В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 7
Текст из файла (страница 7)
iH POLUPRQMYM PROIZWEDENIEM(X1 ; F1 ; fP1 ; 2 g) (X2 ; F2 ; fP2 ; 2 g)NAZYWAETSQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA WIDA(X1 X2 ; F1 F2 ; fP1 P2 ; 2 g):w ^ASTNOSTI, POLUPRQMOE PROIZWEDENIE KONE^NOGO ^ISLA ODNOJ I TOJVE STATISTI^ESKOJ STRUKTURY NAZYWAETSQ STRUKTUROJ POWTORNOJ WYBORKI(X ; F ; P )n = (X n ; F n ; fPn ; P 2 Pg):3) pUSTX (X ; F ; P )n { STATISTI^ESKAQ STRUKTURA POWTORNOJ WYBORKI.dLQ WSQKOJ TO^KI (x1 ; ; xn) IZ X n WYBORO^NYM (ILI \MPIRI^ESKIM)RASPREDELENIEM NAZYWAETSQ RASPREDELENIE NA (X ; F ), OPREDELQEMOEPO FORMULEPn (x1 ; ; xn ; A) =n1Xn 1A (xi ); A 2 F :i=1lEKCIQ586pROIZWEDENI@ STATISTI^ESKIH STRUKTUR NA PRAKTIKE SOOTWETSTWUET SISTEMA NEZAWISIMYH NABL@DENIJ.
w oPREDELENII 6.1.7 (2) PREDPOLAGAETSQ, ^TOZNA^ENIE PARAMETRA ODINAKOWO. w oPREDELENII 6.1.7 (1) \TOGO PREDPOLOVENIQ NE DELAETSQ. pONQTIE POWTORNOJ WYBORKI WESXMA WAVNO, ONO OTWE^AETKONE^NOMU ^ISLU NEZAWISIMYH NABL@DENIJ NAD ODNOJ SLU^AJNOJ WELI^INOJ,PROWODIMYH W ODINAKOWYH USLOWIQH. eSLI STRUKTURY DOMINIRUEMY, TO NETRUDNO UKAZATX WID FUNKCII PRAWDOPODOBIQ.
w O^EWIDNYH OBOZNA^ENIQH:L(1 ; 2; x1; x2 ) = L(1 ; x1 )L(2; x2) W oPREDELENII 6.1.7 (1)L(; x1 ; x2) = L(; x1)L(; x2 ) W oPREDELENII 6.1.7 (2):w SLU^AE POWTORNOJ WYBORKI UDOBNO POLOVITXl(; x) = log L(; x);TAK ^TOl(; x1 ; ; xn) =nXi=1l(; xi ):iTAK, ESLI X = (X1 ; ; Xn ), GDE Xi { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE SLU^AJNYE WELI^INY SO ZNA^ENIQMI W X I RASPREDELENIEM P 2 P , TO W\TOM SLU^AE IMEEM STATISTI^ESKU@ STRUKTURU(X ; F ; P )n :zAKON bOLX[IH ~ISEL (SM. lEKCIQ 4, PUNKT 6) POKAZYWAET, ^TO PRI BOLX[IH n (n ! 1), ESLI P 2 P ESTX OB]EE RASPREDELENIE SLU^AJNYH WELI^IN(X1 ; ; Xn ), TOPn (X1 ; ; Xn ; A); A 2 F"BLIZKO" K P(A), TO^NEEP nLim!1 Pn (X1 ; ; Xn ; A) = P(A) = 1; P 2 P ; A 2 F :|TOT FAKT WESXMA ^ASTO ISPOLXZUETSQ W STATISTIKE.
tAK, DLQ IZU^ENIQ HARAKTERISTIK STATISTI^ESKOJ STRUKTURY (X ; F ; P ), TAKIH KAK MOMENTY,FUNKCII RASPREDELENIQ I T.D., RASSMATRIWA@T STATISTIKU NA (X ; F ; P )n ,SOWPADA@]U@ S TAKOJ VE HARAKTERISTIKOJ DLQ (X ; F ; Pn(X1 ; ; Xn ; )).6.1.sTATISTI^ESKIE STRUKTURY59uDOBNO NAZYWATX STATISTIKU, POLU^AEMU@ TAKIM OBRAZOM, TEM VE TERMINOM, ^TO I RASSMATRIWAEMAQ HARAKTERISTIKA, S DOBAWLENIEM PRILAGATELXNOGO "\MPIRI^ESKIJ" ILI "WYBORO^NYJ".
