В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 8
Текст из файла (страница 8)
dLQ DOKAZATELXSTWA PUNKTA 3 ZAMETIM, ^TO ESLI D0 {DOSTATATO^NA DLQ (X ; F ; P ), TO ONA O^EWIDNO DOSTATO^NA I DLQ (X ; D; P ).oBRATNO, ESLI D0 { DOSTATATO^NA DLQ (X ; D; P ), TOP(A j D0 ) = E(P(A j D) j D0 ); A 2 F :pOSKOLXKU PO USLOWI@ D { DOSTATO^NAQ { PODALGEBRA DLQ (X ; F ; P ), TOP(A j D )NE ZAWISIT OT P I QWLQETSQ D { IZMERIMOJ FUNKCIEJ, PO\TOMU, W SILU DOSTATO^NOSTI D0, \TO USLOWNOE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE NE ZAWISIT OT P, AZNA^IT I P(A j D0) NE ZAWISIT OT P.w SLU^AE DOMINIRUEMYH STRUKTUR SPRAWEDLIW SLEDU@]IJ FUNDAMENTALXNYJ TEORETI^ESKIJ REZULXTAT.tEOREMA 7.1.2.pUSTX (X ; F ; fP ; 2 g) { DOMINIRUEMAQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA, A P { PRIWILEGIROWANNOE DOMINIRU@]EE WEROQTNOSTNOE RASPREDELENIE. tOGDA NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM DOSTATO^NOSTI { PODALGEBRY D F QWLQETSQ SU]ESTWOWANIE D { IZMERIMYH(DLQ WSEH 2 ) PLOTNOSTEJp (x) = ddPP (x):7.1.dOSTATO^NYE STATISTIKI65pRI \TOM USLOWII DLQ WSQKOGO A 2 F MOVNO W KA^ESTWE OB]EGO ZNA^ENIQUSLOWNYH WEROQTNOSTEJ P (A j D) POLOVITXP (A j D) = P (A j D); A 2 F :dOKAZATELXSTWO.
nEOBHODIMOSTX. pUSTX D F { DOSTATO^NAQ {PODALGEBRA. dLQ KAVDOGO SOBYTIQ A 2 F OBOZNA^IM ^EREZ P(A j D) WARIANTP (A j D), NE ZAWISQ]IJ OT 2 . tOGDAP (A \ B ) =ZBP (A j D)dP =ZBP(A j D)dP ; 2 ; B 2 D; A 2 F :(7:1:1)pOSKOLXKU P QWLQETSQ WYPUKLOJ KOMBINACIEJ NE BOLEE ^EM S^<TNOGO ^ISLAP ; 2 0 (tEOREMA 6.1.2, PUNKT 2)XP (A) =c P (A); A 2 F ; 2 0TO PEREHODQ K WYPUKLYM KOMBINACIQM W RAWENSTWE (7.1.1), POLU^IMP (A \ B ) =ZBP(A j D)dP ; B 2 D; A 2 F ;(7:1:2)TO ESTX P(A j D) ZADA<T WARIANT USLOWNOJ WEROQTNOSTI P (A j D).
