В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 5
Текст из файла (страница 5)
tAKIE PROCESSY, U KOTORYH MNOVESTWO T MOVNO OTOVDESTWITX SO WSEJ ILI S ^ASTX@ POSLEDOWATELXNOSTI f: : : ; ;1; 0; 1; : : :g,OBY^NO NAZYWA@T PROCESSAMI S DISKRETNYM WREMENEM ILI SLU^AJNYMI POSLEDOWATELXNOSTQMI.eSLI MNOVESTWO T SOWPADAET S NEKOTORYM ^ISLOWYM INTERWALOM T =[a; b], TO SEMEJSTWO SLU^AJNYH WELI^IN (t) = (!; t) NAZYWAETSQ SLU^AJNYM PROCESSOM S NEPRERYWNYM WREMENEM.
iNTERPRETACIQ PARAMETRA t KAK WREMENI, KONE^NO, NE OBQZATELXNA.rASSMOTRIM NEKOTORYJ SLU^AJNYJ PROCESS (t) = (!; t). eSLI FIKSIROWATX !0 2 , TO MY POLU^IM FUNKCI@ (t) = (!0; t); t 2 T , KOTORU@^ASTO NAZYWA@T WYBORO^NOJ FUNKCIEJ ILI TRAEKTORIEJ SLU^AJNOGOPROCESSA. tAKIM OBRAZOM, ZDESX W ROLI SLU^AJNYH WELI^IN WYSTUPA@T FUNKCII.
kAK I RANX[E, MY MOGLI BY RASSMATRIWATX PROSTRANSTWO\LEMENTARNYH SOBYTIJ , PREDPOLOVIW, ^TO ESTX FUNKCIONALXNOEPROSTRANSTWO \LEMENTOW = (t) I ^TO -ALGEBRA A SODERVIT WSEMNOVESTWA WIDAf : (t0) 2 C glEKCIQ384DLQ L@BYH t0 I BORELEWSKIH MNOVESTW C .
w \TOM SLU^AE MERU P W TROJKE ( ; A ; P ) MY BUDEM NAZYWATX RASPREDELENIEM SLU^AJNOGO PROCESSA f(t); t 2 T g. eSLI VE FIKSIROWATX ZNA^ENIQ t1; : : : ; tk , TO MY POLU^IM MNOGOMERNU@ SLU^AJNU@ WELI^INU ((!; t1 ); : : : ; (!; tk )). rASPREDELENIE TAKIH SLU^AJNYH WELI^IN NAZYWAETSQ KONE^NOMERNYMI RASPREDELENIQMI PROCESSA f(t); t 2 T g. iZ tEOREMY kOLMOGOROWA O SOGLASOWANNYH RASPREDELENIQH SLEDUET, ^TO ZADANIE SOGLASOWANNYH KONE^NOMERNYH RASPREDELENIJ ODNOZNA^NO OPREDELQET RASPREDELENIE PROCESSA.nAIBOLEE PROSTOJ PRIRODOJ OBLADA@T TAK NAZYWAEMYE ODNORODNYESLU^AJNYE PROCESSY S NEZAWISIMYMI PRIRA]ENIQMI.sLU^AJNYJ PROCESS f(t); t 2 [a; b]g, OPREDL<NNYJ NA OTREZKE [a; b] NAZYWAETSQ SLU^AJNYM PROCESSOM S NEZAWISIMYMI PRIRA]ENIQMI, ESLIDLQ L@BYH ^ISEL a t0 < t1 < : : : < tn b SLU^AJNYE WELI^INY (t0 ); (t1) ; (t0 ); : : : ; (tn ) ; (tn;1 )NEZAWISIMY.sLU^AJNYJ PROCESS f(t); t 2 [a; b]g NAZYWETSQ ODNORODNYM, ESLI RASPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN (t1 ) ; (t0 ) ZAWISIT LI[X OT DLINYINTERWALA t1 ; t0 I NE ZAWISIT OT t0.4) pUSTX NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; B) IMEETSQ WEROQTNOSTNAQ MERAQ (= PX ) I { KONE^NAQ MERA .