tAKIM OBRAZOM SPRAWEDLIW SLEDU@]IJ "WYBORO^NYJ" PRINCIP W STATISTIKE: PRI OCENIWANII NEKOTOROGO DOSTATO^NO GLADKOGO FUNKCIONALA (P) OT NEIZWESTNOGO WEROQTNOSTNOGORASPREDELENIQ P 2 P RAZUMNO W KA^ESTWE OCENKI WZQTX (Pn).pRIMERY.1) |MPIRI^ESKIE (WYBORO^NYE) MOMENTY.pUSTX(P) = k = EP X1kZ= xk dP(x) < 1; k 2 N:tOGDA \MPIRI^ESKIJ MOMENT IMEET WIDkn = (Pn ) = xk dPn (X1 ; ; Xn ; x) = n1ZnXi=1Xik :(6:1:4)2) |MPIRI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ.pUSTX F (x) { FUNKCIQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X1, TO ESTX(P) = F (x) = P(X1 < x) =xZ;1dP(y) < 1; x 2 R1 :tOGDA IMEEM \MPIRI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQFn (x) = (Pn ) =xZ;1dPn(X1 ; ; Xn ; y) = n1nXi=11(;1; x) (Xi ): (6:1:5)3) |MPIRI^ESKAQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ.pUSTX f (t) { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X1 , TOESTXZ(P) = f (t) = EP eitX1 = eitx dP(x); t 2 R1 :tOGDA \MPIRI^ESKAQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ IMEET WIDfn (t) = (Pn ) = eitx dPn (X1 ; ; Xn ; x) = n1ZnXj =1eitXj :(6:1:6)lEKCIQ606.26spisok literatury1) v.
{ r. bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1974, gLAWA 1 < 1, < 2, < 5.2) a.a. bOROWKOW, mATEMATI^ESKAQ sTATISIKA,mOSKWA, nAUKA, 1984, gLAWA 1.3) v.{ l. sOLE, oSNOWNYE sTRUKTURY mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1972, gLAWA 1.4) p.l. hENNEKEN, a. tORTRA, tEORIQ wEROQTNOSTEJ I nEKOTORYE E< pRILOVENIQ,mOSKWA, nAUKA, 1974, gLAWA 7.lEKCIQ 7w PROTIWOPOLOVNOSX PONQTIQM, WWEDENNYM W PREDYDU]EJ lEKCII, KOTORYE OBOB]A@T OSNOWNYE OPREDELENIQ TEORII WEROQTNOSTEJ, W lEKCII WWODITSQ FUNDAMENTALXNOE PONQTIE DOSTATO^NOSTI, QWLQ@]EESQ SOBSTWENNO STATISTI^ESKIM.7.1dostato~nye statistikioBRABOTKA REZULXTATOW NABL@DENIJ I PREDSTAWLENIE IH W WIDE, NAIBOLEEPODHODQ]EM DLQ PRINQTIQ RE[ENIJ, QWLQETSQ ODNOJ IZ WAVNEJ[IH ZADA^ANA NA^ALXNOJ STADII STATISTI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ.
