В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 4
Текст из файла (страница 4)
iSPOLXZUQ\TOT FAKT, POLU^AEM SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLENIE DLQ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJf (x) = a1 f1 (x) + a2 f2(x) + a3 f3(x);(3:1:5)GDE KAVDYJ ^LEN SODERVIT HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ SOOTWETSTWU@]EJ KOMPONENTY F (x). rASSMOTRIM TEPERX W OTDELXNOSTI POWEDENIE KAVDOGO IZ \TIH TR<H ^LENOW.(a) tAK KAK F1 (x) ABSOL@TNO NEPRERYWNA, TOf1 (t) =+Z1;1eitx F10 (x)dxI, SLEDOWATELXNO PO tEOREME rIMANA-lEBEGAf1(t) ! 0 PRI jtj ! 1:(3:1:6)eSLI DLQ WSEH x SU]ESTWUET ABSOL@TNO INTEGRIRUEMAQ n-Q PROIZWODNAQ F1(n) (x), TO INTEGRIRORWANIEM PO ^ASTQM NESLOVNO POKAZATX, ^TO POWEDENIE f1(t) NA BESKONE^NOSTI OPISYWAETSQ SOOTNO[ENIEMf1 (t) = O jtjn1;1 PRI t ! 1:(3:1:7)(b) eSLI ^EREZ xk I pk ; k = 1; 2; : : : OBOZNA^ITX SOOTWETSTWENNO TO^KIRAZRYWA I WELI^INY SKA^KOW FUNKCII RASPREDELENIQ F (x) W \TIHTO^KAH, TO1Xa2f2 (t) = pk eitxk :k=1lEKCIQ303|TO WYRAVENIE PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU ABSOL@TNO SHODQ]EGOSQ TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA Ilim sup jf2 (t)j = 1:(3:1:8)jtj!1(c) hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ f3 (t) QWLQETSQ HARAKTERISTI^ESKOJFUNKCIEJ NEPRERYWNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ F3 (x), IME@]EJPROIZWODNU@, PO^TI WS@DU RAWNU@ NUL@.
pRI \TOM f3(t) MOVETNE STREMITXSQ K NUL@ PRI jtj ! 1.tAKIM OBRAZOM SPRAWEDLIWO SLEDU@]EEuTWERVDENIE 3.1.1. eSLI W PREDSTAWLENII FUNKCII RASPREDELENIQF (x) W WIDE SUMMY TREH KOMPONENT (SM. uTWERVDENIE 1.1.1), a1 > 0,TOlim sup jf (t)j < 1:jtj!1oTS@DA SLEDUET, ^TO DLQ jtj " > 0jf (t)j < q" < 1;PRI L@BOM SKOLX UGODNO MALOM " > 0.eSLI a1 = 1, TOlim f (t) = 0:jtj!1eSLI a2 = 1, TOlim sup jf (t)j = 1:jtj!1dLQ L@BOJ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII f (t) SPRAWEDLIWO RAWENSTWO1limT !1 2TTZ;Tjf (t)j2 dt =1Xk=1p2k ;GDE pk WELI^INY SKA^KOW FUNKCII RASPREDELENIQ F (x) WO WSEH EE TO^KAH RAZRYWA xk ; k = 1; 2; : : :sPRAWEDLIWO TAKVE SLEDU@]EE UTWERVDENIE.uTWERVDENIE 3.1.2.
