В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 24
Текст из файла (страница 24)
nAPRIMER, ESLI = [0; +1), TO tEOREMA 20.1.1PRIOBRETAET SLEDU@]IJ WID.tEOREMA 20.2.1 pREDPOLOVIM, ^TO1) dLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO x FUNKCII RASPREDELENIQ F (x; ) NEPRERYWNY PO 2 .2) pREDEL WIDAF+1 (x) = !limF (x; )+1SU]ESTWU@T DLQ WSEH x.3) fUNKCIQ F+1 (x) NE QWLQETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ.4) eSLI Q1 () I Q2 () L@BYE FUNKCII RASPREDELENIQ SOSREDOTO^ENNYENA = [0; +1) I TAKIE, ^TOFQ1 (x) FQ2 (x);TO IQ1() Q2 ():tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX Qn(), OPREDELENNAQ SOOTNO[ENIEM (20.1.9),QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ DLQ KLASSA WSEH APRIORNYH RASPREDELENIJ, SOSREDOTO^ENNYH NA = [0; +1).pRIWED<M PRIMERY ISPOLXZOWANIQ \TOJ tEOREMY.lEKCIQ20820pRIMER 20.2.2.
(RASPREDELENIE pUASSONA) pUSTX = [0; +1) IF (x; 0) =(0; ESLI x < 0;1; ESLI x 0(20:2:5)e; i :0ix i!(20:2:6)I DLQ 0 < < +1 PUSTXF (x; ) =XtOGDA pREDPOLOVENIQ (1), (2) I (3) WYPOLNQ@TSQ.pUSTX Q 2 , TOGDAZFQ (x) = F (x; )dQ() =GDEXZ0ix p (i)dQ();(i = 0;p0 (i) = 10;; ESLIESLIi = 1; 2; I; ip (i) = e i! ;tEPERX(20:2:7)(20:2:8)PRI i = 0; 1; ; 0 < < +1:ZFQ (0) = p (0)dQ(); FQ(n) ; FQ(n ; 1) =Z= p (n)dQ(); n = 1; 2; ;PO\TOMU, ESLITOZ(20:2:9)FQ1 (x) FQ2 (x);Zp (n)dQ1 () = p (n)dQ2 (); n = 0; 1; 2; :oPREDELIM TEPERX FUNKCI@ MNOVESTWRe; dQj ()Hj (B ) = BR e; dQ () ; j = 1; 2; B 2 B1;j(20:2:10)(20:2:11)20.2.pRIMERY209TOGDA Hj () QWLQ@TSQ WEROQTNOSTNYMI MERAMI, OPREDEL<NNYMI NA BORELEWSKIH MNOVESTWAH.
pOSKOLXKU IZ RAWENSTW (20.2.10) SLEDUET, ^TOC=Ze; dQ1 () =Zp (0)dQ1 () =ZZ(20:2:12)= p (0)dQ2 () = e; dQ2 ();TO MY MOVEM ZAPISATXHj (B ) = C1 e; dQj (); j = 1; 2;ZBGDE 0 < C < +1. dALEE, POSKOLXKUdHj () = e; ;dQjCTO DLQ n = 1; 2; I j = 1; 2 IMEEMZZZ1n!n;n dHj () = C e dQj () = C p (n)dQj ();(20:2:13)(20:2:14)(20:2:15)PO\TOMU IZ (20.2.10) SLEDUET, ^TOZZn = ndH1 () = ndH2 (); n = 1; 2; :(20:2:16)bOLEE TOGO, POSKOLXKUe n! =TOIMEEM2n1 + + 2! + + n! + n! n;0 e; n n!;PRI 0 < +1;Z0 n = C1 e; ndQj () nC! ; n = 1; 2; ;(20:2:17)210lEKCIQ20PO\TOMU IMEEM SHODQ]IJSQ RQD WIDA+1 Xn < +1:nn!2n=1oTS@DA PO IZWESTNOJ tEOREME, KASA@]EJSQ PROBLEMY MOMENTOW, POLU^AEM,^TO RASPREDELENIQ H1() I H2() OPREDELQ@TSQ ODNOZNA^NO SWOIMI MOMENTAMI I ZNA^IT TOVDESTWENNY (MOMENTY n ODNOZNA^NO OPREDELQ@T RASPREDELENIE, ESLI RQD+1 snXnnn=1 !SHODITSQ DLQ NEKOTOROGO ZNA^ENIQ s 6= 0 (SM.