gOWORQT, ^TO MERA Q IMEET PLOTNOSTXOTNOSITELXNO , ESLI SU]ESTWUET B { IZMERIMAQ FUNKCIQ p(x) TAKAQ,^TOZQ(B ) = p(x)d (x); DLQ WSEH B 2 B:BpRI \TOM ESLI PX IMEET PLOTNOSTX p(x), TOET (X ) =ZXZT (x)dPX (x) = T (x)p(x)d (x):X5) cENTRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA. pUSTX X1 ; X2 ; { POSLEDO-WATELXNOSTX NEZAWISIMYH ODINAKOWO RASPREDELNNYH NEWYROVDENNYHSLU^AJNYH WELI^IN TAKIH, ^TOEX12 < +1;4.1TOGDAGDEoSNOWNYE ZAKONY39S;nnpLimsupP<x;(x) = 0;n!1 xnSn = X1 + + Xn ; = EX1 ;(x) =2 = DX1 ;x2(t)dt; (x) = p1 e; x2 :2;1Z6) zAKON BOLX[IH ^ISEL. pUSTX X1 ; X2 ; { POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH ODINAKOWO RASPREDELNNYH SLU^AJNYH WELI^IN TAKIH, ^TOEjX1 j < +1;TOGDAn;1 X Xi = EX1 = 1:P nLimn!1i=1lEKCIQ404.24spisok literatury1) v.
nEW<, mATEMATI^ESKIE oSNOWY tEORII wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, mIR, 1969, gLAWA 4.2) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989, gLAWY 3 { 4.3) m. lO\W, tEORIQ wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1962, ~ASTX 3.lEKCIQ 5w lEKCII DAETSQ OB]EE OPREDELENIE USLOWNYH MATEMATI^ESKIH OVIDANIJI USLOWNYH WEROQTNOSTEJ. rASSMOTRENY IH OSNOWNYE SWOJSTWA.5.1uslownye matemati~eskie ovidaniq i uslownye weroqtnosti-pUSTX (; A; P) { WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO I MNOVESTWA (SOBYTIQ) A; BPRINADLEVAT { ALGEBRE A, PRI^<MP(B ) > 0:oPREDELIM USLOWNU@ WEROQTNOSTX SOBYTIQ A PRI USLOWII SOBYTIQ B POFORMULE\ B) :P(A j B ) def= P(PA(B)rASSMOTRIM SNA^ALA USLOWNU@ WEROQTNOSTX OTNOSITELXNO DISKRETNYH SLU^AJNYH WELI^IN.pUSTX = (!) { SLU^AJNAQ WELI^INA, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ fx1 ; x2 ; gS WEROQTNOSTQMIXpi = P( = xi) > 0; i 2 N;p i = 1:irASSMOTRIM MNOVESTWABi = f! : (!) = xi g; i 2 N:zAMETIM, ^TO { ALGEBRA A , POROVD<NNAQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ , SOSTOITIZ MNOVESTW WIDAX = Bi ; I N:(5:1:1)i2I41lEKCIQ425pRI \TOM SU]ESTWU@T USLOWNYE WEROQTNOSTI WIDAP(A j Bi ) P(A j = xi ); i 2 N:oPREDELIM TEPERX USLOWNU@ WEROQTNOSTX SOBYTIQ A OTNOSITELXNO SLU^AJNOJ WELI^INY KAK FUNKCI@ SLEDU@]EGO WIDA:P(A j (!)) P(A j = xi ); PRI ! 2 Bi ; i 2 N:pRI \TOM NETRUDNO WIDETX, ^TO SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE OSNOWNOE SOOTNO[ENIE, DA@]EE OSNOWANIE DLQ OPREDELENIQ USLOWNOJ WEROQTNOSTI W OB]EMSLU^AE, WIDAP(A \ ) =ILIP(A \ ) =ZXi2IP(A \ Bi ) =Xi2IP(A j = xi )P(Bi );P(A j (!))dP(!); PRI WSEH 2 A :(5:1:2)oPREDELIM TEPERX USLOWNOE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY = (!) OTNOSITELXNO DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY .
