Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики (1129328), страница 121
Текст из файла (страница 121)
о о (29) В заключение приведем результаты применения к сферическил! функциям некоторых операторов, встречающихся в приложениях: а) умножение на сок 0=$ или з(пб- — -)/! — 0а: -а /(1+ги+ !) (1 — т+ !) -а /(1+ гл) (1 — т) у (21+!)(21+з) у'"' + 0' (21+!)(21 — !) уг-т а у ) э/(1 — т+!)(1 — т+2) у )г (21+ !) (21+3) гент а+ з /(1+т) (1+т — !) + у (21+!)(21 !) !'г г т) е'~, (3!) б) действие операторов проекций вращательного момента Мл, М„, М,: Муг.
= йгпу,„, (Ма+1791„) У, = — й)/(! — иг)(1+и!+!) У, „, (32) (33) (Мл — гМ,) Уг = — й)/(1+из)(! — т+ !) Уг, г. (34) Доказательство этих формул приведено в специальных курсах сферических функций '). Ч!. Уравнения Гамильтона Пусть 0г, да, ..., О, , 01 суть обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы, а р„р.„..., р„..., р1— соответствуюпн!е обобщенные сопряженные импульсы. Функция Гамильтона О есть функция этих координат и импульсов и, т) Л, Ф. Никифоров, В. Б.
Уваров, Основы теории специальных функций, «Наука», !974, 0 !5; Г. Б е ге, 3. С о л н и те р, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгиз, !900, стр. 539, ч!. уелвню!ия глм!!льтонл вообще говоря, времени й Уравнения Гамильтона, как известно, имеют вид др, дН до, И д/ дч,' и/ др,' Производная по времени от любой функции г обобщенных координат, импульсов и времени будет / дР' ~~ дЕ до.с ~! дк Щ'ь д/ д/ сйдЬ~д[ ~ др,щ' 5= ! 1.= ! Пользуясь уравнениями Гамильтона (1), мы можем переписать (2) в виде д/ д/ +[ (3) где [Н, Р1 равно (4) 5= ! и называется скобкой П у а с сана. Очевидно, что сами уравнения Гамильтона (1) могут быть также записаны с помощью скобок Пуассона ~-'=-[Н, р,1, -и"'=-[Н, д,), а=1, 2, ..., 7 (для этого полагаем в (3) /ч= р, и Р=д,). Как мы увидим Я 31), в совершенно аналогичном виде пишутся уравнения движения в квантовой механике.
В частном случае декартовой системы координат и одной частицы, движущейся в поле сил, выводимых из силовой функции (/(х, у, г, /), имеем (6) (//!=х, /), =у, /),=г, р, =р,, р,= — р„, р,= р,). На основании (5) получаем отсюда др дн дц дх д// р„ — е=[Н, р 1= — — = — —, =[Н, х)= — = —" (7) дГ ' дх дх ' Щ ' др„. И и аналогичные уравнения для остальных двух координат и импульсов. Из (7) находим д!х д// /х — = —— дп дх' (8) т. е.
!/равнение Ньютона. В случае движения заряженной частицы с зарядом е и массой р в электромагнитном поле, описываемом скалярным дополнения 644 потенциалом У и векторным А, так что Ж= — чу — — —, (9) Ю=го1 А, (10) где Ж вЂ” напряженность электрического поля, а 7э — магнитного, функция Гамильтона пишется в виде Н= — (р — — А~ +еУ. 29(, с (6') дх дН с~у дН дх дН й=8 —,, де=дух д =дух (7") эквивалентны уравнениям Ньютона для той же частицы, движу- щейся под действием силы Лоренца: (8') (8") (8"') Подставляя в (7') и (7") Н нз (6') н производя дифференцирова- ние, получим ,',"=' ~(р„— -'А„.) — +~рх — —,'- А„,—,"+ (9') Из (7") получаем Из (10') следует, что др~ дех е дАх =Р дГ = ЙЕ с де (10') (11) Так как значение вектора-потенциала Л, берется в точке, где Докажем, что вытека|ощие из этой функции уравнения Гамильтона дрх дН дрх дН др дН (7') дГ дх ' с) ду ' де дх ' ти.
РРАВнения движения в кРиволинеин. системе кооРдинхт 647 Беря скобку Пуассона "ч!'Ф = !!й, д,1, (7) мы получим контрвариантную компоненту скорости Нд!'/т(!. Умножая на массу р, мы пол) чим такую же компоненту импульса Р">. Чтобы получить ковариантную компоненту импульса Р„преобразуем Р"! по формуле перехода от контрвариантных к ковариантным компонентам Р Р,Ры! (о) В качестве примера рассмотрим полярную систему координат г, 8, !2.
В этом случае Ж5'=5(гз+г'!(0'+г'5)п885(!р', ди=!, п.0=г', д,,=г'5)п80, (9) Ям=1, й'-= —,, и'=- —,—.;,—, 72=Г 5!пд, ! (9 ) Р гт ' ТЧ ппа 0 ' гамильтониаи будет равен 82!дп 2 д ! ! д l, д'1 ! дзз Й = — — ~ — +: — + —, — — 15)п 8 — ! +,, —.,з!+(7. (1О) 2И)д2 т дг г- 5!пэд8 1, д8) т55!п Одт-~ Вычислим сначала первую скобку Пуассона. Для этого заметим, что В силу этого первая скобка Пуассона (1!) дает р „— = — И вЂ” ~ — г) = Ро!. (12) Для второй скобки Пуассона из перестановки 8 — — 1~5!и 0 — ) — — ~5!и 0 — '~ а = — — (у 5(п в) ! д!. д! ! д/.