[3], STR. 315)). dALEE, POSKOLXKUZdQj ()dH () = Z Ce dH (); j = 1; 2;Qj (B ) = dH(20:2:18)jjjBBTO TOVDESTWENNY I Q1 (), Q2(). tAKIM OBRAZOM pREDPOLOVENIE (4) TAKVEWYPOLNENO.pRIWED<M TEPERX PRIMER, W KOTOROM = (0; +1) I NOLX IGRAET ROLX;1 W tEOREME 20.1.1.pRIMER 20.2.3. (RAWNOMERNOE RASPREDELENIE) dLQ 2 = (0; +1) OPREDELIM FUNKCI@ RASPREDELENIQ RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ8>ESLI x 0;< 0;ESLI 0 < x < ;F (x; ) = > x=;(20:2:19):1;ESLI x :tOGDA(0;ESLI x 0;limF(x;)=(20:2:20)1;ESLI x > 0!0+I PREDELlim F (x; ) 0(20:2:21)!+1NE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI RASPREDELENIQ. iTAK pREDPOLOVENIQ (1), (2) I (3)WYPOLNQ@TSQ.dLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q(), SOSREDOTO^ENNOGO NA , IMEEM PRI x > 0ZZZdQ() : (20:2:22)FQ (x) = F (x; )dQ() =1 dQ() + xf0<xgf>xg20.2.pRIMERYsLEDOWATELXNO, ESLI FQ1 (x) FQ2 (x), TOZdQ1 () = Q (x) + xQ1 (x) + x2f>xg211Zf>xgdQ2 () :(20:2:23)eSLI x QWLQETSQ ODNOWREMENNO TO^KOJ NEPRERYWNOSTI Q1(x) I Q2 (x), TOZdQj () = Qj () +1+ Z Qj () d =(20:2:24) x2f>xgf>xg= ; Qjx(x) +PO\TOMUQj (x) + xZf>xgZf>xgQj () d;2dQj () = xZf>xgQj () d;2I ZNA^IT IZ SOOTNO[ENIQ (20.2.23) SLEDUET, ^TOZQ1() d = Z Q2 () d22f>xgf>xg(20:2:25)(20:2:26)W KAVDOJ TO^KE NEPRERYWNOSTI x > 0 FUNKCIJ RASPREDELENIQ Q1(x) I Q2(x).dIFFERENCIROWANIE PO x DA<T Q1(x) = Q2(x) DLQ WSEH TAKIH TO^EK I ZNA^ITQ1 (x) Q2(x).oDNIM IZ NEDOSTATKOW METODA, OPISANNOGO W tEOREME 20.1.1, POSTROENIQOCENKI NEIZWESTNOGO APRIORNOGO RAPREDELENIQ Q(), QWLQETSQ NEKONSTRUKTIWNOSTX WYBORA OCENKI Qn(), UDOWLETWORQ@]EJ (20.1.9).
mETOD, OPISANNYJ W lEKCII 21 SWOBODEN OT \TOGO NEDOSTATKA, NO SU]ESTWENNO ZAWISIT OTKONKRETNOGO PARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA. w SLEDU@]EJ lEKCII BUDET OPISAN INOJ METOD OCENKI Q() W SLU^AE, ESLI PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ KONE^NYM MNOVESTWOM.21220.3lEKCIQ20spisok literatury1) H. Robbins, The empirical Bayes approach to statistical decision problems,Ann. Math. Statist., 1964, v.35, p. 1{ 20.2) J.S. Maritz, Empirical Bayes Methods,Methuen and Co LTD, London, 1970, Chapter 2.3) a.n. {IRQEW,wEROQTNOSTX, mOSKWA, nAUKA, 1989, gLAWA 3, < 2.4) m. lO\W,tEORIQ wEROQTNOSTI, mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1962, wWODNAQ ~ASTX, 2, < 6.lEKCIQ 21w lEKCII RASSMOTREN METOD OCENKI APRIORNOGO RASPREDELENIQ, SOSREDOTO^ENNOGO W KONE^NOM ^ISLE TO^EK.21.1ocenka apriornogo raspredeleniqkone~nyj slu~aj:pUSTX TEPERX PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO KONE^NO.
