в квантовой механике впервые указал Дирак в )933 г. Слн П. А. М. Д и р а к, Принципы квантовой механики, Фиэматгиз, !969, 5 32. $138] ФЕЙНМАНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ веэ Очевидно, что пропагатор К должен удовлетворять уравнению Шредингера, поскольку ф(Ч, () удовлетворяет этому уравнению.
Ои должен обращаться в 6 (Ч вЂ” Ч,) при 7= („ чтобы соотношение (138.1) имело смысл и при 7=7о. Далее, при (о)1 обычно пола- гаютК=О (принцип причинности). Эти условия приводят к тому, что пропагатор К совпадает с запаздывающей функцией Грина оу' полного (т. е.
с учетом взаимодействия) уравнения Шредингера. Однако мы не будем ссылаться теперь на уравнение Шредингера, а изберем другой путь вычисления пропагатора К, более адекватный этому новому понятию. Рассмотрим сначала основные свойства оператора К. Пусть в момент 7=(о динамические пеРеменные Ч имели одно опРеделенное значение Ч=Ч,. В этом слУчае ф(Ч'„, (о)=6(Ч; — Чо). Если в момент времени 1 Ч=Ч', то, согласно (138.1), получаем ф(Ч, 7) =К(Ч, 1; Чо, (о). Отсюда следует, что величина Р(Ч', 7; Ч., 7.)=~ф(Ч', 7)~'=1К(Ч', 7; Ч, 7)!' есть вероятность перехода системы из состояния Ч=Ч, в состояние Ч=Ч' за вРемЯ 1 — 7о (7о<7).
ПРопагатоР К обладает важным свойством: произведение пропагаторов есть опять пропагатор. Действительно, взяв функцию сР(Ч', 1) за начальную и подставив ее в (138.1), получим К (Ч 7' Чо го) = ) К (Ч~ 7' Ч С") К (Ч ' 7 ' Чо, (о) с(Ч (138 2) Из (138.2) видно, что переход системы из состояния Чо, которое она занимала в момент вРемени (о, в состоЯние Ч к моментУ вРемени 7 (1) (о) можно рассматривать в два этапа.' Вначале система переходит в любое промежуточное состояние Ч" в момент времени 1" (го<7" <7), и только после этого осуществляется переход в конечное состояние Ч к моменту времени 7. Очевидно, что можно и далее дробить интервал (7, го). Разобьем его на Лс интервалов: (7„71), ((ь 1,), ..., ((о, (о„с), ..., ((л ь (л), слс= 7. Значения динамических переменных в указанные моменты времени обозначим через Чо ((с=О, 1, ..., сЧ), так что пропагатор К, относящийся к 7-му интервалу, будет иметь вид Кс=К(Чсоь (мь' Чс (с) Применяя последовательно пропагатор К, к любой начальной фУнкции ф (Ч„(о), полУчим следУющее выРажение пРопагатоРа для интервала времени (7„(): К(Ч 7' Чо го)=$ ° ° ° )К(Ч 7' Чл-ь (со-1)К(ЧА'-ь (лс-ь' с7лс-о (л о) ° ° ° К(Чь 7ь' Чь 71)К(Чь (ь' Чо 7о)с(Члс-ь с(Члс о ° ° ° 47ь (138.3) злключенив 610 1гл.
хху где интегрирование ведется по всем промежуточным состояниям (интеграл кратности Ж вЂ” 1). Процесс последовательного перехода через все допустимые промежуточные состояния называется цепью Маркова. Однако в классической теории эта цепь образуется не амплитудами перехода (как это мы получили в (138.3)), а вероятностямн перехода Р (Чд+ (ва~', Ч гд): Р (Ч, ~' Чо Ге) = ~ "~ Р (Ч Г' Чгг-» (л-г) Р(Чдг-г, (уг-г1 Чм м (м е) ".
° Р(Че (в~ Чт (г) Р(Чг~ аа1 Чв (о) г(Чм г г(Чн-е ° г(Чг (138 3') На рис. 99 показаны несколько «траекторий», возникающих в цепи Маркова. Мы взяли слово траектории в кавычки, так как любой конечный промежуток времени сз(=Гв„,— гд можно разбить на более мелкие интервалы ста' и Ы. В свою очередь, и эти интервалы можно дробить далее, так что траектории в цепи — — — — Маркова не имеют непрерыв- ных касательных. (р (д Заметим, что в различии ---д цепей квантовой (138.3) и классической (138.3') еще (в Чу раз проявляется тот факт, что в квантовой механике фундаментальное значение — — Й имеют амплитуды вероятностей, а не сами вероятности. Этот факт в принципе не поз() воляет свести квантовую меЧгг ханику к какой-либо класси- ческой статистической мехаРис.
99 Траектории настины, по которым ведется интегрирование в цепи Маркова. Интервал времени гтм Гг разделен иа семь про- РаЗУМЕЕтен' ЧТО И В !'Ваи мсжутиов, С вЂ” «сордината настины. товой механике имеет смысл классическая цепь Маркова (138.3'). Однако она описывает движение квантовой системы, которое прерывается в моменты времени 1=ге (и=1, 2, ..., Ф вЂ” 1) измерением ее динамических переменных Ч, иными словами, вмешательством измерительного прибора. При этом нарушается когерентность движения системы на отрезках времени (1е „(е) н (1ы г» .