eSLI f (t) { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ TAKAQ, ^TOjf (t)j q < 1 PRI jtj c; c > 0;3.1.hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII31TO PRI jtj < c SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOn2 o2jf (t)j 1 ; (1 ; q2 ) 8tc2 exp ;(1 ; q2) 8tc2 :pRI MALYH t POWEDENIE f (t) OPISYWAETSQ SLEDU@]IM NERAWENSTWOM.uTWERVDENIE 3.1.3. pUSTX f (t) { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NEKOTOROGO NEWYROVDENNOGO RAPREDELENIQ. tOGDA SU]ESTWU@T TAKIE > 0 I > 0, ^TOjf (t)j 1 ; t2 ; PRI jtj :3) sLU^AJNAQ WELI^INA X I E< RASPREDELENIE NAZYWA@TSQ SIMMMETRI^NYMI, ESLI FUNKCII RASPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN X I ;X SOWPADA@T, TO ESTX, ESLIX =d ;X:eSLI X { SIMMETRI^NAQ SLU^AJNAQ WELI^INA I f (t) E< HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ, TOf (t) = EeitX = Ee;itX = f (;t) = f(t):tAKIM OBRAZOM HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SIMMETRI^NOJ SLU^AJNOJWELI^INY WSEGDA DEJSTWITELXNA.eSLI U SLU^AJNOJ WELI^INY X SU]ESTWUET MOMENT k = EX k NEKOTOROGO CELOGO PORQDKA k 1, TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ \TOJSLU^AJNOJ WELI^INY DIFFERENCIRUEMA k RAZ I, KROME TOGO, SPRAWEDLIWO SOOTNO[ENIEfX(k)(0) = ik k = ik EX k :(3:1:9)iSPOLXZUQ FORMULU tEJLORA, MOVNO POKAZATX, ^TO ESLI SLU^AJNAQ WELI^INA X S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ fX (t) IMEET MOMENT k =EX k NEKOTOROGO CELOGO PORQDKA k 1, TO SPRAWEDLIWO RAZLOVENIEkXfX (t) = 1 + j !j (it)j + o (jtjk ); t ! 0:(3:1:10)j =1dLQ DOSTATO^NO MALYH ZNA^ENIJ t GLAWNAQ WETWX log fX (t), KOTORAQSTREMITSQ K NUL@ WMESTE S t, PREDSTAWIMA W WIDEkXlog fX (t) = j j! (it)j + o (jtjk ); t ! 0:(3:1:11)j =1lEKCIQ323PRI \TOM KO\FFICIENTY fj (X ) j ; j = 1; 2; : : :g NAZYWA@TSQ KUMULQNTAMI ILI SEMIINWARIANTAMI SLU^AJNOJ WELI^INY X .
sEMIINWARIANTY OPREDELQ@TSQ TAKVE PO FORMULEj = i1j l(j ) (0); GDE l(t) = log fX (t):(3:1:12)dLQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S PROIZWOLXNYMI PARAMETRAMI SEMIINWARIANTY WSEH PORQDKOW, NA^INAQ S TRETXEGO, RAWNY NUL@. dLQ RASPREDELENIQ pUASSONA S PARAMETROM SEMIINWARIANTY WSEH PORQDKOWRAWNY .iZ FORMALXNOGO TOVDESTWA11 Xjjlog 1 + j ! (it) = j j! (it)jj =1j =1X!MOVNO POLU^ITX SLEDU@]U@ FORMULU, SWQZYWA@]U@ SEMIINWARIANTs PROIZWOLXNOGO PORQDKA s S MOMENTAMI 1 ; : : : ; ss 1 miXYm+:::+m;1s1s = s! (;1)(m1 + : : : + ms ; 1)! m ! i!i : (3:1:13)i=1 izDESX SUMMIROWANIE PROIZWODITSQ PO WSEM CELYM NEOTRICATELXNYMRE[ENIQM URAWNENIQm1 + 2m2 + : : : + sms = s:oTS@DA NESLOVNO POLU^ITX SLEDU@]IE FORMULY1 = EX = 1 ; 2 = DX = 2 ;(3:1:14)3 = 3 ; 4 = 4 ; 322 ; 5 = 5 ; 102 3 ;6 = 6 ; 152 4 ; 1023 + 3032 ;7 = 7 ; 212 5 ; 353 4 + 21022 3 ;8 = 8 ; 282 6 ; 563 5 ; 3524 + 42022 4 + 5602 23 ; 63042 :mOVNO POKAZATX, ^TO DLQ SEMIINWARIANTOW SPRAWEDLIWY NERAWENSTWAjnj nnn; n = 1; 2; : : :(3:1:15)3.1.hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCIIpUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { SLU^AJNYJ WEKTOR SO ZNA^ENIQMI W EWKLIDOWOMPROSTRANSTWE Rn I FUNKCIEJ RASPREDELENIQF (x) = P(X1 < x1; ; Xn < xn); x = (x1 ; ; xn) 2 Rn:hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SLU^AJNOGO WEKTORA X = (X1 ; ; Xn ) OPREDELQETSQ RAWENSTWOMnnXf (t) = E expi=1oti Xi =ZRnexpnnXi=1ti xi dF (x); t = (t1 ; ; tn ) 2 Rn :osWOJSTWA HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ MNOGOMERNYH RASPREDELENIJ ANALOGI^NY SWOJSTWAM HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ SLU^AJNYH WELI^IN.
