В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 2
Текст из файла (страница 2)
|TI \LEMENTY NAZYWA@TSQ \LEMENTARNYMISOBYTIQMI, A MNOVESTWO NAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM \LEMENTARNYH SOBYTIJ.pUSTX A { NEKOTOROE MNOVESTWO PODMNOVESTW PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH SOBYTIJ , OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:(a) 2 A,(b) ESLI A 2 A, TO Ac 2 A,(c) ESLI Ai 2 A; i = 1; 2; ; TO I1[i=1Ai 2 A;1\i=1Ai 2 A:mNOVESTWO A NAZYWAETSQ { ALGEBROJ SOBYTIJ, ILI BORELEWSKIM POLEM SOBYTIJ, A EGO \LEMENTY NAZYWA@TSQ IZMERIMYMI MNOVESTWAMIILI SOBYTIQMI.mNOVESTWO WMESTE S { ALGEBROJ EGO PODMNOVESTW NAZYWAETSQ IZMERIMYM PROSTRANSTWOM I OBOZNA^AETSQ (; A).1112lEKCIQ1o^EWIDNYM OBRAZOM SISTEMY MNOVESTWA = f;; g; A = fA : A g ()QWLQ@TSQ { ALGEBRAMI.
pRI \TOM A { TRIWIALXNAQ, SAMAQ "BEDNAQ" { ALGEBRA, A A { SAMAQ "BOGATAQ" { ALGEBRA, SOSTOQ]AQ IZ WSEHPODMNOVESTW .s^<TNO-ADDITIWNAQ MERA P, OPREDEL<NNAQ NA A I NORMIROWANNAQ USLOWIEM P() = 1, NAZYWAETSQ WEROQTNOSTNOJ MEROJ ILI WEROQTNOSTX@. zNA^ENIE P(A) NAZYWAETSQ WEROQTNOSTX@ SOBYTIQ A. tROJKA(; A; P) NAZYWAETSQ WEROQTNOSTNYM PROSTRANSTWOM.2) (X ; B) { IZMERIMOE PROSTRANSTWO, GDE X { NEKOTOROE MNOVESTWO I B{ { ALGEBRA EGO PODMNOVESTW.3) oTOBRAVENIE (FUNKCIQ) X = X (!) WIDAX : 7;! XNAZYWAETSQ IZMERIMYM (A { IZMERIMYM), ESLIX ;1(B ) 2 A DLQ WSEH B 2 B;GDE X ;1(B ) { POLNYJ PROOBRAZ MNOVESTWA B ,X ;1 (B ) = f! : X (!) 2 B g:kLASS MNOVESTW WIDAAX = fX ;1 (B ) : B 2 Bg ANAZYWAETSQ { ALGEBROJ, POROVD<NNOJ X .
qSNO, ^TO SWOJSTWO IZMERIMOSTI ZAWISIT OT { ALGEBRY A.4) iZMERIMAQ FUNKCIQ X NAZYWAETSQ SLU^AJNYM \LEMENTOM (SLU^AJNYM\LEMENTOM SO ZNA^ENIQMI W X ). dEJSTWITELXNAQ (X = R1 , B { BORELEWSKAQ { ALGEBRA, TO ESTX NAIMENX[AQ { ALGEBRA, SODERVA]AQWSE INTERWALY) KONE^NAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ SLU^AJNOJWELI^INOJ. pROSTEJ[IM PRIMEROM SLU^AJNOJ WELI^INY QWLQETSQ INDIKATOR 1A(!) L@BOGO MNOVESTWA A 2 A(1A (!) = 10;; !! 22= AA ; A 2 A:1.1.sLU^AJNYE WELI^INY13dRUGIM PRIMEROM SLU^AJNOJ WELI^INY SLUVIT DISKRETNAQ SLU^AJNAQWELI^INA, PRINIMA@]AQ NE BOLEE ^EM S^<TNOE MNOVESTWO RAZLI^NYHZNA^ENIJ fx1 ; x2 ; : : :g. o^EWIDNO, ^TO SOBYTIQ Ai = f! : X (!) = xig NEPERESEKA@TSQ I Si Ai = (WS@DU DALEE BUDEMOBOZNA^ATX OB_EDINENIENEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW SIMWOLOM P, TO ESTXX[C = Ai () C = Ai; Ai \ Aj = ;; i 6= j ):pUSTXiiP(Ai ) = P(X = xi ) = pi :nABOR WEROQTNOSTEJ fpi g I ^ISLA fxig NAZYWA@TSQ RASPREDELENIEM DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X .