bEZ OGRANI^ENIQOB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO ONO IMEET WID = f1; ; rgI APRIORNOE RASPREDELENIE Q() NA ZADA<TSQ WEKTOROMr(q1 ; ; qr ); qi 0; i = 1; ; r;Xi=1qi = 1;^TO MY BUDEM OBOZNA^ATX W WIDEQ = fq1 ; ; qr g:tAKIM OBRAZOMQ( = i) = qi; i = 1; ; r:pREDPOLOVIM TAKVE, ^TO ZADANO IZWESTNOE KONE^NOE SEMEJSTWO RASPREDELENIJ NA XP1 (); ; Pr ()I NABL@DAEMYE NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE SLU^AJNYE WELI^INY (X1 ; ; Xn ) IME@T RASPREDELENIEPQ(X1 2 B ) =ZP (B )dQ() =213rXi=1qiPi (B ):(21:1:1)lEKCIQ21421nA[EJ ZADA^EJ QWLQETSQ POSTROENIE FUNKCIJqi;n = qi;n(x1 ; ; xn )TAKIH, ^TOqi;n 0; i = 1; ; r;rXi=1(21:1:2)qi;n = 1I DLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() NA SPRAWEDLIWO RAWENSTWOP nLim!1 qi;n = qi ; i = 1; ; r = 1:(21:1:3)qSNO, ^TO NEOBHODIMOE USLOWIE DLQ SU]ESTWOWANIQ TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI qi;n IMEET WID(A) eSLIQ = fq1 ; ; qr g I Q = fq1 ; ; qr gDWA APRIORNYH RASPREDELENIQ TAKIH, ^TO DLQ L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA B 2 B1rrXXqi Pi(B ) = qi Pi (B );(21:1:4)i=1i=1TO Q Q .dOKAVEM, ^TO USLOWIE (A) QWLQETSQ TAKVE I DOSTATO^NYM DLQ SU]ESTOWANIQ TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI.oBOZNA^IM ^EREZ () L@BU@ { KONE^NU@ MERU NA X , OTNOSITELXNO KOTOROJ WSE RASPREDELENIQ Pi () QWLQ@TSQ ABSOL@TNO NEPRERYWNYMI I TAKIMI,^TO IH PLOTNOSTIPipi (x) = dd(x); i = 1; ; rKWADRATI^NO INTEGRIRUEMYZXp2i (x)d(x) < +1;i = 1; ; r:mOVNO WSEGDA, NAPRIMER, POLOVITX(B ) = P1 (B ) + + Pr (B );TOGDA0 pi(x) 1B 2 B1 ;(21:1:5)21.1.I ZNA^ITZXp2 (x)d(x)ioCENKA APRIORNOGO RASPREDELENIQZ pi(x)d(x) = 1; i = 1; ; r:X215(21:1:6)tEPERX FUNKCII pi(x); i = 1; ; r MOVNO RASSMATRIWATX KAK \LEMENTYGILXBERTOWA PROSTRANSTWA H , POROVD<NNOGO IZMERIMYM PROSTRANSTWOM(X ; B1 ; ).
iZ USLOWIQ (A) SLEDUET, ^TO FUNKCII pi (x); i = 1; ; r LINEJNONEZAWISIMY. pOSKOLXKU, ESLIc1 p1 (x) + + cr pr (x) 0DLQ NEKOTORYH KONSTANT c1 ; ; cr , KOTORYE NE WSE RAWNY NUL@, TO IZMENQQOBOZNA^ENIQ, WSEGDA MOVNO ZAPISATXc1 p1 (x) + + ck pk (x) ck+1pk+1(x) + + cq pq (x);(21:1:7)GDE c1 ; ; cq WSE POLOVITELXNY I 1 q r. iNTEGRIRUQ \TO TOVDESTWOPO WSEMU PROSTRANSTWU X , POLU^IMc1 + + ck = ck+1 + + cq = c > 0(21:1:8)I ZNA^IT DLQ RAZLI^NYH APRIORNYH RASPREDELENIJQ = cc1 ; ; cck ; 0; ; 0 6= Q = 0; ; 0; ckc+1 ; ; ccq(21:1:9)SPRAWEDLIWO SOOTNO[ENIE (21.1.4), ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ (A).pUSTX TEPERX Lj OBOZNA^AET LINEJNOE PROSTRANSTWO, POROVD<NNOE r ; 1FUNKCIEJ p1(x); ; pj;1(x); pj+1 (x); ; pr (x).
tOGDA SPRAWEDLIWO ODNOZNA^NOE PREDSTAWLENIEpj (x) = pj (x) + p~j (x); j = 1; ; r(21:1:10)Spj (x) 2 Lj ; p~j (x) ? Lj ; p~j (x) 6= 0:(21:1:11)pOLAGAQ TEPERXp~j (x)(21:1:12)j (x) = R (~p (x))2 d(x) ;jXPOLU^IMZXj (x)pk (x)d(x) =(1;0;ESLI j = k;ESLI j =6 k:(21:1:13)lEKCIQ216tEPERX OPREDELIMqi;n = n1n21+qi;n(x);q=i li;n Pr + ;qj;nXl=1(21:1:14)j =1GDE a+ OBOZNA^AET max(a; 0). eSLI (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWORASPREDEL<NNYE SLU^AJNYE WELI^INY S OB]IM RASPREDELENIEM (21.1.1), TOIH OB]AQ PLOTNOSTX OTNOSITELXNO MERY () IMEET WIDrXj =1qj pj (x);(21:1:15)PO\TOMU PRINIMAQ WO WNIMANIE SOOTNO[ENIE (21.1.13), POLU^IME i (X1 ) ==rXZi (x)XZqjj =1 XrXj =1qj pj (x)d(x) =i (x)pj (x)d(x) = qj :(21:1:16)tEPERX IZ zAKONA bOLX[IH ~ISEL NEPOSREDSTWENNO SLEDUET (21.1.3).pRIMENIM TEPERX tEOREMU 19.1.1 S PROIZWOLXNYM PROSTRANSTWOM RE[ENIJ I FUNKCIEJ POTERX L(; ), KOTORAQ POLNOSTX@ OPREDELQETSQ NABOROMFUNKCIJL(i; ); i = 1; ; r.
