В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 26
Текст из файла (страница 26)
|TOT REZULXTAT OZNA^AET, ^TO STATISTIKA T (X ) QWLQETSQ DOSTATO^NOJ DLQ SLU^AQ, ESLI NEIZWESTNYM PARAMETROM QWLQETSQ NEIZWESTNOE SIMMETRI^NOE RASPREDELENIE.12) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RAWNOMERNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi R(0; ); i = 1; 2; ; > 0:lEKCIQ22822dOKAZATX, ^TO8><0;:1;F (x j t) = P (X1 < x j X(n) = t) = >x n;1 ;t nX < 0;0 x t;x > t:wYWESTI OTS@DA, ^TO OPTIMALXNAQ OCENKA DLQ PARAMETRA ESTX1X (X(n) ) = 2E (X1 j X(n) ) = n +n (n)I2 < D (2X ) = 2 ; n > 1:D (X(n) ) =n(n + 2) 3n13) pUSTX STATISTIKA T (X ) NA STATISTI^ESKOJ STRUKTURE (X ; F ; P ) DOSTATO^NA DLQ SEMEJSTWA P . eSLI ONA QWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJSTATISTIKOJ DLQ PODSEMESTWA P 0 P I WSQKOE P 0 { NULEWOE MNOVESTWOQWLQETSQ I P { NULEWYM, TO STATISTIKA T (X ) QWLQETSQ MINIMALXNOJDOSTATO^NOJ STATISTIKOJ I DLQ SEMEJSTWA P .14) eSLI NABL@DENIE X IMEET BINOMIALXNOE RASPREDELENIEX B(n; ); 2 (0; 1);TO DLQ RISKA SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (L(; ) = j ; j)n ; 1 k (1 ; )n;k+1 PRI k ; 1 k :E jX=n ; j = 2k;1nn!15) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEKORRELIROWANNYE NABL@DENIQ S OB]IMMATEMATI^ESKIM OVIDANIEM I DISPERSIEJ2 .
dOKAZATX, ^TO SREDInPWSEH LINEJNYH OCENOK DLQ WIDA i Xi, UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO-[ENI@nPi=1i = 1, OCENKA X = n1nPi=1Xii=1IMEET NAIMENX[U@ DISPERSI@.16) dOKAZATX, ^TO EDINSTWENNAQ BAJESOWSKAQ OCENKA QWLQETSQ DOPUSTIMOJ.17) dOKAZATX, ^TO EDINSTWENNAQ MINIMAKSNAQ OCENKA QWLQETSQ DOPUSTIMOJ.22.1.18) pUSTXtOGDA, ESLIzADA^Iminr(; Q) < 1: = f1 ; 2 ; g I Q( = i ) > 0; i = 1; 2; 19)20)21)22)229ILI Rk I FUNKCIQ RISKA R(; ) NEPRERYWNA PO 2 DLQ L@BOJOCENKI (X ) I APRIORNOE RASPREDELENIE Q IMEET STROGO POLOVITELXNU@ PLOTNOSTX, TO BAJESOWSKAQ OCENKA Q(X ) DOPUSTIMA.pUSTXX B(; 1); = [1=3; 2=3]:dOKAZATX, ^TO OCENKA (X ) = 4=9 1f0g (X ) + 5=9 1f1g (X )QWLQETSQ MINIMAKSNOJ.pUSTX X = (X1 ; X2 ), GDE Xi ; i = 1; 2 { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQ, IME@]IE PLOTNOSTX2p (x) = 3x3 1(0;) (x)I = = (0; 1); L(; ) = ( ; )2 :dOKAZATX, ^TO OCENKI1 (X ) = 2=3 (X1 + X2 ); 2 (X ) = 7=6 max(X1 ; X2 )QWLQ@TSQ NESME]<NNYMI OCENKAMI PARAMETRA .