oNO POLNOSTX@ OPREDELQET WEROQTNOSTX POPADANIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X W L@BOE BORELEWSKOE MNOVESTWO B 2 BXP(X 2 B ) =pi :i:xi 2BsLEDUET OTMETITX, ^TO DLQ L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA B 2 BTREBOWANIE IZMERIMOSTI POZWOLQET GOWORITX O WEROQTNOSTQH SOBYTIJWIDA f! : X (!) 2 B g SOSTOQ]IH W TOM, ^TO ZNA^ENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY PRINADLEVAT NEKOTOROMU BORELEWSKOMU MNOVESTWU B . pO\TOMUMOVNO GOWORITX O WEROQTNOSTNOJ MERE PX , OPREDEL<NNOJ NA MNOVESTWEWSEH BORELEWSKIH MNOVESTW B S POMO]X@ RAWENSTWAPX (B ) = P(! : X (!) 2 B ); B 2 B:|TA WEROQTNOSTNAQ MERA NAZYWAETSQ RASPREDELENIEM SLU^AJNOJ WELI^INY X . w DALXNEJ[EM MY ^ASTO BUDEM ISPOLXZOWATX BOLEE KOROTKOEOBOZNA^ENIE P(X 2 B ) WMESTO P(! : X (!) 2 B ).
tAKIM OBRAZOM WSQKAQSLU^AJNAQ WELI^INA X POROVDAET NOWOE WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO(R1 ; B; PX ).5) sLU^AJNAQ \LEMENT X INDUCIRUET NA PROSTRANSTWE (X ; B) WEROQTNOSTNU@ MERU PX , NAZYWAEMU@ RASPREDELENIEM SLU^AJNOGO \LEMENTAX , WIDAPX (B ) = P(X ;1 (B )); B 2 B:6) pUSTX X = R1 , RASSMOTRIM WEROQTNOSTI P(X 2 B ) W SLU^AE, KOGDAMNOVESTWA B ESTX INTERWALY (;1; x), TO ESTX PUSTX B = (;1; x).pOLOVIM W \TOM SLU^AEFX (x) F (x) = P(X < x):lEKCIQ141fUNKCIQ F (x) OPREDELENA DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO x I NAZYWAETSQFUNKCIEJ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X .
eSLI X { DISKRETNAQSLU^AJNAQ WELI^INA, DLQ KOTOROJ P(X = xi ) = pi, TOXFX (x) =pi:i:xi <xfUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) PROIZWOLXNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:(a) F (x) NE UBYWAET I NEPRERYWNA SLEWA,(b) limx!;1 F (x) = 0,(c) limx!+1 F (x) = 1.wERNO I OBRATNOE: L@BAQ FUNKCIQ F (x), UDOWLETWORQ@]AQ \TIM TR<MUSLOWIQM, QWLQETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ NEKOTOROJ SLU^AJNOJ WELI^INY, OPREDEL<NNOJ NA NEKOTOROM WEROQTNOSTNOM PROSTRANSTWE.sPRAWEDLIWO SLEDU@]EEuTWERVDENIE 1.1.1. fUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) IMEET SAMOE BOLX[EE KONE^NOE ^ISLO TO^EK, SKA^OK W KOTORYH BOLX[E ILI RAWEN > 0I, SLEDOWATELXNO, SAMOE BOLX[EE S^TNOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA. pROIZWODNAQ F 0 (x) FUNKCII F (x) SU]ESTWUET DLQ PO^TI WSEH ZNA^ENIJx.F (x) WSEGDA MOVET BYTX EDINSTWENNYM OBRAZOM PREDSTAWLENA W WIDE SUMMY TRH KOMPONENT:F (x) = a1 F1 (x) + a2 F2 (x) + a3 F3 (x);GDE a1 ; a2; a3 { NEKOTORYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA, SUMMA KOTORYHRAWNA EDINICE, A F1 (x); F2 (x); F3 (x) { FUNKCII RAPREDELENIQ, TAKIE,^TO: F1 (x) ABSOL@TNO NEPRERYWNA, TO ESTXF1 (x) =xZ;1F10 (t)dt; DLQ WSEH x;(POD INTEGRALOM PONIMAETSQ INTEGRAL lEBEGA),F2 (x) { STUPEN^ATAQ FUNKCIQ RASPREDELENI, RAWNAQ SUMME SKA^KOWFUNKCII RASPREDELENIQ F (x) WO WSEH TO^KAH RAZRYWA MENX[IH x;F3 (x) { SINGULQRNAQ KOMPONENTA, TO ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, PROIZWODNAQ KOTOROJ PO^TI WS@DU RAWNA NUL@.1.1.sLU^AJNYE WELI^INY15rASMOTRIM, W ^ASTNOSTI, SLU^AI, KOGDA a1 ILI a2 RAWNY EDINICE, TAK^TO F (x) SOWPADAET S F1 (x) ILI F2 (x).