mOMENTAMI (SME[ANNYMI MOMENTAMI) SLU^AJNOGO WEKTORA X = (X1 ; ; Xn)NAZYWA@TSQ ^ISLA WIDAk1;;kn = EX1k1 Xnkn ;PRI \TOM ^ISLOk = k1 + + knNAZYWAETSQ PORQDKOM MOMENTA. mOMENTY S NATURALXNYMI INDEKSAMI MOVNO OPREDELITX DIFFERENCIROWANIEM HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIIk kk1 ;;kn = (;ki1) @ f (0); 0 2 Rn:kn@t1 @tn33lEKCIQ343.23spisok literatury1) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989, gLAWA 2.2) m. lO\W, tEORIQ wEROQTNOSTEJ,mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1962, ~ASTX 2, gLAWA 4.3) m.dV. kENDALL, a. sTX@ART, tEORIQ rASPREDELENIJ,mOSKWA, nAUKA, 1966, gLAWA 3 { 4.4) e. lUKA^, hARAKTERISTI^ESKIE fUNKCII,mOSKWA, nAUKA, 1979, gLAWA 1 { 4.lEKCIQ 4w lEKCII OPREDELQETSQ PONQTIQ NEZAWISIMOSTI I SLU^AJNOGO PROCESSA.fORMULIRU@TSQ cENTRALXNAQ pREDELXNAQ tEOREMA I zAKON bOLX[IH ~ISEL.4.1nezawisimostx osnownye zakonyteorii weroqtnostej.1) pUSTX X1 = X1 (!); : : : ; Xn = Xn (!) { SLU^AJNYE WELI^INY, OPREDEL<NNYE NA ODNOM I TOM VE WEROQTNOSTNOM PROSTRANSTWE (; A; P), TOGDAWEKTOR Xn = (X1 ; ; Xn ) NAZYWAETSQ SLU^AJNYM WEKTOROM, ILI n {MERNOJ SLU^AJNOJ WELI^INOJ.
oBLASTX@ ZNA^ENIJ SLU^AJNOGO WEKTORA Xn QWLQETSQ n { MERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn . dLQ KAVDOGOBORELEWSKOGO MNOVESTWA B PROSTRANSTWA Rn OPREDELENA WEROQTNOSTXP(Xn 2 B )NAZYWAEMAQ RASPREDELENIEM SLU^AJNOGO WEKTORA Xn. w ^ASTNOSTI, DLQL@BYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL x1 ; : : : ; xn OPREDELENA FUNKCIQF (x1 ; : : : ; xn ) = P(X1 < x1; : : : ; Xn < xn);KOTORAQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ SLU^AJNOGO WEKTORA Xn.2) pUSTX (; A; P) { WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO, I PUSTX Ai 2 A; i =1; 2; : : : ; n. sOBYTIQ A1 ; : : : ; An NAZYWA@TSQ WZAIMNO NEZAWISIMYMI, ESLIkYP(Ai1 \ : : : \ Aik ) = P(Ail )l=13536lEKCIQ4DLQ L@BOGO CELOGO ^ISLA 2 k n I L@BYH CELYH 1 i1 < : : : <ik n.pUSTX (X1 ; ; Xn ) { SLU^AJNYE WELI^INY, OPREDEL<NNYE NA (; A; P).|TI SLU^AJNYE WELI^INY NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI, ESLI WZAIMNONEZAWISIMY SOBYTIQ WIDAf! : X (!) 2 Bk g; k = 1; : : : ; nDLQ L@BYH BORELEWSKIH MNOVESTW B1 ; : : : ; Bn NA DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ. sLU^AJNYE WELI^INY (X1 ; ; Xn ) NEZAWISIMY TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDAnYF (x1 ; : : : ; xn ) = Fk (xk )k=1DLQ L@BYH DEJSTWITELXNYH x1 ; : : : ; xn .
