В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 18
Текст из файла (страница 18)
kROME TOGO, STATISTIKA T (X ) OBESPE^IWAET BOLX[U@ REDUKCI@155lEKCIQ15615DANNYH, ^EM STATISTIKA S (X ), ESLI TOLXKO FUNKCIQ H () NE QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NOJ, W PROTIWNOM SLU^AE STATISTIKI T (X ) I S (X ) QWLQ@TSQ\KWIWALENTNYMI. dOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X ) NAZYWAETSQ MINIMALXNOJ,ESLI ONA DA<T NAIBOLX[U@ WOZMOVNU@ REDUKCI@ DANNYH SREDI WSEH DOSTATO^NYH STATISTIK, TO ESTX ESLI DLQ L@BOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKI S (X )SU]ESTWUET IZMERIMAQ FUNKCIQ H () TAKAQ, ^TO T (X ) = H (S (X )) (P { P.W.).dADIM TEPERX FORMALXNOE OPREDELENIE. pUSTX DANA DOMINIRUEMAQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA (X ; F ; P ).oPREDELENIE 15.1.1.1) dOSTATO^NAQ { PODALGEBRA D F NAZYWAETSQ MINIMALXNOJ, ESLIONA SODERVITSQ W L@BOJ DRUGOJ DOSTATO^NOJ { PODALGEBRE.2) dOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X ) NAZYWAETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ, ESLI ONA INDUCIRUET MINIMALXNU@ DOSTATO^NU@ { PODALGEBRU.mINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ { PODALGEBRA, W SLU^AE E< SU]ESTWOWANIQ,EDINSTWENNA; ONA QWLQETSQ PERESE^ENIEM WSEH DOSTATO^NYH { PODALGEBR.iZ WTOROGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO ESLI T (X ) WE]ESTWENNAQ MINIMALXNAQDOSTATO^NAQ STATISTIKA, A S (X ) DRUGAQ WE]ESTWENNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA, TO IZ uTWERVDENIQ 1.1.2 SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET IZMERIMAQ FUNKCIQH () TAKAQ, ^TO T (X ) = H (S (X )).tEOREMA 15.1.1.
pUSTX P = fP0 ; ; Pk g { KONE^NOE SEMEJSTWO RASPREDELENIJ S PLOTNOSTQMI fp0 (x); ; pk (x)g, IME@]IMI OB]IJ NOSITELX.tOGDA STATISTIKA!pp(X)1 (X )kT (X ) = p (X ) ; ; p (X )00QWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ.dOKAZATELXSTWO. nAPOMNIM, ^TO IZ KRITERIQ FAKTORIZACII (tEOREMA7.1.3) SLEDUET, ^TO STATISTIKA S (X ) DOSTATO^NA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAp (x) = g (S (x))h(x) P ; P.W.; 2 ; x 2 X :pOSKOLXKU PO USLOWI@ WSE PLOTNOSTI fp0 (x); ; pk (x)g IME@T OB]IJ NOSITELX, TO POSLEDNEE RAWENSTWO \KWIWALENTNOpi(x) = g (S (x)) i = 1; ; k; x 2 A;p0(x) i15.1.mINIMALXNYE DOSTATO^NYE STATISTIKIGDE A { OB]IJ NOSITELX PLOTNOSTEJ fp0 (x); ; pk (x)g (A = fx 2 X : pi(x) >0; i = 0; 1; ; k:g).
