В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 20
Текст из файла (страница 20)
pO INDUKCII RAWENSTWO MOVET BYTXRASPROSTRANENO NA MNOGOMERNU@ KOMPLEKSNU@ OBLASTXf(q1 ; ; qk ) : (j ; j ) 2 j ; j = 1; ; kg:16.1.|KSPONENCIALXNYE STRUKTURY173oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO PRI WSEH DEJSTWITELXNYH 1 ; ; kZkn Xexp ij =1Zokn Xj tj dP+(t) = exp ij =1oj tj )dP; (t):POSLEDNIE INTEGRALY PREDSTAWLQ@T SOBOJ HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII (SM. lEKCI@ 3) RASPREDELENIJ P+ I P; SOOTWETSTWENNO, I PO tEOREME EDINSTWENNOSTI DLQ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, RASPREDELENIQP+ I P; DOLVNY SOWPADATX. nO IZ IH OPREDELENIQ (16.1.9) SLEDUET, ^TO+(t) ;(t); ; PO^TI WS@DU;I PO\TOMU SPRAWEDLIWO (16.1.6).pUSTX X IMEET gAMMA { RASPREDELENIE S PARAMETROM = (; ); > 0; > 0, TOGDA W pRIMERE 16.1.1 BYLO POKAZANO, ^TO \TO\KSPONENCIALXNOE SEMEJSTWO SU1 (x) = log x; U2 (x) = x; C () = ;() ; Q1 () = ; Q2 () = ;;PO\TOMU PO tEOREME 16.1.2 STATISTIKApRIMER16.1.3.T (X ) =nXi=1log Xi ;nXi=1XiQWLQETSQ POLNOJ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ.
zAMETIM TAKVE,^TO I \KWIWALENTNAQ STATISTIKAT (X ) =nYi=1Xi;nXi=1XiTAKVE QWLQETSQ POLNOJ MINIMALXNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ.17416.2lEKCIQ16spisok literatury1) |. lEMAN, pROWERKA sTATISTI^ESKIH gIPOTEZ,mOSKWA, nAUKA, 1979, gLAWA 2, < 7.2) |. lEMAN, tEORIQ tO^E^NOGO oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1991, gLAWA 1, < 4.3) a.a. bOROWKOW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, nAUKA, 1984, gLAWA 2, < 15.4) v.{ r. bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1974, gLAWA 10.5) `.w. lINNIK, lEKCII O zADA^AH aNALITI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, nAUKA, 1991, lEKCIQ 1.lEKCIQ 17dO SIH POR IZU^ALISX SWOJSTWA I METODY POSTROENIQ TO^E^NYH OCENOKNEIZWESTNOGO PARAMETRA . w lEKCII RASSMATRIWAETSQ DRUGOJ PODHOD KPROBLEME, KOGDA NEIZWESTNOE ZNA^ENIE PARAMETRA OCENIWAETSQ S POMO]X@ MNOVESTWA.17.1doweritelxnoe oceniwaniepUSTX (X ; F ; fP ; 2 g) { DOMINIRUEMAQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA I(; U ) { PROSTRANSTWO RE[ENIJ.
pUSTX g() NEKOTORAQ OCENIWAEMAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA I DEJSTWU@]AQ W NEKOTOROE IZMERIMOE PROSTRANSTWO (;; W ). pREDPOLOVIM, ^TO PO REZULXTATAM NABL@DENIJ X = x MYHOTIM "OCENITX" ZNA^ENIE g() S POMO]X@ NEKOTOROGO MNOVESTWA C (x) 2W . w \TOM SLU^AE ESTESTWENNO POLOVITX = W . bUDEM RASSMOTRIM TOLXKOWYROVDENNYE STRATEGIIS (x; D) = 1D (C (x)); D 2 UI OTOVDESTIM IH S MNOVESTWOM C (x) 2 W . rASSMOTRIM FUNKCI@ POTERX(SM. oPREDELENIE 8.2.1) L(; d) WIDA(g ( ) 2 dL(; d) = 0,1, g() 2= d;d 2 W:tOGDA SREDNIE POTERI (SM. oPREDELENIE 8.2.1) RAWNYZWS (; x) = L(; )dS (x; ) = L(; C (x))175lEKCIQ17617I RISK PREDSTAWLQET SOBOJ WEROQTNOSTX "NEPOKRYTIQ" ZNA^ENIQ g() SLU^AJNYM MNOVESTWOM C (X )R(; C ) = E WS (; X ) = E L(; C (X )) = P (g() 2= C (X )):oPREDELENIE 17.1.1.1) sEMEJSTWO MNOVESTW C (x) 2 W ; x 2 X NAZYWAETSQ SEMEJSTWOMDOWERITELXNYH MNOVESTW, ESLIfx : g() 2 C (x)g 2 F ;DLQ WSEH 2 :2) wELI^INAC () = P (g() 2 C (X ))NAZYWAETSQ DOWERITELXNOJ WEROQTNOSTX@, A ^ISLOC = inf ( )2 CNAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM DOWERIQ SEMEJSTWA DOWERITELXNYH MNOVESTW C (x) 2 W ; x 2 X .zAMETIM, ^TO PERWAQ ^ASTX oPREDELENIQ 17.1.1 OZNA^AET PROSTO, ^TOOPREDELENY WEROQTNOSTI WIDAP (g() 2 C (X ));DLQ WSEH 2 :~ASTO WSTRE^AETSQ SITUACIQ, KOGDA ; = R1 ; W = B1, A SEMEJSTWO DOWERITELXNYH MNOVESTW C (x); x 2 X QWLQ@TSQ INTERWALAMI WIDA (a(x); b(x)),TOGDA W \TOM SLU^AE C (x) NAZYWA@TSQ DOWERITELXNYMI INTERWALAMI, A a(x)I b(x) { DOWERITELXNYMI GRANICAMI.