pUSTX { DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQfy1; y2 ; g S WEROQTNOSTQMIqk = P( = yk ); k 2 N;Xkqk = 1:pREDPOLOVIM, ^TO SLU^AJNAQ WELI^INA INTEGRIRUEMA, TO ESTXEjj =Xkjyk jqk < 1:oPREDELIM TEPERX USLOWNOE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE SLU^AJNOJ WELI^INY OTNOSITELXNO SLU^AJNOJ WELI^INY KAK FUNKCI@ WIDA:E( j (!)) E( j = xi ) def=Xkyk P( = yk j = xi ); PRI ! 2 Bi ; i 2 N:iZ \TOGO OPREDELENIQ NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TOXkyk P( = yk ; = xi ) = E( j = xi)P( = xi); i 2 N:5.1uSLOWNYE OVIDANIQ43sUMMIRUQ POSLEDNIE RAWENSTWA PO WSEM i 2 I , POLU^IMXXyk P( = yk ; ) = E( j = xi )P( = xi); I N:i2IktO ESTX SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE OSNOWNOE INTEGRALXNOE SOOTNO[ENIE, MOTIWIRU@]EE OB]EE OPREDELENIE USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQZZ(!)dP(!) = E( j (!))dP(!);PRI WSEH 2 A :(5:1:3)rASSMOTRIM TEPERX OB]IJ SLU^AJ.pUSTX D { NEKOTORAQ { PODALGEBRA ISHODNOJ { ALGEBRY A I PUSTX = (!) { INTEGRIRUEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA.oPREDELENIE 5.1.1.
uSLOWNYM MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM INTEGRIRUEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY OTNOSITELXNO { PODALGEBRY D NAZYWAETSQSLU^AJNAQ WELI^INA E( j D)(!) E( j D), UDOWLETWORQ@]AQ SLEDU@]IMUSLOWIQM1) E( j D) QWLQETSQ D { IZMERIMOJ SLU^AJNOJ WELI^INOJ.2) sPRAWEDLIWO SLEDU@]EE INTEGRALXNOE SOOTNO[ENIE (SR. (5.1.3))ZDZ(!)dP(!) = E( j D)dP(!);DPRI WSEH D 2 D:(5:1:4)dOKAVEM, ^TO DLQ L@BOJ INTEGRIRUEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY SU]ESTWUET USLOWNOE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE E( j D). s \TOJ CELX@ RASSMOTRIMNA D S^<TNO-ADDITIWNU@ FUNKCI@ MNOVESTW WIDAZ(D) = (!)dP(!); D 2 D:DoNA QWLQETSQ ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO P, I PO\TOMU PO tEOREMErADONA { nIKoDIMA (SM.
tEOREMU IZ PUNKTA 8(g), lEKCII 2) SU]ESTWUET D{ IZMERIMAQ FUNKCIQ g(!) TAKAQ, ^TOZ(D) = g(!)dP(!); D 2 D;DTO ESTX W KA^ESTWE E( j D) MOVNO WZQTX g(!). tAKIM OBRAZOM W SOOTWETSTWIIS tEOREMOJ rADONA { nIKODIMA USLOWNOE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE E( j D)lEKCIQ445OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO S TO^NOSTX@ DO MNOVESTW P { MERY NULX. iNA^EGOWORQ W KA^ESTWE E( j D) MOVNO WZQTX L@BU@ D { IZMERIMU@ FUNKCI@h(!), NAZYWAEMU@ WARIANTOM USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ, DLQKOTOROJZ(D) = h(!)dP(!); D 2 D:DoTMETIM TAKVE, ^TO IZ tEOREMY rADONA { nIKODIMA SLEDUET RAWENSTWOdE( j D) = (!);dPTO ESTX USLOWNOE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE ESTX NE ^TO INOE, KAK PROIZWODNAQ rADONA { nIKODIMA MERY OTNOSITELXNO MERY P (RASSMATRIWAEMYH NA(; D)).w SWQZI S SOOTNO[ENIEM (5.1.4) ZAMETIM, ^TO MY NE MOVEM, WOOB]E GOWORQ, POLOVITXE( j D) = ;POSKOLXKU SLU^AJNAQ WELI^INA NE OBQZANA BYTX D { IZMERIMOJ.oPREDELENIE 5.1.2.