pOLAGAQW SOOTNO[ENII (7.1.1) B = X , TEPERX POLU^IMP (A) =ZP(A j D)dP =ZP (A j D)dP =ZP (A j D)p dP ; 2 ; A 2 F ;(7:1:3)PRI^<M, POSKOLXKU P ABSOL@TNO NEPRERYWNY OTNOSITELXNO P NA D, TOPLOTNOSTX p (x) QWLQETSQ D { IZMERIMOJ. pOSLEDNEE RAWENSTWO MOVNO ZAPISATX W WIDE (SM. lEKCIQ 5, SWOJSTWA 10 I 6 USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGOOVIDANIQ)ZP (A j D)p dP = E P (A j D)p = E E (1A j D)p == E E (1A p j D) = E 1A p =TO ESTXP (A) =ZAZAp dP ; 2 ; A 2 F ;p dP ; 2 ; A 2 F :(7:1:5)lEKCIQ667|TO RAWENSTWO I OZNA^AET, ^TOp (x) = ddPP (x);PRI^<M PLOTNOSTX p (x) QWLQETSQ D { IZMERIMOJ.dOSTATO^NOSTX. pREDPOLOVIM, ^TO MOVNO WYBRATX D { IZMERIMYJWARIANT PLOTNOSTIp (x) = ddPP (x):pOKAVEM, ^TO TOGDA P(A j D) MOVET SLUVITX USLOWNOJ WEROQTNOSTX@ P (A jD) DLQ WSEH 2 . iMEEMP (A \ B ) =ZZ1A1B dP = 1A 1B p dP ; 2 ; B 2 D; A 2 F ; (7:1:6)NO FUNKCIQ 1B (x)p (x) D { IZMERIMA, PO\TOMU PO SWOJSTWAM 6 I 10 IZ lEKCII5 USLOWNYH MATEMATI^ESKIH OVIDANIJ, RAWENSTWO (7.1.6) MOVNO PEREPISATXW WIDEZP (A \ B ) = E (1A 1B p j D)dP =ZZ= P (A j D)1B p dP = P (A j D)dP ; 2 ; B 2 D; A 2 F : (7:1:7)BrAWENSTWO (7.1.7) POKAZYWAET, ^TO P(A j D) MOVET SLUVITX USLOWNOJ WEROQTNOSTX@ P (A j D) DLQ WSEH 2 .sLEDSTWIE 7.1.1.pUSTX D F { DOSTATO^NAQ { PODALGEBRA DLQDOMINIRUEMOJ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY (X ; F ; P ).
tOGDA L@BAQ {PODALGEBRA D0, SODERVA]AQ D; D D0, TAKVE DOSTATO^NA.sLEDSTWIE 7.1.2.pUSTX D F ; D0 F 0 { DWE DOSTATO^NYE {PODALGEBRY DLQ DOMINIRUEMYH STATISTI^ESKIH STRUKTUR (X ; F ; P ) I(X 0 ; F 0 ; P 0 ) SOOTWETSTWENNO. tOGDA { PODALGEBRA D D0 DOSTATO^NADLQ PROIZWEDENIQ STATISTI^ESKIH STRUKTUR(X ; F ; P ) (X 0 ; F 0 ; P 0 ):dOKAZATELXSTWO sLEDSTWIQ 7.1.1 NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIQIZMERIMOSTI I tEOREMY 7.1.2.dLQ DOKAZATELXSTWA sLEDSTWIQ 7.1.2 ZAMETIM, ^TO PLOTNOSTX p (x)p0 (x0)NA PROIZWEDENII X X 0 QWLQETSQ D D0 { IZMERIMOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA,KOGDA p (x) I p0 (x) QWLQ@TSQ SOOTWETSWENNO D I D0 IZMERIMYMI.7.1.dOSTATO^NYE STATISTIKI67w ^ASTNOSTI, ESLI { ALGEBRY D I D0 POROVDA@TSQ STATISTIKAMI T I0T , TO PARA (T; T 0 ) DOSTATO^NA DLQ PROIZWEDENIQ STATISTI^ESKIH STRUKTUR.qSNO, ^TO \TI SWOJSTWA TAKVE WERNY I DLQ POLUPRQMYH PROIZWEDENIJSTATISTI^ESKIH STRUKTUR.tEOREMA 7.1.2 POZWOLQET USTANOWITX SLEDU@]IJ, ^ASTO PRIMENQEMYJ NAPRAKTIKE, KRITERIJ DOSTATO^NOSTI, POZWOLQ@]IJ NAHODITX DOSTATO^NYESTATISTIKI.tEOREMA 7.1.3.(kRITERIJ FAKTORIZACII)pUSTX (X ; F ; fp ; 2 g) {DOMINIRUEMAQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA.
sTATISTIKA T SO ZNA^ENIQMI W IZMERIMOM PROSTRANSTWE (Y ; H) QWLQETSQ DOSTATO^NOJ TOGDA ITOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWU@T1) NEOTRICATELXNAQ F { IZMERIMAQ FUNKCIQ h(x) NA X ,2) H { IZMERIMAQ DLQ WSEH 2 FUNKCIQ g (t) NA Y TAKIE, ^TOp (x) = g (T (x))h(x) P. W.
