Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Если спины всех электронов ориентированы в одном направлении, например по ОЕ, то мы будем иметь дело с полным н а сыще н нем (макснмальное намагничение). Рассмотрим такое состояние, когда все спины направлены по ОЕ, за исключением одного, направленного против ОЯ.
Пусть такой спин находится на атоме номера 1. Тогда, согласно сказанному выше, волновая функция Ч' всех )т' электронов имеет вид Чг~ — — ~~' ('+ 1) Рф~ (гг) Я ль (зг!) "Й (г2) ~т'~, (зг2) ° Р ... Чл(г,) 5 „(з„) ... фд(гм) З~ч,(з,л). (!30.2) Учтем теперь взаимодействие электронов с соседними атомами. Для этого применим теорию возмущений.
Мы имеем дело со случаем вырождения, так как, очевидно, электрон со спином, направленным против оси ОЕ, может находиться на любом из атомов. Поэтому правильная функция нулевого приближения будет линейной суперпозицией из Ч',: (130.3) 582 МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ !гл,ххн! причем амплитуды а, надлежит еще определить. Для этого заме- тим, что оператор полной энергии Й электронов равен й = й + у' ' + ~~!' и„(г.), (130.'4) л>т=! л> л=! л Й'= Ч Йл (г,), Йл (гл) = — — !7!+(7„(гл), (130лб) л=! 1е'Ее~~ агЧ!;+ ~ ~~ ( — '+()„(г„))~ ~Г а,Ч', =Е ~агЧ"г. г ~л>и= ! .! г !' (130. 7) Умножим теперь это уравнение на Ч!!, проинтегрируем результат по координатам всех электронов и просуммируем по двум значея ниям спина з,=.+ — каждого из электронов. При этом мы будем считать функции лр„(г) и ф (г), относящиеся к различным атомам, ортогональными').
Далее при суммировании по спину следует иметь в виду ортогональность функций 8, (и,) (ср. 2 60). В результате мы получим вл!есто (130.7) Л!Ееа!+ ~Х ', )ц (а! — а!1 = Еа„ (! 30л8) где 7ц есть обменный интеграл (матричный элемент энергии возмущения) )ц,— — $ ф!(г,)фг(г,)лр!'(ге) ф!" (г,) Х ! 2еа х~ — +и,(.,)+(уг(,)+иг( В+и,(г,) ~(п, (и,.
(1300) Волновые функции лр!(г) быстро убывают с увеличением расстояния г от центра атома. Поэтому обменный интеграл!ц быстро !) На самом деле они ортогональны только приближенна. где йл — оператор полной энергии и-го электрона, находящегося е! на п-м атоме, — — энергия взаимодействия и-го и инго электро!ла! нов, а (7„(г ) — энергия взаимодействия т-го электрона с и-м ионам (и ~ и). Все члены в Й, кроме йа, будем рассматривать как возмущение. Подставляя в уравнение Шредингера Й%" = ЕЧ' вместо Ч' приближенную функцию (130.3) и имея в виду, что Й (!л) лрл (! л) = Еофл (!'л) (!30.6) где Е,— энергия электрона в атоме, мы получим % ~33! ьь РРомл гнетизм 583 убывает с увеличением расстояния мелкду атомамп 1 и 1,' Благодаря этому при решении уравнений (130.8) можно ограничиться матричными элементами 1н, относящимися к ближайшим соседям. Так как в кристалле все ближайшие соседние атомы равноправны, то обменный интеграл имеет для них одно и то же значение 1.