). Лля того чтобы найти явное выражение для пропагатора К(Ч, г; Чв, гв), обратимся, ради упрощения, к ~1азстновгу случаю одномерного движения материальной точки во внешнем потенциале )У (х). В этом случае Ч =- х и классическая функция 3 !38! Фги!!мА!юВскля ФОРМ»лпРОВкА кВлнтОВОГ! мехлпикп я! ,/!агранжа имеет впд !гх Здесь т — масса частицы, х=- - — ее скорость. Действие В за й! малый промежуток времени ((м г'„!) равно »«! В(х»„, (»„; х», (»)= ~ Ь(х, х)8У.
К(х»«ы ~»м! хм г»)=Секр(у ~ 2 ( "'', «) — 1/(х ))М~ (138 4) то волновая функция 8Р(х, 8), определяемая формулой (138.1), будет удовлетворять уравнению Шредингера 88 ~~ ' = — — 7'ф(х, 1)+1/(х)8Р(х, 1). (138.5) х»,, — х» Заметим, что величина '+' » аппроксимирует скорость частицы на отрезке времени (гм !»«,), а С вЂ” нормирующий множитель, определяемый из условия К = 8 (х»„, — х») при Ы-~ О. Нетрудно найти, что ( 22л!В Л! ) (138.6) Подставим теперь (138.4) в (138.1) и положим там !)о =х — $, !! — !)о = х — хо — — $, г' = (о+ О!. Далее «Р(хо го)=«Р(» — Ь го)="Р(» го) — лх й+-2 ло й+" и ехр ~ — -а 1l (х) о!) = 1+ —,.„-. У (х) М+ ...
Выражение (138.1) теперь имеет вид «г(х, (~+А!) =С ~ !(Вехр (г ~~~~') ~1+ .г )л (х) М+...~х х~ф(х г) — з'р(" 'о)~+ — ''~(" ")р+ .1, (!38.7) Покажем теперь, что если квантовый пропагатор К для бесконечно малого промежутка времени Ы=!»„,— Г» взять в следующем виде: 612 3Аключение 1гл, ххч +рр рр ~л Пользуясь тем, что ~ е'"Рдг= у —, легко вычислить праа' вую часть формулы (138.7). Интеграл, содержащий множителем р[р (х, 1а), в силу нормировки (138.6) равен 1.
Интегрирование слагаемого, линейного по $, дает нуль. Интеграл, содержащий $', Ар равен — —.— — М. Члены более высокой степени по $ стремятся рл 2ар к нулю быстрее, чем (М)ч . Собирая теперь результаты интегрирования и замечая, что — [р[р(х, 1,+М) — ф(х, 1,)[-р. ' (мы ~Ф(х г) заменили г, иа С поскольку они не различаются при М вЂ” «О), получаем для волновой функции ф(х, 1), определенной с помощью (!38.1) и (138.4), уравнение Шредингера (138.5). Тем самым доказано, что метод пропагатора (метод Лагранжа) эквивалентен применению уравнения Шредингера — аналога метода Гамильтониапа — Якоби в классической механике. После всего сказанного можно написать пропагатор и для конечного промежутка времени ((„1).
Перемножая пропагаторы (138.4) для промежуточных интервалов ((», р„„) и интегрируя по промежуточным значениям переменных хр, найдем ХС' р(Х, дХЗ... дХАр,. (138.8) Этот предел многократного интеграча называется функциональным интегралом. Замечая, что при бесконечно тонком разделении интервала ((„1) величина А" " может трактоваться как скоЫх рость -„— = х, и обозначая элемент объема интегрирования С'дхь .. рп ...р(хл т через й [х), мы можем записать результат (138.8) в компактном виде рр( р, р,) — [ рр 1 р[' [ р.а, рррр]. (!ррр) Интеграл, стоящий здесь в показателе экспоненты, есть классическое действие 5 = 1 7. (х, х) сУ.
(138.10) 1 Интегрирование в формуле (138.9) распространяется не только иа классические траектории, которые соответствуют экстремуму 5 1м! ФеннмАнОВскАя ФОРмулиРОВкА кВАнтОВОЙ мсхАнпки 6!3 интеграла (138.10), но и на все траектории, соединяющие точки ()„х,) и (1, х). Представление пропагачора в виде функционального интеграла по траекториям (138.9) позволяет легко понять, почему в классическом пределе можно рассматривать лишь классические траектории. Действительно, если данную систему можно описывать классической механикой, то в этом случае действие 5 очень велико по сравнению с постоянной Планка й. Рассмотрим траекторию, которая не является решением классических уравнений движения.
Всякое небольшое изменение такой траектории приводит к очень большому изменению отношения 8!81 в формуле (138.9) и быстрой осцилляции амплитуды. В результате вклады от всех таких траекторий взаимно гасят друг друга. Поэтому в классическом пределе этп траектории можно не рассматривать. Однако в окрестности траектории, определяемой классическими уравнениями движения, дело обстоит иначе.
Так как действие здесь экстремально Ю = О, то малые отклонения от этой траектории не меняют величины 5. Поэтому вклады в пропагатор таких траектор>гй взаимно не уничтожаются, так как они близки по фазе, которая равна здесь 5,лй1. Таким образом, в классическом приближении только для траекторий, где действие экстремально, пропагатор (138.9) будет отличен от нуля. Но это есть В точности классический результат, а именно, всякое тело движется по пути наименьшего действия 65 = О. В заключение этого раздела приведем явное вычисление пропагатора К (х, 1; х„ 1,) для свободно движущейся частицы н для осциллятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
