Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Так как изменения вращательной энергии 7хЕ= — 1(1+ — ) — 11'+ — 1 ~ различны для четных и нечетных 1, то теплоемкости параводорода и ортоводорода различны. В силу этого медленный процесс установления равновесия между пара- и ортоводородом будет сопровождаться изменением тепло- емкости водорода. При равновесии число молекул ортоводорода в три раза больше молекул параводорода (так как для параллельных спинов имеется три симметричные функции Е„а для антипараллельных — только одна, антисимметричная Е,; ср. 9 121).
Поэтому нормально водород представляет собою смесь орто- н параводородов в отношении 3: 1. Это поразительное явление изменения теплоемкости водорода находит в квантовой механике не только описанное качественное объяснение, но и может быть рассчитано количественно в полном согласии с опытом'). !) См., например, Л. Л. Ландау, Е, М. Л иф шип, Статистическая физИка, «Наука», 1976, $ 48.
Г л а в а ХХ!!! МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 9 129. Парамагнетизм и диамагнетизм атомов Основной н простейшей задачей атомной механики из области магнитных явлений является вычисление магнитных моментов атомов, помещенных во внешнее.магнитное поле. Мы уже вычис. ляли элементарным способом магнитный момент орбитальных токов в атоме (9 53). Обратимся теперь к обшим методам. Наиболее общим образом операторы проекций магнитного момента могут быть определены как производные (с обратным знаком) от оператора полной энергии (точнее, гамильтониана) по проекциям магнитного поля 9Л„= — „., ч.1!а — — — д, ЭЛ, = — д, (!29 1) дй дй " дй В частности, для одного электрона гамильтониан О, описывающий движение электрона в магнитном поле, имеет вид й=.,' (Р+'. А)'+и(г)+ ' (аЖ) (1о9.2) (знак + перед вектором-потенциалом А взят потому, что мы считаем заряд электрона равным — е).
Направим ось 02 по направленшо магнитного поля и возьмем вектор-потенциал в форме (129.3) ,(!ифференцируя Й по 2 „ мы найдем 9Л,= — ~ [~Ра+ - А„)х — (Р„+ — А„)у] — —" з,. (129.4) Оператор, стояший в квадратных скобках, есть оператор проекции на 02 момента истинного импульса '). Лалее, Рак — Р„д есть ') Напомним, что в магнитном поле оператором скорости являе~сн не — Р, а -~Р+ — А). г! 19 д. И. Блокинцев 878 млгнитиые яВления [ГЛ. ХХИ1 оператор проекции на 02 момента обобщенного импульса М,. Пользуясь (129.3), представим (129.4) в виде 1111,= — — (М,+2в,) —, (х'+у') = (129.5) Как мы видим, оператор состоит из двух частей: не зависящей от магнитного поля и зависящей от него.
Рассмотрим их порознь. Первая часть 2ас ( «+ (! 29.6) имеет собственные значения, которые мы уже находили в теории эффекта Зеемана. Действительно, энергия возмущения в магнитном поле )17 = — (ч«2 911;). Собственные значения оператора Уг' различны, смотря по тому, имеем мы дело с сильными магнитными полями (простой эффект Зеемана) или со слабыми (сложный эффект Зеемана).
В последнем случае собственные значения У даются формулой (74.23). Эти собственные значения отличаются от собственных значений Й, множителем — а72", Поэтому из (74.23) находим цт)«'= — — еп1" 1+ ) 1 .. ' ' ~, (129.7) «=-2,. 1[ 21'(1+ В где т1 есть магнитное число, 1 — число, определяющее полный механический момент, 1 — орбитальный, 1,— спиновый.
Потенциальная энергия этого момента во внешнем магнитном поле есть как раз Ю. Она может принимать как положительные, так и отрица- ! 3 тельные значения, смотря по значению п1 =.+.—, 2 ' 2 -1 — / При термодинамическом равновесии будут предпочитаться отрицательные значения Ю' и, следовательно, положительные значения йт1;. В результате получится средний момент, направленный по полю, т.
е. случай па ра магнетизма. Существенно, что 911,' не может равняться нулю. Следовательно, адноэлектранныв ап1амы всегда парамагнитны. Второй член в (129.5) И" — " (хй + уэ) представляет собой магнитный момент, который всегда направлен (как непосредственно видно) против поля.
Таким образом, этот момент обусловливает диамагнетизм. Он никогда не может быть равен нулю, так как х'+у') О, и поэтому днамагнитный эффект имеет место во всех атомах. Однако легко заметить, что $1тэ! ПАРАмлгнетнзм и диамлгнетизм атомов 579 момент И," значительно меньше'ЭЯ,', им можно пренебречь в сравнении с последним. Действительно, И; по порядку величины с~о т равняется магнетону —, а И," — ае, где а — размеры атома. 2рс ' ' 2рсэ И; мИ; для всех полей Я', для которых (129.9) Все практически достижимые поля удовлетворяют этому условию.
Если число электронов в атоме четное, полный момент импульса может оказаться равным нулю. Вместе с тем будет равен нулю и магнитный момент 991;, обусловливающий парамагнетизм. Такой атом будет диамагнитнытк. Так, например, в атоме гелия, в основном состоянии, как мы знаем, орбитальный момент равен нулю, а спиновый компенсирован благодаря противоположному направлению спинов.