Таким образом, уравнения (!30.8) можно написать в виде (е ие31пл+1Ь" !Ла, — а,') =О, (130.9') где сумма распространена по атомам 1', соседним атому 1. Число ближайших соседей и их расположение зависят от типа кристаллической решетки. Для простой кубической решетки соседние с атомом 1(1„1„1,) атомы имеют числа 1', равные 1,.+.1, 1,, 1,; 11 13 — 1 13 11 13 13 — 1 Видно, что уравнения (130.9') имеют решения а,=аппп =СОПЗ! ЕМ3' +3'-' 3И*! (130.10) где дь д„д3 — некоторые безразмерные величины. В самом деле, подстановка (130.10) в (!30.9') дает Š— 13'Е3 = 21 (3 — соз д, — соз ц3 — соз д3), (130.11) Л3 Е = сопз!+ —, й3+ ...
2в' (130.!3) ЛЛ где — ', =1а3, т. е. в виде, совпадающем с выражением энергии 2и3 для свободной частицы. Величину 93 можно рассматривать как эффективную лшссу. Ввиду наличия такой аналогии между распространением в кристалле спина определенной ориентации и движением свободной частицы состояние (130.10) называют сп и- новой волной. Если в кристалле имеется не один, а несколько (г) спинов, ориентированных против оси 02, то расчет протекает аналогнч- откуда Е (д„д„д3)= ЖЕ3+ 21 (3 — соз д, — соз д3 — соз д3). (130.12) Замечая, что 1,а, 1,а, 13а, где а — постоянная решетки, суть координаты узла решетки, мы видим, что (130.!0) может рассматриваться как плоская волна с волновым вектором к=-ч- (~', 2', — "31. Вероятность найти спин, направленный против 02, есть ~ а, !' = = сопз(, т.
е. все положения спина равновероятны. Таким образом, амплитуды аь определяющие состояние спина, весьма аналогичны волновой функции свободно движущейся частицы, имеющей заданный импульс. Эта аналогия еще усугубляется тем, что по крайней мере для малых й энергия (130.12) может быть написана в виде МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ !Гл. ХХ$Н ным образом, но усложняется тем, что при наличии многих спинов, ориентированных против оси Ол, могут встретиться пары соседних атомов со спинами, направленными против Ол.
Для этих пар обменные интегралы не равны нулю. Однако при небольшом числе г такие случаи будут встречаться редко, и полное решение может рассматриваться как совокупность невзаимодействующих спиновых волн вида (130.10) (или, с корпускулярной точки зрения, как «спнновый газ»). Энергия будет суммой энергий для каакдой из спиновых волн. Если мы обозначим вектор !) для й-й спиновой волны через йм то вся энергия спинового газа буде~ Е =- й!Ео+ 2! ~~ (3 — соэ у!» — соз д»» — сов !)»А).
(!30.14) А=! Из этой формулы следует, что при отрицателыюм !' ферромагнетизма быть не может, так как при 1(0 энергия имеет минимум при наибольшем г. Поэтому при тепловом равновесии первоначальная ориентация всех спинов по оси будет стремиться расстроиться. Напротив, при положительном обменном интеграле минимум энергии будет достигаться при наименьшем г, так что если некоторая часть спиноз ориентирована против оси ОЯ, то эти спины будут иметь тенденцию ориентироваться по оси ОУ (число г будет уменьшаться). Поэтому положительное значение обменного интеграла является необходимым условием ферромагнетизма (только в этом случае состояние с наименьшей энергией может быть состоянием, в котором все спины электронов направлены одинаково). Причиной, приводящей к ориентации спинов в овну сторону, являются, таким образом, пе фиктивное магнитное поле Вейсса, а обл»енные силы.
Ферромагнетизм есть явление квантовое. Наконец, мы видим, что ферромагнетизм не является свойством отдельных атомов, а представляет собой свойство кристалла, что находится в согласии с тем фактом, что ферромагнитных газов не существует. Для вычисления намагничения ферромагнетика при какой-либо температуре Т следует найти, методами статистики, среднее значение г. Тогда магнитный момент куска ферромагнетика, содержащего У электронов, будет, очевидно, равен У1 = 10)в ()»' — 2л), (130.15) где 10)в есть магнитный момент одного электрона (магнетон Бора). За соответствующими вычислениями и другими подробностями мы отсылаем читателя к специальной литературе').