pRI \TOJ PERWI^NOJOBRABOTKE REZULXTATOW NABL@DENIJ OB_<M ISHODNOGO MNOVESTWA WYBORO^NYHZNA^ENIJ UMENX[AETSQ DO OTNOSITELNO NEBOLX[OGO ^ISLA STATISTIK. pRI\TOM BYLO BY VELATELXNO, ^TO BY PRI \TOM NE BYLO POTERI INFORMACII,NEOBHODIMOJ DLQ PRINQTIQ RE[ENIQ. pONQTIE DOSTATO^NOSTI I SLUVIT DLQMATEMATI^ESKOJ FORMALIZACII \TOJ PROCEDURY.oPREDELENIE 7.1.1. pUSTX (X ; F ; P ) { STATISTI^ESKAQ STRUKTURA.D F { { PODALGEBRA NAZYWAETSQ DOSTATO^NOJ, ESLI DLQ L@BOGO A IZF SU]ESTWUET WARIANT USLOWNOJ WEROQTNOSTIP(A j D) P(X 2 A j D);NE ZAWISQ]IJ OT P IZ P .|TO OPREDELENIE RAWNOSILXNO TOMU, ^TO DLQ KAVDOJ INTEGRIRUEMOJ STATISTIKI Z SU]ESTWUET WARIANT USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ E(Z jD), NE ZAWISQ]IJ OT P IZ P . dEJSTWITELXNO, ESLI UKAZANNOE SWOJSTWO WERNODLQ INDIKATOROW MNOVESTW IZ F , TO, OBRAZUQ IH LINEJNYE KOMBINACII IPEREHODQ K PREDELAM, UBEVDAEMSQ W SPRAWEDLIWOSTI \TOGO FAKTA DLQ WSEHINTEGRIRUEMYH STATISTIK.61lEKCIQ627oTMETIM, ^TO PONQTIE DOSTATO^NOSTI { ALGEBRY NEPOSREDSTWENNO SWQZANO S SEMEJSTWOM P .
qSNO, ^TO PRI RAS[IRENII P { ALGEBRA D NE OBQZANAOSTAWATXSQ DOSTATO^NOJ.oPREDELENIE 7.1.2. sTATISTIKA T , ZADANNAQ NA (X ; F ; P ) SO ZNA^ENIQMI W (Y ; H) NAZYWAETSQ DOSTATO^NOJ, ESLI DOSTATO^NA { ALGEBRAT ;1 (H).hOTQ W BOLX[INSTWE KLASSI^ESKIH ZADA^ WAVNY IMENNO DOSTATO^NYESTATISTIKI, PONQTIE DOSTATO^NOJ { ALGEBRY QWLQETSQ, PO KRAJNEJ MERES TEORETI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ, BOLEE UDOBNYM, ^EM PONQTIE DOSTATO^NOJSTATISTIKI. oTMETIM, ^TO SU]ESTWU@T PRIMERY { ALGEBR, KOTORYE NEPOROVDA@TSQ NIKAKOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ SO ZNA^ENIQMI W ZADANNOMIZMERIMOM PROSTRANSTWE.pRIMER 7.1.1. pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE SLU^AJNYE WELI^INY, IME@]IE RAPREDELENIE pUASSONA S NEIZWESTNYM PARAMETROM > 0.Xi P (); i = 1; ; n:dOKAVEM, ^TO STATISTIKAT=nXi=1XiQWLQETSQ DOSTATO^NOJ.
s \TOJ CELX@ ZAMETIM, ^TOT=PO\TOMU, ESLInPi=1nXi=1Xi P (n);ki = m; ki ; m 2 f0; 1; 2; g, TOe;n mm!m!P (X1 = k1 ; ; Xn = kn j T = m) = ;ne (n)mk1 ! kn ! = nm k1 ! kn ! :eSLInPi=1ki 6= m, TO \TA WEROQTNOSTX RAWNA NUL@. iTAKP(X 2 A j T = m) =NE ZAWISIT OT .Xk1 ;;kn 2AP (X1 = k1 ; ; Xn = kn j T = m); A 2 F7.1.dOSTATO^NYE STATISTIKI63pOKAVEM NA \WRISTI^ESKOM UROWNE, ^TO DOSTATO^NAQ STATISTIKA = T (X )SODERVIT O 2 (P 2 P ) TU VE INFORMACI@, ^TO I , TO ESTX PRI PEREHODEOT K INFORMACIQ O NE TERQETSQ.pOSKOLXKU RASPREDELENIE P (X 2 A j T = t) PO OPREDELENI@ NE ZAWISITOT , TO MY MOVEM W PRINCIPE PRI KAVDOM t SMODELIROWATX STATISTIKU Zt,IME@]U@ \TO RASPREDELENIEP(Zt 2 A) = P (X 2 A j T = t); A 2 F ;PRI^<M \TA STATISTIKA Zt INFORMACI@ O NE SODERVIT. sMODELIRUEM TEPERX STATISTIKU T = T (X ) TAK, ^TO BY ONA NE ZAWISILA OT Zt , TOGDA SOSTAWNAQ STATISTIKA ZT (X ) IMEET TAKOE VE RASPREDELENIE KAK I , I, ZNA^IT, WSQINFORMACIQ O SODERVITSQ W STATISTIKE .dOKAVEM, ^TO U X I ZT (X ) SOWPADA@T RASPREDELENIQ.
