В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 19
Текст из файла (страница 19)
zAMETIM TAKVE, ^TO POLUPRQMOE PROIZWEDENIE \KSPONENCIALXNYH STRUKTUR TAKVE QWLQETSQ \KSPONENCIALXNOJ STRUKTUROJ. tO ESTX, ESLIX = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQ,KAVDOE IZ KOTORYH IMEET PLOTNOSTX WIDA (16.1.1), TO SOWMESTNAQ PLOTNOSTXX TAKVE QWLQETSQ \KSPONENCIALXNOJ.iNOGDA ISPOLXZU@T BOLEE ESTESTWENNU@ PARAMETRIZACI@ WKL@^AQ MNOVITELX h(x) W DOMINIRU@]U@ MERU , TO ESTX OTNOSITELXNO MERY d~(x) =h(x)d (x) RASSMATRIWA@T SEMEJSTWA WIDA (KANONI^ESKAQ FORMA \KSPONENCIALXNOGO SEMEJSTWA)(p (x) = C () expkXj =1)j Uj (x) ; 2 Rk :(16:1:2)pRAWAQ ^ASTX (16.1.2), ESLI E< INTEGRAL KONE^EN, MOVET BYTX NADLEVA]IMWYBOROM C () PREWRA]ENA W PLOTNOSTX WEROQTNOSTI.
mNOVESTWO PARAMETRI^ESKIH TO^EK 2 , DLQ KOTORYH \TO IMEET MESTO, NAZYWAETSQ ESTESTWENNYM PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM \KSPONENCIALXNOGO SEMEJSTWA|KSPONENCIALXNYE STRUKTURY16.1.165(16.1.2), TO ESTXn= :ZkXexpj =1oj Uj (x) h(x)d (x) < 1 :(16:1:3)tEOREMA 16.1.1.1) eSTESTWENNOE PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO \KSPONENCIALXNOGOSEMEJSTWA (16.1.2) WYPUKLO.2) dLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ IZMERIMOJ FUNKCII f (x) INTEGRALZkXf (x) expj =1j Uj (x) h(x)d (x);RASSMATRIWAEMYJ KAK FUNKCIQ KOMPLEKSNYH PEREMENNYH j = j +ij ; j = 1; ; k QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ PO KAVDOJ IZ\TIH PEREMENNYH W OBLASTI PARAMETRI^ESKIH TO^EK, DLQ KOTORYH(1 ; ; k ) QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ ESTESTWENNOGO PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA .
pROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA OT \TOGO INTEGRALA PO MOGUT WY^ISLQTXSQ DIFFERENCIROWANIEM POD ZNAKOMINTEGRALA.3) eSLI PLOTNOSTX p (x) IMEET WID (16.1.2) I FUNKCIQ C () DWAVDYDIFFERENCIRUEMA, TO SPRAWEDLIWY RAWENSTWA@ log C () ; Cov (U (X ); U (X )) = ; @ 2 log C () :E Uj (X ) = ;j i@j@i @j4) eSLI PLOTNOSTX p (x) IMEET WID (16.1.2), TO DLQ L@BOGO IZ WNUTRENNOSTI ESTESTWENNOGO PARAMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI NULQ SU]ESTWU@T PROIZWODQ]IE FUNKCII MOMENTOW I SEMIINWARIANTOW M (s) I K (s); s 2 Rk STATISTIKIT (X ) = U1 (X ); ; Uk (X )I ONI IME@T WIDM (s) = E expfs1 U1 (X ) + + sk Uk (X )g = C (C(+)s) ;K (s) = log M (s) = log C () ; log C ( + s); s = (s1; ; sk ):lEKCIQ166165) pUSTX X IMEET RASPREDELENIE S PLOTNOSTX@ p (x) WIDA (16.1.2),TOGDA SU]ESTWUET MERA (ZAWISQ]AQ OT T ) TAKAQ, ^TO RASPREDE-LENIE STATISTIKIT (X ) = U1 (X ); ; Uk (X )TAKVE PRINADLEVIT \KSPONENCIALXNOMU SEMEJSTWU WIDAp (t) = C () expk(Xj =1) 2 Rk ;j tj ;t = (t1 ; ; tk ) 2 Rk :6) pUSTX X IMEET RASPREDELENIE S PLOTNOSTX@ p (x) WIDA (16.1.2),TOGDA USLOWNOE RASPREDELENIE STATISTIKITr (X ) = U1 (X ); ; Ur (X ) ; r = 1; ; k ; 1PRI DANNOM Tr (X ) = t 2 Rk;r , GDETr (X ) = Ur+1(X ); ; Uk (X ) ; r = 1; ; k ; 1TAKVE PRINADLEVIT \KSPONENCIALXNOMU SEMEJSTWU WIDA (OTNOSITELXNO MERY t )pt (u) = Ct () exp(rXj =1) 2 Rk ;j uj ;u = (u1 ; ; ur ) 2 Rr :dOKAZATELXSTWO.1) pUSTX (1 ; ; k ) I (~1 ; ; ~k ) { DWE PARAMETRI^ESKIE TO^KI, PRINADLEVA]IE MNOVESTWU , TOGDA IZ NERAWENSTWA g<LXDERA DLQ L@BOGO0 < < 1 SLEDUET, ^TOZZexpkXj =1kXexp( j + (1 ; )~j )Uj (x) h(x)d (x) j =1!j Uj (x) h(x)d (x)ZkexpXj =1;!1~j Uj (x) h(x)d (x)< 1;TO ESTX TO^KA ( 1 + (1 ; )~1 ; ; k + (1 ; )~k ) TAKVE PRINADLEVIT.16.1.|KSPONENCIALXNYE STRUKTURY1672) rASSMATRIWAEMYJ INTEGRAL DEJSTWITELXNO SU]ESTWUET PRI WSEH(1 ; ; k ) 2 , POSKOLXKU, ESLI jf (x)j D; x 2 X , TOZf (x) expkXj =1ZkXj Uj (x) h(x)d (x) D expj =1j Uj (x) h(x)d (x) < 1:dOKAVEM TEPERX ANALITI^NOSTX RASSMATRIWAEMOGO INTEGRALA, NAPRIMER, PO 1.
wYDELQQ W PODINTEGRALXNOM WYRAVENII DEJSTWITELXNU@ IMNIMU@ ^ASTI I RAZLAGAQ KAVDU@ IZ POSLEDNIH NA POLOVITELXNU@ IOTRICATELXNU@ ^ASTI, WKL@^AQ ZATEM NADLEVA]IE MNOVITELI W MERU POLU^IM, ^TO TREBUEMYJ REZULXTAT DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ INTEGRALOW WIDAZg(1 ) = exp 1 U1 (x) d(x):pUSTX (1 ; ; k) 2 { NEKOTORAQ WNUTRENNQQ TO^KA MNOVESTWA ,TOGDA SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO g(1 ) KONE^NA PRI WSEH 1 TAKIH,^TO j1 ; 1j < ; 1 = 1 + i1 .
rASSMOTRIM RAZNOSTNOE OTNO[ENIEg(1 ) ; g(1 ) = Z expf1 U1(x)g ; expf1U1 (x)g d(x) =1 ; 11 ; 1=Z!expf(1 ; 1 )U1 (x)g ; 1expf1 U1 (x)gd(x):1 ; 1pRIMENIM K PODINTEGRALXNOMU WYRAVENI@ NERAWENSTWOjaja0 expftgdt 1 ejaj ;0Zexpfaz g ; 1 = Z expftz gdt zPRI jzj ;POLU^IM, ^TO ONO NE PREWOSHODITj expf1U1(x) + jU1 (x)jgj j expf(1 + )U1 (x)gj + j expf(1 ; )U1 (x)gj ;PRI j1 ; 1j < . pOSKOLXKU POSLEDNEE WYRAVENIE INTEGRIRUEMO OTNOSITELXNO , TO IZ tEOREMY lEBEGA O MAVORIRUEMOJ SHODIMOSTI (SM.lEKCIQ16816lEKCIQ 10, P.8) SLEDUET, ^TO DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK 1n 2 , SHODQ]EJSQ K 1, RAZNOSTNOE OTNO[ENIE g(1n ) STREMITSQ KZU1(x) exp 1 U1 (x) d(x):|TIM ZAWER[AETSQ DOKAZATELXSTWO PERWOGO UTWERVDENIQ I DOKAZYWAETSQ WTOROE UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ PERWOJ PROIZWODNOJ.
dOKAZATELXSTWO DLQ WYS[IH PROIZWODNYH PROWODITSQ ANALOGI^NYM OBRAZOM POINDUKCII.3) dOKAZATELXSTWO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ WOZMOVNOSTI DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAKOM INTEGRALA TOVDESTWAZkXC () expj =1j Uj (x) h(x)d (x) 1;POSKOLXKU, NAPRIMER, IMEEMk@C () Z expXU(x)h(x)d (x)+ii@ji=1Z+C () Uj (x) expkXi=1i Ui(x) h(x)d (x) @ log@C () + E Uj (X ) 0:j4) dOKAZATELXSTWO SLEDUET IZ SOOTNO[ENIQM (s) = E expfs1 U1 (X ) + + sk Uk (X )g =Z= C () expkX(sj + j )Uj (x) h(x)d (x) = C (C(+)s) ;j =1SPRAWEDLIWOGO W L@BOJ WNUTRENNEJ TO^KE MNOVESTWA I PRI IZMENENII s W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI NULQ.5) pOSKOLXKU PLOTNOSTX p (x) ZAWISIT OT T (x), TO DOKAZATELXSTWO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ FORMULY ZAMENY PEREMENNOGO W INTEGRALE lEBEGA (SM.
