В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 17
Текст из файла (страница 17)
eSLI W PREDPOLOVENIQH tEOREMY 13.1.3 URAWNENIEPRAWDOPODOBIQ (13.1.5) IMEET EDINSTWENNYJ KORENX PRI WSEH n I xn, ILI, BOLEE OB]O, ESLI WEROQTNOSTX NALI^IQ NESKOLXKIH KORNEJ STREMITSQ K NUL@PRI n ! 1, TO OCENKA MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ ^n (Xn) ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNAPn0pn(^ (X ) ; ) < x ! I ( )x ; n ! 1:n n00q14514613.2lEKCIQ13spisok literatury1) |. lEMAN, tEORIQ tO^E^NOGO oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1991, gLAWA 6, < 2.2) i.a. iBRAGIMOW, r.z. hASXMINSKIJ, aSIMPTOTI^ESKAQ tEORIQ oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1979, gLAWA 1, < 4.lEKCIQ 14w lEKCII RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA W KA^ESTWE OCENIWAEMOGO PARAMETRA WYSTUPAET NEIZWESTNAQ PLOTNOSTX NABL@DENIJ.14.1ocenka plotnostipUSTX NABL@DENIQ IME@T WID Xn = (X1 ; ; Xn); n 2 N, GDE Xi { NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY S OB]EJ NEIZWESTNOJ PLOTNOSTX@ p(x).eSLI PLOTNOSTX p(x) ZAWISIT OT KONE^NOGO ^ISLA PARAMETROW I QWLQETSQIZWESTNOJ FUNKCIEJ x I \TIH PARAMETROW, TO MY SNOWA PRIHODIM K ZADA^EPARAMETRI^ESKOGO OCENIWANIQ.
eSLI, ODNAKO, IZWESTNO LI[X, ^TO PLOTNOSTXp(x) PRINADLEVIT NEKOTOROMU DOSTATO^NO OB[IRNOMU MNOVESTWU FUNKCIJ,TO ZADA^A OCENIWANIQ p(x) STANOWITSQ BESKONE^NOMERNOJ ILI NEPARAMETRI^ESKOJ.bUDEM ISHODITX IZ ESTESTWENNOJ OCENKI FUNKCII RASPREDELENIQ F (x) {\MPIRI^ESKOJ FUNKCII RASPREDELENIQ Fn (x) (SM. lEKCIQ 6, PRIMER 2)nXFn (x) = n1 1(;1; x)(Xi );F (x) =i=1xZ;1p(y)dy:(14:1:1)pRI BOLX[OM n \MPIRI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ Fn (x), W SILU zAKONAbOLX[IH ~ISEL (SM.
lEKCIQ 4, P. 6), BLIZKA K ISTINNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ F (x), PO\TOMU MOVNO BYLO BY OVIDATX, ^TO E< PROIZWODNAQ Fn0 (x)BLIZKA K p(x) = F 0(x). oDNAKOFn0 (x) = n1nXi=1147(x ; Xi);lEKCIQ14814GDE (x) { - FUNKCIQ dIRAKA { NE QWLQETSQ DAVE FUNKCIEJ W SMYSLE KLASSI^ESKOGO ANALIZA. eSTESTWENNO "SGLADITX" \MPIRI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ Fn (x) I ISPOLXZOWATX W KA^ESTWE OCENKI DLQ PLOTNOSTI p(x) PROIZWODNU@ OT TAKOJ SGLAVENNOJ FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, OBY^NO RASSMATRIWA@TOCENKI WIDAn x ; X X1pn(x; Xn) = nhV h i ;(14:1:2)n i=1nGDE FUNKCIQ V (x) INTEGRIRUEMA I UDOWLETWORQET USLOWI@1Z;1V (x)dx = 1;(14:1:3)A POSLEDOWATELXNOSTX hn TAKOWA, ^TOhn ! 0; nhn ! 1;n ! 1:(14:1:4)pOQSNIM NA \WRISTI^ESKOM UROWNE \TI USLOWIQ.
zAMETIM, ^TO ESTESTWENNYMUSLOWIEM NA OCENKU pn(x; Xn) BYLO BY TREBOWANIEEp pn (x; Xn ) ! p(x);n ! 1:(14:1:5)pO\TOMU, ESLI WYPOLNENY USLOWIQ (14.1.3) I (14.1.4), TO PRI BOLX[IH nx ; X1 = 1 Z V x ; y p(y)dy =1Ep pn(x; Xn ) = Ep VhnhnhnhnZZ= V (z )p(x ; hn z )dz p(x) V (z )dz = p(x):zAMETIM, ^TO PRI \TOM MY NE ISPOLXZOWALI WTOROE USLOWIE IZ (14.1.4).kONE^NO, SHODIMOSTXpn(x; Xn ) ! p(x);n!1W TOM ILI INOM SMYSLE IMEET MESTO LI[X PRI NEKOTORYH OGRANI^ENIQH NAPLOTNOSTX p(x).