uSLOWNOJ WEROQTNOSTX@ SOBYTIQ A 2 A OTNOSITELXNO { PODALGEBRY D NAZYWAETSQ SLU^AJNAQ WELI^INA WIDAP(A j D)(!) P(A j D) = E(1A j D):tAKIM OBRAZOM \TO FUNKCIQ UDOWLETWORQ@]AQ SLEDU@]IM USLOWIQM1) P(A j D) QWLQETSQ D { IZMERIMOJ SLU^AJNOJ WELI^INOJ.2) sPRAWEDLIWO SLEDU@]EE INTEGRALXNOE SOOTNO[ENIE (SR. (5.1.2))P(A \ D) =ZDP(A j D)dP(!);PRI WSEH D 2 D:(5:1:5)pUSTX = (!) { SLU^AJNAQ WELI^INA SO ZNA^ENIQMI W Rn; oBOZNA^IM { ALGEBRU, POROVD<NNU@ ^EREZ A .oPREDELENIE 5.1.3. uSLOWNYM MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM INTEGRIRUEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY OTNOSITELXNO SLU^AJNOJ WELI^INY NAZYWAETSQ SLU^AJNAQ WELI^INA WIDAE( j (!)) E( j ) def= E( j A ):5.1uSLOWNYE OVIDANIQ45uSLOWNOJ WEROQTNOSTX@ SOBYTIQ A 2 A OTNOSITELXNO SLU^AJNOJ WELI^INY NAZYWAETSQ SLU^AJNAQ WELI^INA WIDAP( j (!)) P(A j ) def= P(A j A ):rASSMOTRIM TEPERX PODROBNEE USLOWNYE MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ E( j )OTNOSITELXNO SLU^AJNOJ WELI^INY . pOSKOLXKU PO OPREDELENI@ E( j ) QWLQETSQ A { IZMERIMOJ FUNKCIEJ, TO SOGLASNO uTWERVDENI@ 1.1.2, NAJD<TSQTAKAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ m(x), ^TOm((!)) = E( j (!)):|TU FUNKCI@ m(x) BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZE( j = x); TO ESTX m(x) def= E( j = x)I NAZYWATX USLOWNYM MATEMTATI^ESKIM OVIDANIEM PRI USLOWII, ^TO = x.iZ oPREDELENIJ 5.1.1 I 5.1.3 SLEDUET, ^TO SPRAWEDLIWY RAWENSTWAZBZZBBdP = E( j )dP = m()dP;PRI WSEH B 2 A :pO\TOMU ISPOLXZUQ FORMULU ZAMENY PEREMENNOGO W INTEGRALE lEBEGA (SM.lEKCI@ 2, PUNKT 8(f)), POSLEDN@@ FORMULU MOVNO PEREPISATX W WIDEZf! : 2 C gZdP = m(x)dP (x);CPRI WSEH C 2 B1;(5:1:6)GDE P { RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ SLU^AJNOJ WELI^INY .uSLOWNYE MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ PO^TI NAWERNOE OBLADA@T SWOJSTWAMI OBY^NOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ.
nIVE PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWOWANIE I PO^TI NAWERNOE KONE^NOSTX WSEH USLOWNYH MATEMATI^ESKIH OVIDANIJ. pRIWED<M TEPERX BEZ DOKAZATELXSTW (KOTORYE, WPRO^EM, NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T IZ OPREDELENIJ) OSNOWNYE SWOJSTWA USLOWNYH MATEMATI^ESKIH OVIDANIJ. pRIWED<NNYE NIVE SWOJSTWA WYPOLNQ@TSQ PO^TI NAWERNOE.dOKAZATELXSTWA MOGUT BYTX NAJDENY, NAPRIMER, W [1] (STR. 231 {234).1) eSLI C , TOE( j D) = C:lEKCIQ4652) dLQ L@BYH ^ISEL a; b 2 R1E(a + b j D) = aE( j D) + bE( j D):3) eSLI ; TO I4)E( j D) E( j D):jE( j D)j E(jj j D):5) eSLIeSLID = f;; g; TOE( j D) = E:D = () = fD : D g; TO E( j D) = :6)7) eSLI D1 D2 , TO8) eSLI D1 D2 , TOE(E( j D)) = E:E[E( j D2 ) j D1 ] = E( j D1 ):E[E( j D2 ) j D1 ] = E( j D2 ):9) pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA NE ZAWISIT OT { ALGEBRY D, TO ESTX NEZAWISIT OT 1D (!); D 2 D.