lEKCIQ 2, P. 8)P (T (X ) 2 B ) = P (X 2 T ;1 (B )) == C ()ZT ;1(B)(expkXj =1)Zj Uj (x) h(x)d (x) = p (t)d(t):B16.1.|KSPONENCIALXNYE STRUKTURY1696) dOKAZATELXSTWO SLEDUET IZ sWOJSTWA 12 USLOWNYH WEROQTNOSTEJ lEKCII 5 I DOKAZANNOGO PUNKTA 5.uTWERVDENIQ 3 I 4 tEOREMY 16.1.1 POZWOLQ@T DOSTATO^NO LEGKO NAHODITXMOMENTY I SEMIINWARIANTY STATISTIKIT (X ) = U1 (X ); ; Uk (X ) :pRIMER 16.1.2. pUSTX X IMEET RASPREDELENIE pUASSONA S PARAMETROM >0, TO ESTXX P ():tOGDA PLOTNOSTX p(x) OTNOSITELXNO S^ITA@]EJ MERY RAWNAxp (x) = x! e; = e; expfx log g x1! ; x = 0; 1; ; > 0:wWODQ NOWYJ PARAMETR = log , POLU^AEM KANONI^ESKOE \KSPONENCIALXNOESEMEJSTWO TIPA (16.1.2) Sk = 1; U1 (x) = x; C () = expf;e gI, SLEDOWATELXNO, PROIZWODQ]IE FUNKCII MOMENTOW I SEMIINWARIANTO SOOTWETSTWENNO RAWNYM (s) = E esX = C (C(+)s) = expfe (es ; 1)g = expf(es ; 1)g;K (s) = log M (s) = e (es ; 1) = (es ; 1);TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, WSE SEMIINWARIANTY (SM.
(3.1.11)) j (X ) RAWNY DLQWSEH j 2 N I, NAPRIMER, DLQ PERWYH DWUH MOMENTOW SPRAWEDLIWY RAWENSTWA@M (0) = ; EX 2 = @ 2 M (0) = (1 + ):EX =@s@s2tEOREMA 16.1.2.1) eSLI X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDELENNYE NABL@DENIQ, KAVDOE IZ KOTORYH IMEET PLOTNOSTX WIDA (16.1.1), TOSTATISTIKAT (X ) =nXi=1U1 (Xi ); ;nXi=1Uk (Xi )(16:1:4)QWLQETSQ DOSTATO^NOJ. tAKIM OBRAZOM, SKOLX BY WELIK NI BYL OB_EM WYBORKI n 1, DLQ (X1 ; ; Xn ) WSEGDA SU]ESTWUET k { MERNAQDOSTATO^NAQ STATISTIKA.lEKCIQ170162) sTATISTIKA (16.1.4) QWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ.3) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDELENNYENABL@DENIQ, KAVDOE IZ KOTORYH IMEET PLOTNOSTX WIDA (16.1.1) IPUSTX SU]ESTWUET PODMNOVESTWO 0 2 TAKOE, ^TO OBRAZ OTO-BRAVENIQ 2 0 ;! Q() = fQ1 (); ; Qk ()g 2 RkSODERVIT HOTQ BY ODNU TO^KU WMESTE S NEKOTOROJ OKRESTNOSTX@I C () 6= 0 W PROOBRAZE \TOJ OKRESTNOSTI. tOGDA DOSTATO^NAQ STATISTIKAnnXXT (X ) =U1 (Xi ); ; Uk (Xi )i=1QWLQETSQ POLNOJ.i=1dOKAZATELXSTWO.1) dOKAZATELXSTWO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ kRITERIQ fAKTORIZACII(tEOREMA 7.1.3).2) dLQ DOKAZATELXSTWA PRIMENIM tEOREMU 15.1.3.
pOSKOLXKU FUNKCIIQi(); Ui (x); C () KONE^NY, A \KSPONENTA W (16.1.1) STROGO POLOVITELXNA, TO W KA^ESTWE PRIWILIGEROWANNOGO RASPREDELENIQ P MOVNO WZQTXRASPREDELENIE S PLOTNOSTX@ IZ \KSPONENCIALXNOGO SEMEJSTWA(C n () expkXj =1Qj ()nXi=1Uj (xi ))nYi=1h(xi ); 2 Rk ; xi 2 Rm ; i = 1; ; nW FIKSIROWANNOJ TO^KE 0. pO\TOMU MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ { ALGEBRA POROVDENA FUNKCIQMI WIDA(nr(x; ) = pp ((xx)) = CCn(()) exp00kX(Qj () ; Qj (0 ))j =1nXi=1)Uj (xi ) ;x = (x1 ; ; xn ) 2 Rmn , PRI WSEH 2 .