|TI SLU^AI ^A]E WSEGO WSTRE^A@TSQ W PRILOVENIQH. w PERWOM SLU^AE RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X BUDEM NAZYWATX ABSOL@TNO NEPRERYWNYM (MOVNO POKAZATX,^TO RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X ABSOL@TNO NEPRERYWNO, ESLI P(X 2 B ) = 0 DLQ L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA B 2 B NULEWOJLEBEGOWOJ MERY), PROIZWODNAQ pX (x) p(x) = F 0(x) NAZYWAETSQ W \TOMSLU^AE PLOTNOSTX@ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X . mY BUDEM GOWORITX O PLOTNOSTI RASPREDELENIQ TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA\TO RASPREDELENIE ABSOL@TNO NEPRERYWNO. wO WTOROM SLU^AE, KOGDAa2 = 1 RASPREDELENIE X ILI SAMA SLU^AJNAQ WELI^INA X NAZYWA@TSQDISKRETNYMI. w \TOM SLU^AE SU]ESTWUET KONE^NOE ILI S^<TNOE MNOVESTWO X TO^EK DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ, TAKOE, ^TO P(X 2 X) = 1.eSLI X { SLU^AJNAQ WELI^INA S DISKRETNYM RAPREDELENIEM I P(X =x) > 0, TO ^ISLO x NAZYWAETSQ WOZMOVNYM ZNA^ENIEM SLU^AJNOJ WELI^INY X .
sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET RE[ET^ATOE RASPREDELENIE,ESLI S WEROQTNOSTX@ EDINICA ONA PRINIMAET ZNA^ENIQ WIDA b + nh; n =0; 1; 2; : : :, GDE b I h > 0 { FIKSIROWANNYE ^ISLA. ~ISLO h NAZYWATSQ[AGOM RAPREDELENIQ. eSLI NI PRI KAKIH b1 I h1 > h ZNA^ENIQ, PRINIMAEMYE SLU^AJNOJ WELI^INOJ X S WEROQTNOSTX@ EDINICA, NE MOGUTBYTX PREDSTAWLENY W WIDE b1 + nh1; n = 0; 1; 2; : : :, TO [AG h NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM.oSOBENNO WAVNU@ ROLX IGRA@T TRI DISKRETNYH RAPREDELENIQ { WYROVDENNOE, BINOMIALXNOE I PUASSONOWSKOE, I DWA ABSOL@TNO NEPRERYWNYH RASPREDELENIQ { NORMALXNOE RASPREDELENIE I RAWNOMERNOE RASPREDELENIE.(a) wYROVDENNOE RAPREDELENIE. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEETWYROVDENNOE RAPREDELENIE, SOSREDETO^ENNOE W TO^KE a 2 R1, ESLIP(X = a) = 1:(1:1:1)fUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) RAWNA NUL@ PRI x a I RAWNAEDINICE PRI x > a.
wYROVDENNOE RASPREDELENIE OPISYWAET NESLU^AJNYE WELI^INY.(b) bINOMIALXNOE RAPREDELENIE. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEETBINOMIALXNOE RAPREDELENIE S PARAMETRAMI (n; p); 0 < p < 1; n lEKCIQ1611, ESLI!n pk (1 ; p)n;k ; k = 0; 1; : : : ; n:P(X = k) =(1:1:2)k|TOT FAKT MY BUDEM OBOZNA^ATX W WIDEX B(n; p):fUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) RAWNA NUL@ PRI x 0, RAWNA EDINICE PRI x > n I RAWNAlXk=1!n pk (1 ; p)n;k ;kPRI l < x l + 1. bINOMIALXNOE RASPREDELENIE OPISYWAET SLU^AJNYJ \KSPERIMENT SOSTOQ]IJ IZ n NEZAWISIMYH ISPYTANIJ SWEROQTNOSTX@ p NASTUPLENIQ NEKOTOROGO SOBYTIQ W OTDELXNOM ISPYTANII.