2 ; x 2 X :pUSTX P { PRIWILEGIROWANNOE WEROQTNOSTNOE RASPREDELENIE, DOMINIRU@]EE STATISTI^ESKU@ STRUKTURU (X ; F ; fp ; 2 g).tOGDA PO tEOREME 7.1.2 NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM DOSTATO^NOSTI STATISTIKI T QWLQETSQ SU]ESTWOWANIE T ;1(H) { IZMERIMYH (DLQ WSEH 2 ) PLOTNOSTEJp (x) = ddPP (x):u^ITYWAQ uTWERVDENIE 1.1.2 \TO USLOWIE \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ H{ IZMERIMOJ PRI WSEH 2 FUNKCII g (t) NA (Y ; H) TAKOJ, ^TOp (x) = ddPP (x) = g (T (x)):eSLI { MERA, DOMINIRU@]AQ ISHODNU@ STATISTI^ESKU@ STRUKTURU (X ; F ; fp ; 2g), TO PO tEOREME 6.1.2 P ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO I PRIdP (x) = h(x)dIMEEMp (x) = g (T (x))h(x) P. W. 2 ; x 2 X :dOKAZATELXSTWO.zAME^ANIQ.lEKCIQ6871) zAMETIM, ^TO FUNKCIQ h(x) MOVET RAWNQTXSQ NUL@ TOLXKO NA P { PRENEBREVIMYH MNOVESTWAH.
pOSKOLXKU, PUSTX N 2 F TAKOWO, ^TODLQ WSEH P 2 P :P(N ) = 0;nO TOGDA IP (N ) = 0:sLEDOWATELXNOP (N ) =ZNh(x)d (x) = 0:(7:1:8)eSLI (N ) = 0, TO POLOVIM h(x) = 0 PRI x 2 N . s DRUGOJ STORONY,ESLI (N ) > 0, TO IZ (7.1.8) SLEDUET, ^TO h(x) = 0 PRI x 2 N .2) pUSTX PT I PT { RASPREDELENIQ, INDUCIRUEMYE NA (Y ; H), ISHODQ IZP I P SOOTWETSTWENNO, TO ESTXPT (B ) = P (T ;1 (B )); PT (B ) = P (T ;1 (B )); B 2 H:tOGDAg (t) = ddPPT (t):TpOSKOLXKU, ISPOLXZUQ FORMULU ZAMENY PEREMENNOGO (SM.
lEKCIQ 2,PUNKT 8(f)), IMEEMPT (B ) = P (T ;1 (B )) ==ZT ;1 (B)ZT ;1 (B)ZdP (x) =g (T (x))dP (x) = g (t))dPT (t);BB 2 H:pRIMER 7.1.3. pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO NORMALXNORASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi N (0; 2 ); 2 2 = (0; +1) i 2 N:nAJD<M DOSTATO^NU@ STATISTIKU W \TOM SLU^AE.
pRIMENIM TEOREMU 7.1.3.s \TOJ CELX@ ZAMETIM, ^TO SOWMESTNAQ PLOTNOSTX X IMEET WIDp (x) = ;nnYi=1'(xi=) =7.1.dOSTATO^NYE STATISTIKIn onX= n 1 n=2 exp ;1=22 x2i ; x = (x1 ; ; xn ): (2)i=169tAKIM OBRAZOM, PO tEOREME 7.1.3 WMESTO n { MERNOGO WEKTORA NABL@DENIJX = (X1 ; ; Xn ), IMEEM ODNOMERNU@ DOSTATO^NU@ STATISTIKU WIDAT=nXi=1Xi2 :lEKCIQ707.27spisok literatury1) v. { r. bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1974, gLAWA 2 < 1, < 2.2) {. zAKS, tEORIQ sTATISTI^ESKIH wYWODOW,mOSKWA, mIR, 1975, gLAWA 2, < 2.1 { 2.3.3) v.{ l.
sOLE, oSNOWNYE sTRUKTURY mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1972, gLAWA 2, < 2.4) p.l. hENNEKEN, a. tORTRA, tEORIQ wEROQTNOSTEJ I nEKOTORYE E< pRILOVENIQ,mOSKWA, nAUKA, 1974, gLAWA 7, < 27.lEKCIQ 8sTATISTI^ESKOMU \KSPERIMENTU, W KOTOROM PROWODQTSQ OPREDELENNYENABL@DENIQ, OTWE^AET NEKOTORAQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA(X ; F ; fP ; 2 g).