iZ LINEJNOJ NEZAWISIMOSTIFUNKCIJ 1; Q1 (); ; Qk () SLEDUET LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX FUNKCIJ16.1.|KSPONENCIALXNYE STRUKTURY171Q1 () ; Q1(0 ); ; Qk () ; Qk (0 ), A \TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWU@TTO^KI 1 ; ; k 2 TAKIE, ^TO OPREDELITELX MATRICY S \LEMENTAMIQij = Qi (j ) ; Qi(0 )NE RAWEN 0, I PO\TOMU URAWNENIQkX(Qj (l ) ; Qj (0 ))j =1nXi=1Uj (xi ) = log r(x; l ) ; n(log C (l ) ; log C (0));l = 1; ; k ODNOZNA^NO RAZRE[IMY OTNOSITELXNO T (x).
tAKIM OBRAZOM { PODALGEBRA, POROVD<NNAQ STATISTIKOJ T (x) SODERVITSQ W {PODALGEBRE, POROVD<NNOJ FUNKCIQMIr(x; l ); l = 1; ; k;A \TA { PODALGEBRA, O^EWIDNO, SODERVITSQ W MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ { PODALGEBRE. iTAK T (X ) { MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA.3) o^EWIDNO DOSTATO^NO RASSMOTRETX SLU^AJ n = 1. bUDEM S^ITATX (PROIZWODQ, ESLI NEOBHODIMO, SDWIG W PROSTRANSTWE PARAMETROW), ^TO OBRAZQ(0 ) MNOVESTWA 0 SODERVIT PRQMOUGOLXNIK WIDA = f(q1 ; ; qk ) : ;c < qj < c; j = 1; kg; c > 0:pUSTX DLQ NEKOTOROJ IZMERIMOJ FUNKCII (t) SPRAWEDLIWO TOVDESTWOE (T (X )) 0; 2 0 :(16:1:5)nEOBHODIMO DOKAZATX, ^TOP ((T (X )) = 0) 1; 2 :(16:1:6)oBOZNA^IM ^EREZ +(t) I ;(t) POLOVITELXNU@ I OTRICATELNU@ ^ASTIFUNKCII (t), TO ESTX+(t) = maxf(t); 0g; ; (t) = maxf;(t); 0g; (t) = + (t) ; ; (t):tOGDA IZ SOOTNO[ENIQ (16.1.5) SLEDUET, ^TOZ+ (T (x)) expk(Xj =1)Qj ()Uj (x) h(x)d (x) =lEKCIQ172=Z;(T (x)) exp(kXj =116)Qj ()Uj (x) h(x)d (x); 2 0 :(16:1:7)pOIZWODQ W TOVDESTWE (16.1.7) ZAMENU PEREMENNYH t = T (x), POLU^IM^TO DLQ NEKOTOROJ MERY () SPRAWEDLIWO TOVDESTWOZknX+ (t) expj =1oqj tj d(t) =Zq = (q1 ; ; qk ) 2 I W ^ASTNOSTIZknX; (t) expj =1oqj tj )d(t);(16:1:8)Z+ (t)d(t) = ;(t)d(t);PRI \TOM POSLEDNIE INTEGRALY BEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX RAWNYMI EDINICE.
pOLAGAQP (B ) =ZB (t)d(t); B 2 Bk ;(16:1:9)IMEEM, ^TO P+ I P; ESTX WEROQTNOQTNYE MERY NA (Rk ; Bk ) I PRI \TOMIZ (16.1.8) SLEDUET, ^TOZknXexpj =1oZqj tj dP+ (t) = expknXj =1oqj tj dP;(t); q = (q1; ; qk ) 2 :rASSMOTRIM TEPERX \TI INTEGRALY, KAK FUNKCII KOMPLEKSNYH PEREMENNYH qj = j + ij ; j = 1; ; k. pRI L@BYH FIKSIROWANNYHq1 ; ; qj ;1 ; qj+1 ; ; qk ;DEJSTWITELXNYE ^ASTI KOTORYH LEVAT STROGO WNUTRI PROMEVUTKA OT;c DO +c, \TI INTEGRALY PO tEOREME 16.1.1, P.2 QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI qj W POLOSEj = fqj : ;c < j < +c; ;1 < j < +1g; j = 1; ; kKOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI. pRI FIKSIROWANNYH DEJSTWITELXNYH 2; ; k ,LEVA]IH MEVDU ;c I +c, RAWENSTWO INTEGRALOW IMEET MESTO W POLOSE1 , W KOTOROJ ONI ANALITI^NY.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