tOGDAE( j D) = E:10) pUSTX { D { IZMERIMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA, TOGDAE( j D) = E( j D):11) pUSTX = (!) { SLU^AJNAQ WELI^INA, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ fx1 ; x2 ; gS WEROQTNOSTQMIpi = P( = xi ) > 0; i 2 N;tOGDA1E( j = xi ) =P( = xi )Zf!:=xi gXipi = 1:dP; i 2 N:5.1uSLOWNYE OVIDANIQ4712) pUSTX (; ) { PARA SLU^AJNYH WELI^IN, RASPREDELENIE KOTORYH OBLADAET PLOTNOSTX@ p (x; y):P((; ) 2 C ) =ZCp (x; y)dxdy;C 2 B2 :pUSTX p (x); p (y) { SOOTWETSTWENNO PLOTNOSTI SLU^AJNYH WELI^IN I . oBOZNA^IMpj (x j y) = pp ((x;y)y) ;POLAGAQ pj (x j y) = 0, ESLI p (y) = 0.tOGDAZP( 2 B j = y) = pj (x j y)dx; B 2 B1IBE( j = y) =+Z1;1xpj (x j y)dx:lEKCIQ485.25spisok literatury1) v.
nEW<, mATEMATI^ESKIE oSNOWY tEORII wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, mIR, 1969, gLAWA 4 < 3.2) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989, gLAWA 1 < 3 I < 8, gLAWA 2 < 7.3) m. lO\W, tEORIQ wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1962, ~ASTX 4 gLAWA 7.lEKCIQ 6pONQTIE STATISTI^ESKOJ STRUKTURY, WWODIMOE W lEKCII, IGRAET W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE TAKU@ VE ROLX, ^TO I WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO W TEORII WEROQTNOSTEJ. w ^ASTNOSTI, OTNOSITELXNO WYBORAISHODNOJ STATISTI^ESKOJ STRUKTURY SPRAWEDLIWY TE VE ZAME^ANIQ, ^TOI OTNOSITELXNO WYBORA TOGO ILI INOGO WEROQTNOSTNOGO PROSTRANSTWA WTEORII WEROQTNOSTEJ.w lEKCII DA@TSQ OSNOWNYE OPREDELENIQ MATEMATI^EKOJ STATISTIKI,ISPOLXZUEMYE W DALXNEJ[EM.6.1statisti~eskie struktury6.1.1. pUSTX P { SEMEJSTWO WEROQTNOSTNYH MER (RASPREDELENIJ) NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; F ).
sTATISTI^ESKOJ STRUKTUROJ NAZYWAETSQ TROJKA (X ; F ; P ).pROSTRANSTWO X IMEET SMYSL PROSTRANSTWA NABL@DENIJ (W DALXNEJ[EM,KAK PRAWILO, MY BUDEM S^ITATX X Rm ; m 1), TO ESTX IMEETSQ SLU^AJNYJ \LEMENT X = X (!) SO ZNA^ENIQMI W X , ZADANNYJ NA WEROQTNOSTNOMPROSTRANSTWE (; A) I QWLQ@]IJSQ A ; F { IZMERIMYM. pRI \TOM PREDPOLAGAETSQ, ^TO RASPREDELENIE NEIZWESTNO, NO PRINADLEVIT SEMEJSTWU P .oSNOWNAQ ZADA^A MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI SOSTOIT W TOM, ^TOBY PO NABL@DENI@ = SDELATX WYWODY ILI "OCENITX" RASPREDELENIE PX SLU^AJNOGO\LEMENTA . ~ASTO S^ITA@T SEMEJSTWO P PARAMETRIZOWANNYM, TO ESTX IME@]IM WIDP = fP ; 2 g; Rk ;I PREDPOLAGA@T, ^TO OTOBRAVENIEoPREDELENIE ;! P49lEKCIQ506IN_EKTIWNO, TO ESTX OBLADAET SWOJSTWOM1 6= 2 =) 9 A 2 F : P1 6= P2 :tAKIE STATISTI^ESKIE STRUKTURY NAZYWA@TSQ OTDELIMYMI ILI IDENTIFICIRUEMYMI.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