oBY^NO ZADA@TSQ ^ISLOM (BLIZKIM KEDINICE) 1;; 2 (0; 1) I RASSMATRIWA@T TOLXKO TE DOWERITELXNYE MNOVESTWA C (x), DLQ KOTORYH DOWERITELXNAQ WEROQTNOSTX OGRANI^ENA SNIZU \TIM^ISLOM C () 1 ; , DLQ WSEH 2 , TO ESTX OGRANI^IWA@T RISK SWERHUR(; C ) = 1 ; P (g() 2 C (X )) = 1 ; C () 1 ; (1 ; ) = ; 2 :rASSMOTRIM OB]IJ SPOSOB POSTROENIQ DOWERITELXNYH MNOVESTW. pUSTX SNA^ALA g() = 2 I DLQ KAVDOGO POSTROIM MNOVESTWO S 2 F TAKOE, ^TOP (X 2 S ) 1 ; :17.2.cENTRALXNYE STATISTIKI177pOLOVIMC (x) = f : x 2 S g;TOGDA C (X ) { DOWERITELXNOE MNOVESTWO S KO\FFICIENTOM DOWERIQ NE MENX[IM ^EM 1 ; , POSKOLXKUP ( 2 C (X )) = P (X 2 S ) 1 ; :w OB]EM SLU^AE DLQ FUNKCII g() RASSMOTRIM MNOVESTWA Sg ; g 2 ; TAKIE,^TOinf P (X 2 Sg ) 1 ; ; DLQ WSEH g 2 ;:: g()=g pOLOVIMTOGDAC (X ) = fg 2 ; : x 2 Sg g;P (g() 2 C (X )) = P (X 2 Sg() )inf: g()=g()P (X 2 Sg() ) 1 ; :|TOT METOD OSNOWAN NA SAMIH NABL@DENIQH X .
oTMETIM, ^TO \TOT METODPRIMENIM DLQ SLU^AQ PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA ; I , W ^ASTNOSTI, W SLU^AEWEKTORNOGO PARAMETRA . oTMETIM TAKVE, ^TO POLU^AEMOE DOWERITELXNOEMNOVESTWO C (X ) NEODNOZNA^NO, POSKOLXKU PRI ZADANNOM 1 ; MNOVESTWASg MOVNO WYBRATX RAZLI^NYMI SPOSOBAMI I ZADA^A SOSTOIT W POSTROENIIDOWERITELXNOGO MNOVESTWA MINIMALXNYH "RAZMEROW", OBESPE^IWA@]EGO NAIBOLEE TO^NU@ (PRI ZADANNOM 1 ; ) LOKALIZACI@ OCENIWAEMOJ FUNKCII.rASSMOTRIM TEPERX DRUGIE METODY POSTROENIQ DOWERITELXNYH MNOVESTW.17.2metod postroeniq doweritelxnyhinterwalow osnowannyj na centralxnyh statistikah,-rASSMOTRIM DLQ PROSTOTY SLU^AJ SKALQRNOGO PARAMETRA 2 R1oPREDELENIE 17.2.1.wE]ESTWENNAQ FUNKCIQ G(; X ), OPREDELENNAQ NA X , NAZYWAETSQ CENTRALXNOJ STATISTIKOJ, ESLI1) pRI KAVDOM 2 FUNKCIQ RAPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN G(; X )NEPRERYWNA I NE ZAWISIT OT .178lEKCIQ172) dLQ WSEH x 2 X FUNKCIQ G(; x) NEPRERYWNA I STROGO MONOTONNA PO 2 .pOSTROIM DOWERITELXNOE MNOVESTWO S POMO]X@ CENTRALXNOJ STATISTIKI.