д! 2 д 5|п 0 д8 д8) яп 0 дО(, д8 1' ып 0 д0 получаем — — — — ($ 5!и 0) = Р! и! г~ )~ 51п 0 д8 и, наконец, для третьей скобки совсем просто получается Р(Ф! ' 02 Тп 5!п'0 дп Найдем первую группу уравнений (операторы скорости). Согласно (7) имеем ~=11Й г1. '„— !=!Й 8~ 'д7=11Й ~р! (11) дополнения 648 Переходя по формуле (8) к ковариантным компонентам Р„Р0, Р„, мы получаем на основании (9), (12), (13) и (14) Р; = — гй ( — г), Ра = — -- (~ 51п 0) г дг ' )гип 080 Р„= — (гг —.
д~р ' 1 Вычислим теперь вторую группу квантовых уравнений Гамильтона "„' =(й, р,), "„'о=!О, Р,1, "Рэ=(й, Р„|, (18) Для этого целесообразно представить (!0) в виде й = , †' + , †„,, + и (г, 0, р), Р, Л4 (17) где М' — оператор квадрата момента импульса, а Р,— первый нз операторов (15). Несложное вычисление скобок Пуассона (16) с помощью (17) дает аРг гн' ди дре сга 0 1-, Ю1 дУ '1" )' Ж 2иг~ дг ' г1г' Иг~ яп 0 1 'г' 4) да ' (18) дРэ дУ щ д~р Из этих трех уравнений два (для Р, и Р ) совпадают по форме с соответствующими классическими уравйениями Гамильтона.
дл а'- Уравнение для Ра вместо Р' содержит Р-' — —. Появление —-- связано с существованием в квантовой механике устойчивых состояний с М'=О, в конечном счете с нулевой энергией квантовых систем. 4гШ. Требования к волновой функции Прн формулировке требований к ф-функции естественней всего исходить нз свойств гамильтоннана Й, поскольку именно этим оператором определяется физическая природа системы. Из уравнения Шредингера для ф и ф" нетрудно получить следующее равенство: — — сЬ = †.
~ ф*йф гЬ вЂ , †, ~ фйф" гЬ = — ~ б(ч 3 гЬ, (1) где выражение для плотности тока 3 совпадает с полученным в 9 29. С другой стороны, условие самосопряженцости для оператора Й имеет вид Г)ф'" Йф сЬ = ~ фй*чг~ (Ь, (2) чнь тпеаовлния к волновоп етнкции 649 !1гп Р' ~ УлЮ+ ~ У,т г(а=О, я-о (7) причем в первом интеграле мы выразили элемент поверхности шара в виде й =-)7а Ю, где г)11 — элемент телесного угла.
Ввиду исчезновения в бесконечности волновых функций (нли их собственных дифференциалов) второй интеграл равен нулю. Подставил / дт* „дф~ ляя в первый интеграл )л= — ~ф — — ф* — ) н полагая ф= и/г", йп ~ дк дй) н стало быть, для того класса волновых функций, для которого оно выполнено, мы должны иметь й Д вЂ” ф*»Р Йп = — ~ <1(ч,) г)п = — ~,),ч г(з =О. (3) Обратимся сначала к случаю одного измерения — со(х(со. Ду» Имеем гЬ=г(х, г((ч Л= — ''. Если в некоторой точке х=х, наруд» шается непрерывность потенциальной энергии У(х) (скажем, она претерпевает скачок), то прн интегрировании в (3) мы долнгны исключить эту точку. Выполняя интегрирование, получим У»(+ со) — У (хг+0)+7„(хг — О) — 7»( — со) =О. (4) Плотность тока У„(+-со) должна равняться нулю (противоположный случай означал бы, что волновые функции в бесконечности не исчезают и все интегралы были бы расходящимися); заметим, что при рассмотрении самосопряженности собственные функции р, операторов с непрерывным спектром ), пе исчезающие в бесконечности, должны быть заменены исчезающими в бесконечности собственными дифференциалами (ср.
дополнение 111). Таким образом, нз (4) следует непрерывность плотности тока У„(х, + 0) = У» (х, — 0). (5) Подставляя сюда значение У„из (29.5), получим (".")„,. = (2).. (ф)», + о = (ф)», — м (6') т. е. непрерывность волновой функции и ее первой производной. Предположим теперь задачу трехмерной и положим, что в точке г=О оператор Гамильтона имеет особую точку.
В этой точке теорема Гаусса (3) опять-таки не будет применима, н мы должны исключить ее нз объема интегрирования, окружив ее сфсрой малого радиуса гг. Тогда интеграл по поверхности в формуле (3) разобьется на два: по бесконечно удаленной поверхности, в пределе охватывающей весь объем, и по поверхности шара радиуса )т -ьО: ДОПОЛНЕНИЯ где и регулярно прн и -+ О, получим 77т Г 1т <зн* е он~ 11гп — т ~ 1и — — и* — ) с(ха=О, (8) !Х.
Решение уравнения для осциллятора Задача о нахождении квантовых уровней осцнллятора приводит к уравнению ф'+ (Л вЂ” йа) тР = О. (1) Нам нужно найти конечные и непрерывные решения этого ураннения. Исследуем асимптотическое поведение решения (!), т. е, для ь = +.сю. Эти точки одновременно являются особыми точкамп уравнения. Для этого положим Ч'(Е) г вы "о (й). (2) Подставляя (2) в (1), находим 0" + 2го'+ (Г+)'+ Л вЂ” Г) о = О. (3) ') Ср. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