oTS@DA SLEDUET, ^TO STATISTIKA T (X ) QWLQETSQ DOSTATO^NOJ I STATISTIKA T (X ) ESTX FUNKCIQ OT S (X ).zAMETIM, ^TO IZ DOKAZATELXSTWA tEOREMY 15.1.1 SLEDUET, ^TO SPRAWEDLIWO BOLEE OB]EEuTWERVDENIE 15.1.1. pUSTX P = fP0 ; ; Pk g { KONE^NOE SEMEJSTWORASPREDELENIJ S PLOTNOSTQMI fp0(x); ; pk (x)g, I PUSTX DLQ KAVDOGO x 2X MNOVESTWO A(x) IMEET WIDA(x) = f(i; j ) : pi(x) + pj (x) > 0; (i; j ) 2 f0; 1; ; kg2 g:tOGDA STATISTIKA!p(X)jT (X ) = p (X ) ; i < j; (i; j ) 2 A(X )iQWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ. zDESX pj (x)=pi (x) =1, ESLI pi(x) = 0 I pj (x) > 0.sLEDU@]AQ tEOREMA ^ASTO QWLQETSQ POLEZNOJ PRI PRAKTI^ESKOM NAHOVDENII MINIMALXNYH DOSTATO^NYH STATISTIK.tEOREMA 15.1.2. pUSTX P { SEMEJSTWO RASPREDELENIJ S OB]IM NOSITELEM, P0 P I T (X ) { MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA DLQPODSEMEJSTWA P0 I QWLQETSQ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ DLQ SEMEJSTWAP .
tOGDA T (X ) { MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA DLQ SEMEJSTWA157P.pUSTX S (X ) ESTX DOSTATO^NAQ STATISTIKA DLQ SEMEJSTWA P , TOGDA ONA DOSTATO^NA I DLQ P0 I, SLEDOWATELXNO { PODALGEBRA,POROVD<NNAQ STATISTIKOJ T (X ) SODERVITSQ W { PODALGEBRE, POROVD<NNOJSTATISTIKOJ S (X ) (DOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X ) ESTX FUNKCIQ OT S (X )).dOKAZATELXSTWO.zAME^ANIE 15.1.1. zAMETIM, ^TO W tEOREME 15.1.2 PREDPOLOVENIE OBOB]EM NOSITELE MOVNO ZAMENITX NA BOLEE SLABOE PREDPOLOVENIE O TOM,^TO KAVDOE P0 { NULEWOE MNOVESTWO (SM. oPREDELENIE 6.1.4) QWLQETSQTAKVE I P { NULEWYM, TAK ^TO P0 { P.W. \KWIWALENTNO P { P.W.pRIMERY.1) pUSTX IMEETSQ n NEZAWISIMYH NORMALXNO RASPREDEL<NNYH NABL@DENIQX = (X1 ; ; Xn ) I SEMEJSTWO P0n { n - KRATNOE PROIZWEDENIE SEMEJSTWP0 , SOSTOIT IZ DWUH NORMALXNYH RASPREDELENIJP0n = fN n(0 ; 1); N n(1; 1); 0 6= 1g:lEKCIQ15815tOGDA PO tEOREME 15.1.1 MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X )DLQ SEMEJSTWA P0n IMEET WID);T (X ) = pp1 ((XX0 )^TO \KWIWALENTNOnXX = n1 Xi :i=1oDNAKO, PO KRITERI@ FAKTORIZACII STATISTIKA X QWLQETSQ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ DLQ SEMEJSTWAP n = fN n (; 1); 2 R1 g;PO\TOMU PO tEOREME 15.1.2 MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA DLQSEMEJSTWA P n ESTXT (X ) = X:2) pUSTX TEPERX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQ, KAVDOE IZ KOTORYH IMEET RASPREDELENIE pUASSONA SPARAMETROM > 0.
rASSMOTRIM SEMEJSTWO P0n , SOSTOQ]EE IZ DWUH PUASSONOWSKIH RASPREDELENIJP0n = fP n (0); P n (1); 0 6= 1 g:tOGDA PO tEOREME 15.1.1 MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X )DLQ SEMEJSTWA P0n IMEET WID (ZDESX WYBRANA S^ITA@]AQ DOMINIRU@]AQ MERA )X1 ++XnX ) = e;n1 1X1 !Xn ! = en(0 ;1) 1T (X ) = pp1 ((XX ++Xn00 ) e;n0 0 1^TO \KWIWALENTNOX1 !Xn !X = n1nXi=1nX!;Xi :aNALOGI^NO PREDYDU]EMU MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA DLQSEMEJSTWAP n = fP n (); > 0gESTXT (X ) = X:15.1.mINIMALXNYE DOSTATO^NYE STATISTIKItEOREMA 15.1.3 (sU]ESTWOWANIE MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ { PODALGEBRY) pUSTX (X ; F ; P = fP ; 2 g) { DOMINIRUEMAQ STATISTI^ESKAQSTRUKTURA, P { PRIWILEGIROWANNOE WEROQTNOSTNOE RASPREDELENIE I {DOMINIRU@]AQ MERA.