nAJTI I SRAWNITXRISKI \TIH OCENOK.pUSTX Q(X ) ESTX BAJESOWSKAQ (SOOTWETSTWENNO OPTIMALXNAQ, MINIMAKSNAQ, DOPUSTIMAQ) OCENKA DLQ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g() PRIKWADRATI^NOJ FUNKCII POTERX. tOGDA OCENKA aQ(X ) + b; a; b 2 R1QWLQETSQ BAJESOWSKOJ (SOOTWETSTWENNO OPTIMALXNOJ, MINIMAKSNOJ, DOPUSTIMOJ) DLQ FUNKCII ag() + b.pUSTX (X ) { OCENKA DLQ PARAMETRA 2 PRI KWADRATI^NOJ FUNKCIIPOTERX. tOGDA OCENKA aQ(X ) + b; a; b 2 R1 QWLQETSQ NEDOPUSTIMOJOCENKOJ DLQ , ESLI TOLXKO a > 1 ILI a < 0 ILI a = 1; b 6= 0.lEKCIQ2302223) eSLI OCENKA IMEET POSTOQNNYJ RISK I DOPUSTIMA, TO ONA MINIMAKSNA.24) pUSTX (X ) ESTX MINIMAKSNAQ OCENKA DLQ g(), KOGDA 2 .tOGDA, ESLIsup R(; ) = sup R(; );22TO (X ) MINIMAKSNA TAKVE DLQ g() I TOGDA, KOGDA 2 .25) pUSTX SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX APRIORNYH RASPREDELENIJ fQn gNA I OCENKA (X ) TAKIE, ^TOZsup R(; ) lim sup R(; Qn )dQn ():n!12tOGDA (X ) { MINIMAKSNAQ OCENKA.26) pUSTX NABL@DENIE X IMEET BINOMIALXNOE RASPREDELENIEX B(n; ); 2 = (0; 1)S NEIZWESTNYM PARAMETROM I PUSTX FUNKCIQ POTERX IMEET WID2L(; ) = ((1;;) ) :rASSMOTRIM RAWNOMERNOE APRIORNOE RASPREDELENIE Q NA , TO ESTXPUSTX R(0; 1):dOKAZATX, ^TO EDINSTWENNAQ BAJESOWSKAQ OCENKA Q(X ) DLQ PARAMETRA ESTXQ(X ) = XnI E< BAJESOWSKIJ RISK POSTOQNEN I RAWEN 1=n.27) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ), GDE Xi ; i = 1; ; n NEZAWISIMYE ODINAKOWONORMALXNO RASPREDL<NNYE NABL@DENIQXi N (; 2); i = 1; ; n; > 0:dOKAZATX, ^TO OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ ^(X ) DLQ PARAMETRA ESTXvun1X2^ (X ) = ut1 +n Xi ; 1:i=1dOKAZATX SOSTOQTELXNOSTX \TOJ OCENKI.22.1.zADA^I23128) pUSTX C (X ) { DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ PARAMETRA I jC (X )j {EGO DLINA.
dOKAZATX, ^TOE0 jC (X )j =ZP0 ( 2 C (X )) d:29) rASPREDELENIE NABL@DENIQ X WIDAxp (x) = P (X = x) = aC(x()) ; x = 0; 1; 2; ; a(x) 0; > 0;NAZYWAETSQ RASPREDELENIEM STEPENNOGO RQDA. dOKAZATX, ^TO BINOMIALXNOE, OTRICATELXNO BINOMIALXNOE I RASPREDELNIE pUASSONA ESTX RASPREDELENIQ STEPENNOGO RQDA.30) dOKAZATX, ^TO RASPREDELENIE STEPENNOGO RQDA PRINADLEVIT \KSPONENCIALXNOMU SEMEJSTWU I DLQ PROIZWODQ]EJ FUNKCII MOMENTOW SPRAWED-LIWO RAWENSTWOs):M (s) = E esX = CC(e()31) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQ, PRI^<M RASPREDELNIE Xi; i = 1; ; n QWLQETSQ RASPREDELENIEMnSTEPENNOGO RQDA.
dOKAZATX, ^TO RASPREDELENIE STATISTIKIT (X ) = P Xi TAKVE QWLQETSQ RASPREDELENIEM STEPENNOGO RQDA Ii=1xp (t) = P (T (X ) = t) = AC(t;nn()) ;t = 0; 1; 2; ;GDE A(t; n) { KO\FFICIENTY PRI t W RAZLOVENII C n() W STEPENNOJRQD. dOKAZATX TAKVE, ^TO T (X ) { POLNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA.32) w USLOWIQH PREDYDU]EJ ZADA^I DOKAZATX, ^TO OPTIMALXNYE OCENKI DLQPARAMETRI^ESKIH FUNKCIJg() = r ; r 2 N; g() = P (X1 = x)SOOTWETSTWENNO IME@T WID(0;T = 0; 1; ; r ; 1; (T ) = A(T ;r;n) ; T r;A(T;n); x; n ; 1) : (T ) = a(x)A(AT(T;n)lEKCIQ2322233) pUSTX NABL@DENIE X IMEET PLOTNOSTX (OTNOSITELXNO MERY ) p (x),KOTORAQ POLOVITELXNA PRI WSEH x I PUSTX Q1 I Q2 { DWA RASPREDELENIQ NA DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ S KONE^NYMI PERWYMI MOMENTAMI.dOKAZATX, ^TO DLQ DISPERSII L@BOJ NESME]<NNOJ OCENKI (X ) PARA-METRA SPRAWEDLIWO NERAWENSTWORD (X )GDE(x; ) = p 1(x)ZA!2x dQ1(x) ; x dQ2 (x)R;2 (x; )p (x) d (x)Rp+y (x) (dQ1 (y) ; dQ2 (y)); 2 ;A = fy : + y 2 g:34) pUSTX Tn (Xn ); Un (Xn ), Vn (Xn ); n = 1; 2; { POSLEDOWATELXNOSTI STATISTIK TAKIE, ^TOPnPnUn (Xn ) ;!1; Vn (Xn ) ;!0; 2 ; n ! 1IP (Tn (Xn ) < x) ! G (x)n ! 1; 2 W KAVDOJ TO^KE NEPRERYWNOSTI x FUNKCII RASPREDELENIQ G (x).