tOGDA RASPREDELENIE OB]EGO ^ISLA NASTUPLENIJ \TOGOSOBYTIQ W \KSPERIMENTE QWLQETSQ BINOMIALXNYM S PARAMETRAMIn I p.(c) rASPREDELENIE pUASSONA. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET RAPREDELENIE pUASSONA S PARAMETRAM > 0, ESLIkP(X = k) = e; ; k = 0; 1; : : :(1:1:3)k!oBOZNA^ENIE:X P ():rASPREDELENIE pUASSONA DA<T HORO[U@ APPROKSIMACI@ BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ DLQ BOLX[IH n I MALYH ZNA^ENIJ p (SLU^AJ REDKIH SOBYTIJ).(d) nORMALXNOE RAPREDELENIE. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET NORMALXNOE RAPREDELENIE S PARAMETRAM (; ); 2 R1; > 0, ESLIONA IMEET PLOTNOSTX WIDAp(x) = p1 expf;(x ; )2 =22 g: 2oBOZNA^IM \TO KAKX N (; 2 ):(1:1:4)1.1.sLU^AJNYE WELI^INY17nORMALXNU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ I PLOTNOSTX S PARAMETRAMI(0; 1) WS@DU W DALXNEJ[EM BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ (x) I '(x) INAZYWATX STANDARTNYMI.
tAKIM OBRAZOMZ x'(x) = p1 expf;x2=2g; (x) ='(t)dt:(1:1:5)2;1fUNDAMENTALXNAQ ROLX, KOTOROE IGRAET NORMALXNOE RASPREDELENIE, OB_QSNQETSQ TEM, ^TO PRI [IROKIH PREDPOLOVENIQH SUMMYSLU^AJNYH WELI^IN S ROSTOM ^ISLA SLAGAEMYH WEDUT SEBQ ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNO.(e) rAWNOMERNOE RASPREDELENIE. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEETRAWNOMERNOE RAPREDELENIE NA OTREZKE [a; b], ESLI ONA IMEET PLOT-NOSTX WIDAp(x) =oBOZNA^IM \TO KAK((b ; a);1 ; x 2 [a; b];0;x 2= [a; b]:(1:1:6)X R(a; b):rAWNOMERNOE RASPREDELENIE ESTESTWENNO WOZNIKAET W SLU^AQH POLNOGO OTSUTSTWIQ INFORMACII ILI PRI NALI^II SIMMETRII.7) rASSMOTRIM NEKOTOROE IZMERIMOE PROSTRANSTWO (F ; C ) I B { IZMERIMU@ FUNKCI@ T = T (x) SO ZNA^ENIQMI W F ,T : X 7;! F :tOGDA SUPERPOZICIEJ FUNKCIJ T I X NAZYWAETSQ FUNKCIQ(!) = T (X (!)):pRI \TOM \TA FUNKCIQ QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ SO ZNA^ENIQMIW F . oBOZNA^IM E< RASPREDELENIE ^EREZP (C ) = P(;1 (C )); C 2 C :8);1 (C ) = X ;1 (T ;1 (C ));P (C ) = P(;1 (C )) = P(X ;1 (T ;1 (C ))) = PX (T ;1 (C )); C 2 C ;TO ESTX, ESLI IZWESTNO RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X I FUNKCIQ T (x), TO IZWESTNO I RASPREDELENIE T (X ).lEKCIQ1819) sPRAWEDLIWO SLEDU@]EEuTWERVDENIE 1.1.2 ([1], STR.
60, pREDLOVENIE 2.2.5). pUSTX AXA ESTX { PODALGEBRA { ALGEBRY A, POROVDENNAQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ X . dLQ TOGO, ^TOBY SLU^AJNAQ WELI^INA Y OPREDELENNAQ NA(; A) BYLA AX { IZMERIMOJ, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY YMOVNO BYLO PREDSTAWITX W WIDEY = f ( X );GDE f (x) { IZMERIMAQ FUNKCIQ OTOBRAVA@]AQ R1 W SEBQ.1.2spisok literatury1) v. nEW<, mATEMATI^ESKIE oSNOWY tEORII wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, mIR, 1969, gLAWY 1 { 2.2) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989, gLAWY 1 { 2.3) m. lO\W, tEORIQ wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1962, ~ASTX 1, gLAWA 1; ~ASTX 2,gLAWA 4.4) i.p. nATANSON, tEORIQ fUNKCIJ wE]ESTWENNOJ pEREMENNOJ,mOSKWA, nAUKA, 1974, gLAWY 8 { 9.lEKCIQ 2w lEKCII PRIWODITSQ BEZ DOKAZATELXSTWA OSNOWNAQ SHEMA POSTROENIQ INTEGRALA lEBEGA.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