tOGDA { PODALGEBRA D F , POROVDENNAQ (TO ESTXMINIMALXNAQ) FUNKCIQMI WIDAr(x; ) = pp((xx)) PRI WSEH 2 ;GDEPPp (x) = dd(x); p (x) = dd(x); 2 ;QWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ { PODALGEBROJ.dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SNA^ALA, ^TO { PODALGEBRA D DOSTATO^NA.|TO SLEDUET IZ tEOREMY 7.1.2, POSKOLXKUdP (x) =dPdP (x)ddP (x)d= pp ((xx)) = r(x; )I PO OPREDELENI@ { PODALGEBRY D \TA PLOTNOSTX D { IZMERIMA PRI WSEH 2 .dOKAVEM, ^TO { PODALGEBRA D { MINIMALXNA, S \TOJ CELX@ RASSMOTRIML@BU@ DRUGU@ DOSTATO^NU@ { PODALGEBRU B F , TOGDA OPQTX PO tEOREME7.1.2 PLOTNOSTXdP (x) = p (x) = r(x; )dPp (x)B { IZMERIMA, I PO\TOMU PO OPREDELENI@ {PODALGEBRY D, SPRAWEDLIWOWKL@^ENIE D B.rASSMOTRIM TEPERX SWQZX MEVDU MINIMALXNYMI I POLNYMI (SM.
oPREDELENIE 10.1.1) DOSTATO^NYMI STATISTIKAMI.tEOREMA 15.1.4 (sWQZX MINIMALXNOSTI I POLNOTY) l@BAQ POLNAQ WE]ESTWENNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X ), ZADANNAQ NA DOMINIRUEMOJSTATISTI^ESKOJ STRUKTURE (X ; F ; P = fP ; 2 g) QWLQETSQ TAKVE IMINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ.dOKAZATELXSTWO. pUSTX D { MINIMALXNAQ DOSTATO^NAQ { PODALGEBRA. pO PREDYDU]EJ tEOREME ONA SU]ESTWUET. pREDPOLOVIM, ^TO U STATISTIKI T (X ) SU]ESTWUET MATEMATI^ESKOE OVIDANIEE T (X ) < 1; 2 159160lEKCIQ15I RASSMOTRIM FUNKCI@h(X ) = T (X ) ; E (T (X ) j D ):tOGDA W SILU DOSTATO^NOSTI { PODALGEBRY D \TA FUNKCIQ NE ZAWISITOT , I S U^<TOM MINIMALXNOSTI D \TA FUNKCIQ QWLQETSQ IZMERIMOJ OTNOSITELXNO { ALGEBRY, POROVD<NNOJ STATISTIKOJ T (X ), PO\TOMU W SILUuTWERVDENIQ 1.1.2 ONA IMEET WID h(x) = h (T (x)). nO IZ OPREDELENIQ h(x)SLEDUET, ^TOE h (T ) 0; 2 ;PO\TOMU S U^<TOM POLNOTY STATISTIKI T (X ), IMEEMh (T (X )) 0; P ; P.W.iTAKT (X ) E (T (X ) j D ); P ; P.W.;PO\TOMU STATISTIKA T (X ) QWLQETSQ D { IZMERIMOJ I ZNA^IT { ALGEBRA,POROVD<NNAQ STATISTIKOJ T (X ) SOWPADAET S D (ZDESX POD D SLEDUET PONIMATX { ALGEBRU, POPOLNENNU@ MNOVESTWAMI N , DLQ KOTORYH P (N ) = 0PRI WSEH 2 ).eSLI E T (X ) NE SU]ESTWUET, TO NADO WMESTO STATISTIKI T (X ) RASSMOTRETX, NAPRIMER, STATISTIKU arctan T (X ), KOTORAQ, O^EWIDNO, \KWIWALENTNAT (X ) OTNOSITELXNO SWOJSTW DOSTATO^NOSTI, POLNOTY I MINIMALXNOSTI.pRIMER 15.1.1.
pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE RAWNOMERNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi R(0; ); i = 1; ; n; > 0:tOGDA W pRIMERE 10.2.2 POKAZANO, ^TO STATISTIKAT (X ) = X(n) 1maxXin iQWLQETSQ POLNAJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ. pO tEOREME 15.1.4 \TA STATISTIKA QWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ.zAMETIM, ODNAKO, ^TO W OB]EM SLU^AE UTWERVDENIE, OBRATNOE tEOREME15.1.4 NE WERNO, TO ESTX IZ MINIMALXNOSTI DOSTATO^NOJ STATISTIKI NE SLEDUET E< POLNOTA.zADA^A 15.1.1. pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE RAWNOMERNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi R( ; 1=2; + 1=2); i = 1; ; n; 2 = R1 :15.1.mINIMALXNYE DOSTATO^NYE STATISTIKIdOKAZATX, ^TO STATISTIKAT (X ) = (X(1) ; X(n) ) = (1minX ; max X )in i 1in iQWLQETSQ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ, NO ONA NE POLNA.
(pOSLEDNEE UTWERVDENIE SLEDUET, NAPRIMER, IZ TOVDESTWAE X(n) ; X(1) ; (n ; 1)=(n + 1) 0; 2 :)16116215.2lEKCIQ15spisok literatury1) |. lEMAN, tEORIQ tO^E^NOGO oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1991, gLAWA 1, < 5.2) a.a. bOROWKOW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, nAUKA, 1984, gLAWA 2, < 13.3) v.{ r.
bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1974, gLAWA 2, < 5.lEKCIQ 16w lEKCII RASSMATRIWA@TSQ \KSPONENCIALXNYE STRUKTURY, DLQ KOTORYHMNOGIE OB]IE KONSTRUKCII MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI MOVNO REALIZOWATX W QWNOM WIDE.16.1|ksponencialxnye strukturyoPREDELENIE 16.1.1.1) sTATISTI^ESKAQ DOMINIRUEMAQ STRUKTURAX= Rm ;F= Bm ;fp (x); 2 Rk gNAZYWAETSQ \KSPONENCIALXNOJ, ESLI NOSITELX PLOTNOSTEJ p (x)A = fx 2 X : p (x) > 0gNE ZAWISIT OT 2 I PLOTNOSTI p (x) IME@T WIDp (x) = C () expk(Xj =1)Qj ()Uj (x) h(x); 2 Rk ; x 2 Rm ; (16:1:1)GDE WSE FUNKCII, WHODQ]IE W PRAWU@ ^ASTX, KONE^NY I IZMERIMY, AFUNKCII Q0 () 1; Q1 (); ; Qk () LINEJNO NEZAWISIMY NA .2) sEMEJSTWO RASPREDELENIJ fP ; 2 Rk g S PLOTNOSTQMI p (x)WIDA (16.1.1) NAZYWAETSQ \KSPONENCIALXNYM SEMEJSTWOM.163lEKCIQ16416pRIMER 16.1.1.
pUSTX X IMEET GAMMA { RASPREDELENIE S PARAMETROM = (; ); > 0; > 0, TO ESTXp (x) = ;() x;1 e;x = ;()x e log x;x;x > 0;1Z;() = x;1 e;x dx;TO ESTX ZDESX IMEEM0(;1h(x) = x0; ; xx <> 00;;U1(x) = log x; U2 (x) = x; C () = ;() ; Q1 () = ; Q2 () = ;:zAMETIM, ^TO BINOMIALXNOE RASPREDELENIE, RASPREDELENIE pUASSONA, OTRICATELXNOE BINOMIALXNOE RASPREDELENIE, NORMALXNOE RASPREDELENIE, BETA RASPREDELENIE, HI { KWADRAT RASPREDELENIE (S PARAMETROM MAS[TABA),GAMMA RASPREDELENIE (S PARAMETROM MAS[TABA) QWLQ@TSQ \KSPONENCIALXNYMI SEMEJSTWAMI. w TO WREMQ KAK, NAPRIMER, RAWNOMERNOE RASPREDELENIER(0; ); > 0 I RASPREDELENIE kO[I NE QWLQ@TSQ \KSPONENCIALXNYMI SEMEJSTWAMI.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