dOKAZATX, ^TO IP (Tn (Xn )Un (Xn ) + Vn (Xn ) < x) ! G (x)n ! 1; 2 W KAVDOJ TO^KE NEPRERYWNOSTI x FUNKCII RASPREDELENIQ G (x).35) pUSTX D KLASS WSEH OCENOK PARAMETRA 2 PRI KWADRATI^NOJ FUNKCII POTERX PRI USLOWII, ^TO WYPOLNENY USLOWIQ REGULQRNOSTI kRAMERA{ rAO (SM. tEOREMU 11.1.4 I E< sLEDSTWIQ). pREDPOLOVIM, ^TO OCENKA0 (X ) 2 D QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ OCENKOJ, TO ESTXE (0 (X ) ; )2 = C0 ();GDE0C () = b2 () + (1 +I b( ())) ;2 2 ;b () = E (X ) ; :22.1.zADA^I233dOKAZATX, ^TO ESLI DLQ L@BOJ OCENKI (X ) 2 D IZ SOOTNO[ENIQC () C0 ();SLEDUET, ^TOb () b0 ();TO 0 (X ) { DOPUSTIMAQ OCENKA.2 2 ;36) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE NA-BL@DENIQ SIE Xi = ;D Xi = 1; i = 1; ; n = = R1 ; L(; ) = ( ; )2 :dOKAZATX, ^TO PRI \TIH USLOWIQH OCENKA(X ) = X = n1nXi=1XiQWLQETSQ DOPUSTIMOJ I MINIMAKSNOJ.37) dOKAZATX, ^TO DLQ SLU^AQ, KOGDA NABL@DENIE X IMEET RASPREDELENIEpUASSONA, GEOMETRI^ESKOE RASPREDELENIE ILI OTRICATELXNO BINOMIALXNOE RASPREDELENIE S NEIZWESTNYM PARAMETROM 2 , BAJESOWSKAQOCENKA Q(X ), SOOTWETSTWU@]AQ APRIORNOMU RASPREDELENI@ Q, ESTX(UDOBNYJ WID DLQ \MPIRI^ESKOGO BAJESOWSKOGO PODHODA, SM.
lEKCIQ 18)Q (X ) = C (X ) pQp(X(X+)1) ; 2 ;QGDE C (x) { IZWESTNAQ KONSTANTA IZpQ(x) = p (x) dQ():oBOB]ITX \TOT REZULXTAT NA SLU^AJ, ESLI NABL@DENIE X IMEET DISKRETNOE RASPREDELENIE WIDAp (x) = P (X = x) = expfA() + B ()h(x) + q(x)g:23422.2lEKCIQ22spisok literatury1) |. lEMAN, tEORIQ tO^E^NOGO oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1991.2) |. lEMAN, pROWERKA sTATISTI^ESKIH gIPOTEZ,mOSKWA, nAUKA, 1979.3) d. d@GE, tEORETI^ESKAQ I pRIKLADNAQ sTATISTIKA,mOSKWA, nAUKA, 1972.4) a.a. bOROWKOW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, nAUKA, 1984.5) v.{ r.
bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1972.6) g.p. kLIMOW, tEORIQ wEROQTNOSTEJ I mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, iZDATELXSTWO mgu, 1983.7) g.i. iW^ENKO, `.i. mEDWEDEW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, wYS[AQ {KOLA, 1992.8) {. zAKS, tEORIQ sTATISTI^ESKIH wYWODOW,mOSKWA, mIR, 1975.9) i.a. iBRAGIMOW, r.z. hASXMINISKIJ, aSIMPTOTI^ESKAQ tEORIQ OCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1979.10) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