eSLI, NAPRIMER, p(x) IMEET TO^KI RAZRYWA, TO SHODIMOSTXNE MOVET BYTX RAWNOMEROJ NI PRI KAKOM WYBORE hn I V (x). eSLI ZARANEEIZWESTNO, ^TO p(x) PRINADLEVIT TOMU ILI INOMU KLASSU NEPRERYWNYH FUNKCIJ, TO W KLASSE OCENOK (14.1.2) MOVNO NAJTI OCENKI, SHODQ]IESQ K p(x) STOJ ILI INOJ SKOROSTX@.14.1.oCENKA PLOTNOSTI149pUSTX, NAPRIMER, ZARANEE IZWESTNO, ^TO PLOTNOSTX p(x) PRINADLEVITMNOVESTWU FUNKCIJ, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ lIP[ICA S POSTOQNNOJ D >0p(x) 2 L(1; D);GDE(14:1:6)L(1; D) = p(x): jp(x1 ) ; p(x2 )j Djx1 ; x2j;noDLQ L@BYH x1 ; x2 I p(x) { PLOTNOSTX :tOGDA MOVNO DOKAZATX SLEDU@]U@ tEOREMU.tEOREMA 14.1.1. eSLI hn = n;1=3 , FUNKCII xV (x), V 2 (x) INTEGRIRUEMYI WYPOLNENO USLOWIE (14.1.3), TO DLQ OCENKI (14.1.2) SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOsup1 Ep pn (x; Xn ) ; p(x)supp(x)2L(1; D) x2RdOKAZATELXSTWO.tOGDA ZAMETIM, ^TO2 Cn;2=3; C > 0:pUSTX hn TAKOWO, ^TO WYPOLNENY USLOWIQ (14.1.4).22Ep pn (x; Xn ) ; p(x) = Ep pn(x; Xn ) ; p(x) + Dp pn(x; Xn ):(14:1:7)rASSMOTRIM PERWOE SLAGAEMOE W \TOM RAWENSTWE, IMEEMZEp pn (x; Xn ) ; p(x) = V (z )(p(x ; hn z ) ; p(x))dz Z Dhn jV (z)zjdz = O (hn):(14:1:8)rASSMOTRIM WTOROE SLAGAEMOE W (14.1.7)1x ; X1 1 E V 2 x ; X1 =Dp pn(x; Xn ) = 2 DpVnhnhnnh2n phn= nh1ZV 2 (z )p(x ; hn z )dz nh1 sup1 p(x) V 2 (z)dz = O nh1 (14:1:9)nn x2Rn(ZDESX ISPOLXZUETSQ USLOWIE nhn ! 1).
iZ SOOTNO[ENIJ (14.1.7) { (14.1.9)SLEDUET, ^TO RAWNOMERNO PO x 2 R1Z21Ep pn (x; Xn ) ; p(x) = O (h2n ) + Onhn :lEKCIQ15014mINIMIZIRUQ PRAWU@ ^ASTX \TOGO WYRAVENIQ PO hn , POLU^IM, ^TO hn =O (n;1=3 ) I WYPOLNENO NERAWENSTWO IZ FORMULIROWKI tEOREMY.rASSMOTRIM TEPERX OBOB]ENIE tEOREMY 14.1.1 NA DRUGIE SEMEJSTWA PLOTNOSTEJ p(x).
mY UWIDIM, W ^ASTNOSTI, ^TO DLQ SEMEJSTW p(x), UDOWLETWORQ@]IH BOLEE V<STKIM USLOWIQM GLADKOSTI, SREDI OCENOK (14.1.2) NAJDUTSQTAKIE, KOTORYE SHODQTSQ K p(x) BYSTREE, PRI^<M SKOROSTX SHODIMOSTI SU]ESTWENNO ZAWISIT OT STEPENI GLADKOSTI.oBOZNA^IM ^EREZ L(; D), = k + ; k 2 f0; 1; g; 0 < 1 MNOVESTWO k RAZ DIFFERENCIRUEMYH PLOTNOSTEJ TAKIH, ^TO IH k { Q PROIZWODNAQUDOWLETORQET USLOWI@ g<LXDERA S POKAZATELEM I KONSTANTOJ D > 0nL(; D) = p(x): jp(k) (x1) ; p(k)(x2 )j Djx1 ; x2j ;oDLQ L@BYH x1 ; x2 I p(x) { PLOTNOSTX :~TOBY NE OGOWARIWATX KAVDYJ RAZ USLOWIQ SHODIMOSTI SOOTWETSWU@]IH INTEGRALOW, OGRANI^IMSQ IZU^ENIEM OCENOK WIDA (14.1.2) S FINITNYMI FUNKCIQMI V (x).tEOREMA 14.1.2. eSLI hn = n;1=(2+1) , = k + I OGRANI^ENNAQ FINITNAQ FUNKCIQ V (x) UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.1.3) IZxj V (x)dx = 0;j = 1; ; k;TO DLQ OCENKI (14.1.2) PRI L@BOM D > 0 SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOsupsup1 Ep pn(x; Xn ) ; p(x)p(x)2L(; D) x2R2 Cn;2=(2+1) :kAK I PRI DOKAZATELXSTWE tEOREMY 14.1.1, OCENIMOTDELXNO SME]ENIE I DISPERSI@ OCENKI pn(x; Xn).