!) Си. С. В. В о асов ск ай, Магнетизм, «Наука», !971, Глава ХХ1'тг АТОМНОЕ ЯДРО й 131. Ядерные силы. Изотопический спин Взаимодействие нуклонов в ядре представляет собою еще далеко не решенную проблему. Однако принципы квантовой механики оказываются применимыми как к движению нуклонов в ядре, так и к взаимодействию нуклонов с ядром.
На этом пути за последние годы достигнуты значительные успехи и квантовая механика оказывается настоящим путеводителем физика в сложной картине ядерных взаимодействий. Отсылая читателя к специальным курсам'), мы остановимся здесь лишь на наиболее простых и важных обстоятельствах. До сих пор никому еще не удалось написать выражения для потенциала протонов и нейтронов (как принято говорить, нуклонов) в атомном ядре.
По-видимому, это очень сложная функция положений, скоростей и спинов нуклонов. Весьма вероятно, что она вообще непредставима в виде суммы попарных взаимодеиствий отдельных нуклонов. Но не установлен «потенциал» и для пары нуклонов. Вообще простое представление о силах применимо здесь лишь на больших расстояниях нуклонов друг от друга. Тем не менее могут быть даны довольно далеко идущие заключения о характере ядерных взаимодействий, которые позволяют разобраться в сложном комплексе опытных фактов. Взаимодействие двух нуклонов зависит от расстояния между ними гмь от их относительной скорости мтз и от их спинов з, и за, а также, как показывает опыт, существенно зависит от типа взаимодействующей пары, т.
е. являются ли нуклоны этой пары протонами, нейтронами нли один из них есть протон, а другой нейтрон. Далее, в процессе взаимодействия может происходить, как говорят, «перезарядка», и протон может превратиться в нейтрон и обратно. ') См, А, С. Л а в ы дав, Теория атомиаго ядра, Физматгиз, 1958. 1гл. хх~ч «томное яд»о 586 Оказывается, что если мы будем рассматривать протон и нейтрон как два состояния одной и той же частицы — нуклона, то основные особенности взаимодействия нуклонов могут быть выражены в виде очень простых закономерностей на языке так называемого зарядового илн, как чаще, говорят, изотоп и ч еского спина.
Так как у нас имеется только два зарядовых состояния нуклонов, то естественно ввести новую динамическую переменную 1« которая принимает ~олька два значения, так что волновую функцию нуклоиа (опуская пока зависимость от обычного спина з) можно записать в виде матрицы с одной колонкой р, («) о ~ состояние «протонное», Ч" (х, 1) = Ф«ра о состояние «нейтронное» также, как мы это делали в теории обычного спина (ср. 5 60, (60.3) и (60.3')). В соответствии с оптической терминологией, по которой состояния, бтличающиеся только проекцией спина, называются мультиплетом, протонное и нейтронное состояния называют изотопическим (зарядовым) дублетом.
Все операторы, изменяющие зарядовые состояния нуклонов, так же как и в случае обычного спина, можно выразить с помощью двухрядных матриц Паули, таких как о„, о»,о,(ср. 2 69). Мы обозначим эти матрицы, действующие теперь на зарядовый индекс 1, 2, через т,=(',,') т»=('. —,'), т»=(,' ',). (131.2) Любой оператор, действующий на пару функций («рь ф,), может быть выражен через линейную комбинацию матриц (т„ т„т,). Введем вектор изотопического спина 1, аналогичный вектору обычного спина з: 1= — т, 1 (131.3) где т есть вектор с тремя компонентами: т,, т„т,. Ясно, что этот «вектор» ничего общего не имеет с обычным пространством: он определен в абстрактном, зарядовом пространстве, или, иначе, в пространстве изотопического спина. «Повороты» в этом пространстве означают линейные преобразования над «р, и ф, такие, что в качестве базисных функций выбираются различные линейные комбинации протонного и нейтронного состояний нуклонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