Поэтому И,' = О. Гелий должен быть диамапштным, что и наблюдается в действительности, Диамагнитную восприимчивость гелия можно вычислить, имея в виду, что для двух электронов И," будет равно ее я Ие= —, (х;+у;+х;+р'). (129. 10) Средние значения х;", у"„х,-', у.' в силу сферической симметрии основного состояния гелия и симметрии электронов в нем равны те между собой и равны —, где г' — средний квадрат радиус-вектора.
3' Таким образом, И. еЛ.4 в г — 4мр 3 Диамагнитная восприимчивость, рассчитанная на один атом, будет равна 6.72 зисе (129.11) С помощью волновых функций для электронов атома гелия (122.23) можно вычислить среднее значение г' и получить численное значение магнитной восприимчивости. Вычисление )( с помощью волновых функций дает)( = — 1,87 х х !О '. Экспериментальное значение )( = — 1,88 1О '. Заметим, что выра>кение (129.8) для диамагнитного момента совпадает с тем. которое получается нз классической электронной теории '). Однако только квантовая механика позволяет вычислить х'+у', исходя из нонстант, характеризующих атом. ') Ом И.
Е Тамм, Основы теории электричества, «Наука», 1976, 4 69, МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ (гл, ххп1 бво Если мы имеем дело с м~огоэлектроииым атомом, то вместо",29.7) мы получим иа основании изложенного в $103 (см. формулу (103.33)) У (Х + 1) — Е (Е + 1) + 8 (3+ 1) ~ 2рс т 1 У (/+1) где Х есть число, определяющее полный момент импульса всех электронов, Š— число, определяющее полный орбитальный момент, а 5 — число, опреде.
лающее полный спииовый мамеят, ~ т ~ (Х и определяет проекцию полного момеита иа магнитное поле. Если а =О, что может быть лишь для атомов с четным числом электроиов, то Еда=о и атом будет диамагиитяым, причем и е' 22" жт (129.13) а=! где А! — число электронов. Если а ~ О, то величиной !)1» можно пренебречь а сравнении с 3)!а Атома с а'~0 будут парамагиитиыми. $ 130. Ферромагнетизм Происхождение постоянного магнетизма ферромагнитных веществ представлялось в течение длительного времени совершенно загадочным. Сущность явления заключается, как известно, в том, что ферромагнитные тела могут оставаться намагниченными и в отсутствие внешнего магнитного поля :УГ" )(ля объяснения свойств ферромагнетиков Вейсс предложил теорию, объясиякицую постоянный магнетизм наличием внутреннего магнитного поля У2 ь которое и заставляет ориентироваться, элементарные магниты, даже если внешнее поле равно нулю.
Теория Вейсса позволяла объяснить многие свойства ферромагнетиков, однако происхождение внутреннего поля -Й 1 оставалось неразъясненным. г(ля приведения теории Вейсса в согласие с опытом приходится допускать, что поле Ж'! имеет колоссальную величину: 1Оа э. Прямые опыты ') показывают, что такого магнитного поля внутри ферромагнетика на самом деле не существует. Гайзенбергу удалось показать, что силы, ориентирующие элементарные магниты, — обменные силы. Этим была объяснена природа загадочного вейссового поля.
Гайзенберг, в согласии с данными опыта Эйнштейна и де Гааза (см. ь~ 58), предполагает, что намагничение ферромагнитных тел обусловлено не орбитальным движением электронов, а магнитным моментом спина. Далее, ферромагнетизм, по-видимому, следует отнести не за счет валентных электронов («электроны проводимости»), а за счет электронов внутренних, незаконченных оболочек атомов ферромагнетиков (см.
распределение электронов в Ге, ))! и Со в таблице на стр. 549). !) Я. Г. Дорфмгя пропускал пучок быстрых электроиоо через иамагяичеииую ферромагнитную фольгу. Поле в !О' а должно было отклонять электроны, чего иа самом деле ие наблюдалось. вв! Фегномлгнстпзм % !30! Для простоты допустим, что в каждом пз атомов, образующих кристалл, имеется лишь один такой электрон. Взаимодействие такого электрона с соседними атомами можно считать малым и поэтому можно рассматривать волновую функцию всех электронов (числом й1), обусловливающих ферромагнетизм, как соответствующую системе невзанмодействующих электронов. Для нумерации состояний заметим, что положение центров атомов в кристалле (узлы решетки) определяется вектором (130.
1) г =я,а,+пса.,+п,а,, где и,, п,„па — целые числа, а а,, а, и а, — основные век горы решетки. Таким образом, положение каждого атома определяется тройкой чисел п„л, л,. Ради краткости эту тройку будем обозначать одной буквой п и называть номером атома. Пусть волновая функция й-го электрона, находящегося на и-м атоме, есть Ф„(гы етл) =ф„(гл) 5, (з,ь), где Я,— спиновая функция. Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием с соседними атомами, постольку волновая функция всего кристалла в целом будет антисимметричной комбинацией вида (117.6') из произведений функций Ф„, относящихся к отдельным электронам. Выбор значков а(+ '7, или — '!.,) у каждой из функций Я, будет означать выбор определенного распределения спиноз (направленных по оси 02 илн против нее) среди атомов кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