iSPOLXZUQ USLOWIQ tEOREMY I FORMULU tEJLORA, IMEEMdOKAZATELXSTWO.Ep pn (x; Xn ) ; p(x) =k= hkn!ZZV (z)(p(x ; hn z) ; p(x))dz =z k V (z)(p(k) ( ) ; p(k)(x))dz;GDE { TO^KA INTERWALA (x; x ; hnz). pO\TOMU IZ OPREDELENIQ MNOVESTWAL(; D) SLEDUET, ^TO DLQ NEKOTOROJ POSTOQNNOJ C1 > 0 SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOEp pn (x; Xn ) ; p(x) C1 hn :14.2.pROEKCIONNYE OCENKI151pRI \TOM SPRAWEDLIWO SOOTNO[ENIE (14.1.9), PO\TOMU21Ep pn (x; Xn ) ; p(x) = O (h2n ) + Onhn :mINIMIZIRUQPRAWU@ ^ASTX \TOGO WYRAVENIQ PO hn , POLU^IM, ^TO hn =;1=(2+1)O nI WYPOLNENO UTWERVDENIE tEOREMY.14.2proekcionnye ocenkipUSTX NABL@DENIQ IME@T WID Xn = (X1 ; ; Xn); n 2 N, GDE Xi { NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY S OB]EJ NEIZWESTNOJ PLOTNOSTX@ p(x).rASSMOTRIM DRUGOJ METOD OCENKI NEIZWESTNOJ PLOTNOSTI p(x).
dLQ PROSTOTY BUDEM S^ITATX PLOTNOSTX ZADANNOJ NA OTREZKE [;; ]. tOGDA PLOTNOSTIp(x) MOVNO SOPOSTAWITX RQD fURXE PO TRIGONOMETRI^ESKOJ SISTEMEp(x) 21 +1X(am cos mx + bm sin mx);m=1(14:2:1)GDE KO\FFICIENTY fURXE am I bm IME@T WIDZam = 1 cos(mx)p(x)dx = 1 Ep cos(mX1 );;Z1bm = sin(mx)p(x)dx = 1 Ep sin(mX1 ); m = 1; 2; ;(14:2:2)iZ \TIH FORMUL WIDNO, ^TO NESME]ENNYMI OCENKAMI KO\FFICIENTOW fURXEQWLQ@TSQ, NAPRIMER, OCENKI1amn (Xn ) = nnXi=1Ep amn (Xn ) = am ;cos(mXi );1bmn(Xn) = nEp bmn (Xn ) = bm ;nXi=1sin(mXi );m = 1; 2; (14:2:3)eSLI RQD fURXE (14.2.1) SHODITSQ K PLOTNOSTI p(x), TO PRI BOLX[IH n SPRAWEDLIWA APPROKSIMACIQSn (x) p(x); n 1;lEKCIQ152GDESn(x) = 21 +nXm=114(am cos mx + bm sin mx)(14:2:4)^ASTI^NAQ SUMMA RQDA fURXE.
tAKIM OBRAZOM WYBIRAQ NEKOTORU@ POSLEDOWATELXNOSTX NATURALXNYH ^ISEL kn ! 1 I ZAMENQQ KO\FFICIENTY fURXEW FORMULE (14.2.4) IH OCENKAMI IZ (14.2.3), POLU^AEM PROEKCIONNU@ OCENKUpn(x; Xn) PLOTNOSTI p(x)pn(x; Xn ) = 21 +zAMETIM, ^TOkn Xamn (Xn) cos mx + bmn (Xn ) sin mx :m=1(14:2:5)Ep pn(x; Xn ) = Skn (x) p(x);kn 1:tEOREMA 14.2.1. pUSTX PLOTNOSTX p(x) ZADANA NA OTREZKE [;; ],p() = p(;);Z;p2 (x)dx < 1I kn ! 1, TOGDA SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO12kn2 + Xpn (x; Xn ) ; p(x) dx n(a2m + b2m ):2m=kn +1;EpZ dOKAZATELXSTWO.