zDESXF (x1 ; : : : ; xn) = P(X1 < x1 ; : : : ; Xn < xn) I Fk (x) = P(Xk < x):pOSLEDOWATELXNOSTX SLU^AJNYH WELI^IN X1; X2 ; : : :, OPREDEL<NNYH NAODNOM I TOM VE WEROQTNOSTNOM PROSTRANSTWE, NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN, ESLI SLU^AJNYE WELI^INY X1; : : : ; Xn NEZAWISIMY PRI L@BOM n.dLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ RASPREDELENIQ F1 (x); F2 (x); : : :SU]ESTWUET WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO (; A; P) I OPREDEL<NNAQ NANEM POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN X1 ; X2 ; : : :TAKAQ, ^TO DLQ L@BOGO n FUNKCIQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INYXn ESTX Fn (x).eSLI X1 ; : : : ; Xn+m { NEZAWISIMYE SLU^AJNYE WELI^INY, h I g { BORELEWSKIE FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W R1 , OPREDEL<NNYE SOOTWETSTWENNO NARn I Rm , TO SLU^AJNYE WELI^INY h(X1 ; : : : ; Xn ) I g(Xn+1 ; : : : ; Xn+m )NEZAWISIMY. eSLI SLU^AJNYE WELI^INY h(X1 ; : : : ; Xn) I g(Xn+1 ; : : : ; Xn+m )IME@T MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ, TOEh(X1 ; : : : ; Xn )g(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ) = Eh(X1 ; : : : ; Xn )Eg(Xn+1 ; : : : ; Xn+m ):w ^ASTNOSTI, ESLI SLU^AJNYE WELI^INY X I Y NEZAWISIMY I U NIHSU]ESTWU@T DISPERSII, TOEXY = EX EY; D(X + Y ) = DX + DY:4.1oSNOWNYE ZAKONY37uTWERVDENIE 4.1.1.
eSLI X I Y { NEZAWISIMYE SLU^AJNYE WELI^INYI FX (x); FY (x) { IH FUNKCII RASPREDELENIQ, A fX (t) I fY (t) { HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII, TO SUMMA X +Y IMEET FUNKCI@ RASPREDELENIQ (NAZYWAEMU@ SWeRTKOJ ILI KOMPOZICIEJ FUNKCIJ RASPREDELENIQFX (x); FY (x)) WIDAFX FY (x) FX +Y (x) == FY FX (x) 1Z;11Z;1FX (x ; y)dFY (y) =FY (x ; y)dFX (y);I HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@fX +Y (t) = fX (t)fY (t):3) sLU^AJNYM PROCESSOM NAZYWAETSQ SEMEJSTWO SLU^AJNYH WELI^IN (t) = (!; t), ZADANNYH NA ODNOM WEROQTNOSTNOM PROSTRANSTWE (; A; P) I ZAWISQ]IH OT PARAMETRA t PRINIMA@]EGO ZNA^ENIQ IZ NEKOTOROGO MNOVESTWA T . oBOZNA^ATX SLU^AJNYJ PROCESS MY BUDEM SIMWOLAMI f(t); t 2T g ILI (t). pOSLEDOWATELXNOSTI NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN X1 ; X2 ; : : :RASSMOTRENNYE WY[E, QWLQ@TSQ SLU^AJNYMI PROCESSAMI, DLQ KOTORYHT = f1; 2; : : :g.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