iSPOLXZUQ SWOJSTWAUSLOWNYH MATEMATI^ESKIH OVIDANIJ, IMEEMP (ZT (X ) 2 A) = E P (ZT (X ) 2 A j T = t) = E P (Zt 2 A j T = t) == E P(Zt 2 A) = E P (X 2 A j T = t) = P (X 2 A); A 2 F :pRIMER 7.1.2. pREDPOLOVIM, ^TO NABL@DENIE X RASPREDELENO NORMALXNOSO SREDNIM NOLX I NEIZWESTNOJ DISPERSIEJ 2 > 0X N (0; 2):tOGDA RASPREDELENIE X SIMMETRI^NO OTNOSITELXNO NULQ. pRI USLOWII ^TOjX j = t, EDINSTWENNYE DWA WOZMOVNYH ZNA^ENIQ X ESTX t, I IZ SIMMETRIISLEDUET, ^TO USLOWNAQ WEROQTNOSTX KAVDOGO IZ NIH RAWNA 1=212P X = t j jX j = t = P X = ;t j jX j = t = :tAKIM OBRAZOM, USLOWNOE RASPREDELENIE X PRI ZADANNOM jX j NE ZAWISIT OT2 , I ZNA^IT STATISTIKAT (X ) = jX jDOSTATO^NA. tEPERX NABL@DENIE X 0 S TEM VE RASPREDELENIEM, ^TO I X ,MOVNO POLU^ITX IZ T , BROSAQ PRAWILXNU@ MONETU I POLAGAQ X 0 = T ILIX 0 = ;T , KOGDA MONETA WYPADET GERBOM ILI RE[<TKOJ.wYDELENIE DOSTATO^NYH STATISTIK S POMO]X@ oPREDLENIE 7.1.2 NEUDOBNO, POSKOLXKU ONO TREBUET, WO-PERWYH, UGADYWANIQ DOSTATO^NOJ STATISTIKIT (X ), KOTORAQ MOGLA BY BYTX DOSTATO^NOJ, A ZATEM PROWERKI TOGO, QWLQETSQ LI USLOWNOE RASPREDELENIE X PRI ZADANNOM T (X ) NEZAWISQ]IM OT .64lEKCIQ7oDNAKO DLQ DOMINIRUEMYH SEMEJSTW SU]ESTWUET PROSTOJ KRITERIJ FAKTORIZACII (SM.
tEOREMU 7.1.3).tEOREMA 7.1.1.pUSTX D F { DOSTATO^NAQ { PODALGEBRA DLQ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY (X ; F ; P ), TOGDA1) { PODALGEBRA D QWLQETSQ DOSTATO^NOJ DLQ L@BOJ STATISTI^ESKOJSTRUKTURY WIDA(X ; F ; P 0 ); GDE P 0 PILI P 0 { WYPUKLAQ OBOLO^KA P .2) wSQKAQ STATISTIKA, \KWIWALENTNAQ DOSTATO^NOJ, SAMA DOSTATO^NA.3) eSLI D0 D { { PODALGEBRA D, TOGDA D0 DOSTATO^NA DLQ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY (X ; D; P ) W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE,KOGDA D0 { DOSTATO^NA DLQ ISHODNOJ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY(X ; F ; P ).dOKAZATELXSTWO. pUNKTY 1 I 2 NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T IZ OPREDELENIQ DOSTATO^NOSTI.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