zAMETIM SNA^ALA, ^TOEpZ ;2pn(x; Xn) ; p(x) dx = Ep+Z ;Z ;2pn(x; Xn) ; Ep pn(x; Xn) dx+2Skn (x) ; p(x) dx:(14:2:6)wTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI (14.2.6) W SILU RAWENSTWA bESSELQ RAWNOZ ;2Skn (x) ; p(x) dx =1X(a2m + b2m ):m=kn +1(14:2:7)14.2.pROEKCIONNYE OCENKI153rASSMOTRIM PERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI (14.2.6)EpZ ;2pn (x; Xn) ; Ep pn(x; Xn) dx =Z;Dp pn(x; Xn )dx:(14:2:8)nO1n kn X XDp pn(x; Xn ) = 2 2 Dpn i=1 m=1 cos(mXi ) cos(mx) + sin(mXi ) sin(mx) =kn X1= n2 Dpcos(mX1 ) cos(mx) + sin(mX1 ) sin(mx) m=1!2knX1kn2 : n2 Epcos(m(X1 ; x)) n(14:2:9)2m=1iZ SOOTNO[ENIJ (14.2.6) { (14.2.9) SLEDUET UTWERVDENIE tEOREMY.zAME^ANIE 14.2.1. zAMETIM, ^TO IZ DOKAZANNOJ tEOREMY SLEDUET, ^TODLQ POLU^ENIQ RAZUMNYH OCENOK pn(x; Xn) PLOTNOSTIpp(x), POSLEDOWATELXNOSTX kn SLEDUET WYBIRATX RASTU]EJ NE BYSTREE ^EM n. sLAGAEMOE WIDA1Xm=kn +1(a2m + b2m )HARAKTERIZUET STEPENX GLATKOSTI PLOTNOSTI p(x), NAPRIMER, ESLI U PLOTNOTSI p(x) SU]ESTWUET r 1 NEPRERYWNYH PROIZWODNYH I r ; 1 PROIZWODNYHPRINIMA@TNAKONCAH OTREZKA [;; ] RAWNYE ZNA^ENIQ, TO \TOT ^LEN IMEETWID O kn2r1;1 .15414.3lEKCIQ14spisok literatury1) i.a.
iBRAGIMOW, r.z. hASXMINSKIJ, aSIMPTOTI^ESKAQ tEORIQ oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1979, gLAWA 4, < 4; gLAWA 7, < 4.2) l. dEWROJ, l. dX<RFI, nEPARAMETRI^ESKOE oCENIWANIE pLOTNOSTI,mOSKWA, mIR, 1988, gLAWA 12, < 1 { < 4.3) d. dVEKSON, rQDY fURXE I oRTOGONALXNYE pOLINOMY,mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1948, gLAWY 1 I 2.lEKCIQ 15w lEKCII RASSMATRIWA@TSQ DOSTATO^NYE STATISTIKI, KOTORYE REDUCIRU@T DANNYE W MAKSIMALXNOJ STEPENI.15.1minimalxnye dostato~nye statistiki-nAPOMNIM, ^TO DOSTATO^NYE STATISTIKI (SM.
oPREDELENIE 7.1.2) SOKRA]A@T NABL@DENIQ BEZ POTERI INFORMACII. qSNO, ^TO \KWIWALENTNYE FORMYDOSTATO^NOJ STATISTIKI REDUCIRU@T DANNYE W ODNOJ I TOJ VE STEPENI. mOGUT, ODNAKO, SU]ESTWOWATX TAKVE DOSTATO^NYE STATISTIKI KOTORYE DA@TRAZLI^NYE STEPENI REDUKCII. pUSTX, NAPRIMER, X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE NORMALXNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQ S NEIZWESTNOJ DISPERSIEJXi N (0; 2); i = 1; ; n:tOGDA IZ KRITERIQ FAKTORIZACII (SM. tEOREMU 7.1.3) SLEDUET, ^TO SLEDU@]IE STATISTIKI QWLQ@TSQ DOSTATO^NYMIT1 (X ) = (X1 ; ; Xn ); T2 (X ) = (X12 ; ; Xn2 );T3(X ) = (X12 + + Xm2 ; Xm2 +1 + + Xn2 ); T4 (X ) = X12 + + Xn2 :pRI^<M STEPENX REDUKCII DANNYH STATISTIKAMI Ti (X ) WOZRASTAET S ROSTOMi.iZ KRITERIQ FAKTORIZACII SLEDUET TAKVE, ^TO ESLI T (X ) DOSTATO^NAQSTATISTIKA I T (X ) = H (S (X )), GDE S (X ) NEKOTORAQ STATISTIKA, A H ()IZMERIMAQ FUNKCIQ, TO STATISTIKA S (X ) TAKVE DOSTATO^NA. zNANIE S (X )WLE^<T ZNANIE T (X ) I, SLEDOWATELXNO, POZWOLQET "WOSSTANAWLIWATX" ISHODNYE DANNYE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