pREDPOLOVIM DLQ PROSTOTY, ^TO0 L(i; ) L < +1; DLQ WSEH 2 I i = 1; ; r: (21:1:17)tEPERX SOOTNO[ENIE (19.1.6) PRIOBRETAET WIDQ(; x) =I ESLI POLOVITXn(; x) =r[L(i; ) ; L(i; 0 )]pi (x)qi(21:1:18)[L(i; ) ; L(i; 0 )]pi (x)qi;n ;(21:1:19)Xi=1rXi=1TO NETRUDNO WIDETX, ^TO SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOsup jn (; x) ; Q(; x)j L2rXi=1pi (x)jqi;n ; qij:(21:1:20)21.2.pRIMER217pOSKOLXKU pi(x) < +1 DLQ { PO^TI WSEH x, TO IZ SOOTNO[ENIQ (21.1.5)TEPERX SLEDUET, ^TO S WEROQTNOSTX@ EDINICA WYPOLNENO RAWENSTWO (19.1.10).pO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX RE[A@]IH FUNKCIJ = fn g, OPREDEL<NNAQSOOTNO[NIEM (19.1.11), QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNOJ DLQ L@BOGOAPRIORNOGO RASPREDELENIQ Q = fq1; ; qr g.bYLO BY INTERESNO POPYTATXSQ RASPROSTRANITX OPISANNYJ METOD OCENKI APRIORNOGO RASPREDELENIQ NA SLU^AJ PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANTSWA WIDA = R1 . oDIN IZ WOZMOVNYH PUTEJ SOSTOIT W SLEDU@]EM.pREDPOLOVIM RADI OPREDEL<NNOSTI, ^TO QWLQETSQ PARAMETROM SDWIGANORMALXNOGO RASPREDELENIQ S EDINI^NOJ DISPERSIEJ, TO ESTX NABL@DENIQ(X1 ; ; Xn ) IME@T OB]U@ PLOTNOSTX WIDA+Z1'(x ; )dQ(); '(x) = p1 e;x2 =2(21:1:21)2;1OTNOSITELXNO MERY lEBEGA NA PRQMOJ X = R1 .dLQ KAVDOGO n 1 PUSTX1(n) < < k(nn)(21:1:22)QWLQ@TSQ KONSTANTAMI I PUSTX qi;n; i = 1; ; kn OPREDELQ@TSQ SOOTNO[ENIQMI (21.1.14) S FUNKCIQMI pj (x) IZ (21.1.5), ZAMEN<NNYMI NA '(x ; j(n)).rASSMOTRIM SLU^AJNU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQXQn () = qi;n;(21:1:23)GDE SUMMIROWANIE RASPROSTRANQETSQ NA WSE i TAKIE, ^TOi(n) < :mOVEM LI MY WYBRATX WELI^INY kn I (21.1.22) DLQ KAVDOGO n TAK, ^TOBYPRI WSEH Q() WYPOLNQLOSX RAWENSTWOP nLimQ()!Q();WKAVDOJTO^KENEPRERYWNOSTIQ()= 1?n!1pQ(x) =21.2slu~aj otsutstwiq asimptoti~eski optimalxnoj re{a`}ej funkcii-pRIWED<M PRIMER, KOGDA NE SU]ESTWUET ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNOJ POSLEDOWATELXNOSTI RE[A@]IH FUNKCIJ, NO \MPIRI^ESKIJ BAJESOWSKIJ PODHOD PRIWODIT K RAZUMNYM REZULXTATAM.-lEKCIQ21821pUSTX X { SLU^AJNAQ WELI^INA, PRINIMA@]AQ TOLXKO DWA ZNA^ENIQ: NOLXS WEROQTNOSTX@ 1 ; I EDINICU S WEROQTNOSTX@ , GDE NEIZWESTNYJ PARAMETR PRINADLEVIT MNOVESTWU = [0; 1].nA OSNOWE ODNOGO NABL@DENIQ X = x MY HOTIM OCENITX .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