w PREDYDU]IH lEKCIQH RASMATRIWALISX NEKOTORYESWOJSTWA \TIH STRUKTUR. wYQSNIM TEPERX, KAK OBRABATYWATX POLU^ENNYE DANNYE S POMO]X@ STATISTI^ESKIH METODOW.8.1re{eniq i strategiizADA^A STATISTI^ESKOGO RE[ENIQ OPREDELQETSQ ZADANIEM STATISTI^ESKOJ STRUKTURY (X ; F ; fP ; 2 g) I IZMERIMOGOPROSTRANSTWA (; U ). sTRATEGIEJ S NAZYWAETSQ PEREHODNAQ WEROQTNOSTXS (x; D), ZADANNAQ NA X U TAKAQ, ^TO:1) DLQ WSEH x 2 X S (x; D) { WEROQTNOSTX NA U ;2) DLQ WSEH D 2 U FUNKCIQ S (x; D) F { IZMERIMA PO .pROSTRANSTWO (; U ) INTERPRETIRUETSQ KAK PROSTRANSTWO RE[ENIJ. tREBUEMAQ INFORMACIQ O , NUVNAQ DLQ PRINQTIQ RE[ENIQ, SODERVITSQ W UKAZANNOM ZARANEE MNOVESTWE RE[ENIJ .
eSLI X = x { NABL@DENIQ, TO RE[ENIE 2 PRINIMAETSQ SOGLASNO WEROQTNOSTNOMU RASPREDELENI@ S (x; ) NAIZMERIMOM PROSTRANSTWE (; U ). w ^ASTNOSTI, ESLI S (x; ) { WYROVDENNOERASPREDELENIE W TO^KE (x) 2 , TO ESTXS (x; D) = 1D ((x)); D 2 U ;TO STRATEGIQ NAZYWAETSQ NERANDOMIZIROWANNOJ (DETERMINIROWANNOJ), I TAKAQ STRATEGIQ SOSTOIT PROSTO W PRINQTII RE[ENIQ (x) 2 NA OSNOWE NABL@DENIQ X = x.oPREDELENIE8.1.1.71lEKCIQ728s MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ LEGKO PONQTX, PO^EMU NE SLEDUET OGRANI^IWATXSQ RASSMOTRENIEM NERANDOMIZIROWANNYH STRATEGIJ: MNOVESTWO WSEHSTRATEGIJ QWLQETSQ WYPUKLYM, W TO WREMQ KAK PODMNOVESTWO NERANDOMIZIROWANNYH STRATEGIJ TAKOWYM NE QWLQETSQ.pRIMERY.1) pUSTX = I STRATEGIQ S (x; ) WYROVDENNA W TO^KE (x) 2 , TO ESTXS (x; D) = 1D ((x)); D 2 U :w \TOM SLU^AE IMEEM ZADA^U OCENIWANIQ { PO KAVDOMU NABL@DENI@ XRASSMATRIWAEM OCENKU (X ) PARAMETRA 2 .2) pUSTX { KLASS PODMNOVESTW I RE[ENIE { PODMNOVESTWO MNOVESTWA.
|TO TAK NAZYWAEMAQ ZADA^A DOWERITELXNOGO OCENIWANIQ.3) pUSTX=kXj =1j :tO ESTX MNOVESTWO RAZBITO NA k NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTWAj ; j = 1; ; k I PUSTX = f1 ; ; k g;GDE RE[ENIQ j ; j = 1; ; k INTERPRETIRUETSQ KAK 2 j ; j = 1; ; k:|TO { PROWERKA STATISTI^ESKIH GIPOTEZ.4) pUSTX IZ PARTII ODNORODNYH DETALEJ BERUTSQ n IZDELIJ DLQ KONTROLQ.kAK NA OSNOWE SLU^AJNOGO ^ISLA X; X n, DEFEKTNYH IZDELIJ PRINQTXRE[ENIE O TOM, MOVNO LI S^ITATX WS@ PRODUKCI@ GODNOJ ILI NET?zDESX X = f0; 1; ; ng; F = (X ),P = fB(n; ); 2 = [0; 1]g; = f0 ; 1 g; U = ();GDE 0 { RE[ENIE, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO PARTIQ PRINIMAETSQ, A 1 {PARTIQ OTWERGAETSQ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