pOSKOLXKU E< FUNKCIQ RASPREDELENIQ NEPRERYWNA I NE ZAWISIT OT , TODLQ L@BOGO 2 (0; 1) SU]ESTWU@T ^ISLA 1 < 2 (NE ZAWISQ]IE OT ) TAKIE,^TOP (1 < G(; X ) < 2 ) = 1 ; ; 2 (0; 1); 2 :pOSKOLXKU FUNKCIQ G(; x) STROGO MONOTONNA I NEPRERYWNA PO , TO PRIKAVDOM x 2 X SU]ESTWU@T RE[ENIQ OTNOSITELXNO URAWNENIJG(; x) = 1 ; G(; x) = 2 :(17:2:1)oBOZNA^IM \TI RE[ENIQ ^EREZ u(x) I v(x). pREDPOLOVIM, NAPRIMER, ^TOFUNKCIQ G(; x) STROGO WOZRASTAET PO , TOGDA u(x) < v(x) I SPRAWEDLIWYSOOTNO[ENIQP (u(X ) < < v(X )) = P (G(u(X ); X ) < G(; X ) < G(v(X ); X )) == P (1 < G(; X ) < 2 ) = 1 ; ;TO ESTX MNOVESTWO C (X ) = (u(X ); v(X )) QWLQETSQ DOWERITELXNYM INTERWALOM S KO\FFICIENTOM DOWERIQ 1 ; .
tAKIM OBRAZOM DOKAZANA SLEDU@]AQtEOREMA.tEOREMA 17.2.1.pUSTX G(; X ) { CENTRALXNAQ STATISTIKA I u(x); v(x){ RE[ENIQ PRI KAVDOM x 2 X OTNOSITELXNO URAWNENIJ (17.2.1), GDE1 < 2 I TAKIE, ^TOP (1 < G(; X ) < 2 ) = 1 ; ; 2 (0; 1):tOGDA, ESLI FUNKCIQ G(; x) STROGO WOZRASTAET PO , TO (u(X ); v(X )) {DOWERITELXNYJ INTERWAL S KO\FFICIENTOM DOWERIQ 1 ; . eSLI VE G(; x)STROGO UBYWAET , TO (v(X ); u(X )) { DOWERITELXNYJ INTERWAL S KO\FFICIENTOM DOWERIQ 1 ; .w KAVDOM KONKRETNOM SLU^AE PRI POSTROENII CENTRALXNOJ STATISTIKIPRIHODITSQ U^ITYWATX SPECIFIKU RASSMATRIWAEMOJ MODELI, ODNAKO MOVNOWYDELITX KLASS MODELEJ, DLQ KOTORYH CENTRALXNAQ STATISTIKA WSEGDA SU]ESTWUET I IMEET DOSTATO^NO PROSTOJ WID.tEOREMA 17.2.2.pUSTX NABL@DENIQ X IME@T WID X = (X1 ; ; Xn ),GDE Xi; i = 1; ; n NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY.
pREDPOLOVIM,17.3.iSPOLXZOWANIE FUNKCIJ RASPREDELENIQ179^TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x; ) NABL@DENIQ X1 NEPRERYWNA I STROGOMONOTONNA PO 2 . tOGDA STATISTIKAG(; X ) = ;nXi=1log F (Xi ; )QWLQETSQ CENTRALXNOJ I DOWERITELXNYJ INTERWAL S KO\FFICIENTOM DOWERIQ 1 ; ; 2 (0; 1) IMEET WID (u(X ); v(X )), GDE u(X ) < v(X ) { RE[ENIQOTNOSITELXNO URAWNENIJ;nXi=1log F (Xi ; ) = 1 ; ;nXi=1log F (Xi ; ) = 2(17:2:2)GDE 1 I 2 UDOWLETWORQ@T RAWENSTWU12Zn;1 ;x(n ; 1)! x e dx = 1 ; :1pOSKOLXKU SLAGAEMYE F (Xi ; ) NEZAWISIMY I IME@TRAWNOMERNOE R(0; 1) RASPREDELENIE (SM. tEOREMU 17.3.1), TO RASPREDELENIESTATISTIKI G(; X ) SOWPADAET S GAMMA-RASPREDELENIEM S PARAMETRAMI (1; n).dOKAZATELXSTWO.zAMETIM, ^TO NAIBOLX[AQ TRUDNOSTX W PRIMENENII tEOREMY 17.2.2, WOZNIKAET PRI NAHOVDENII RE[ENIJ URAWNENIJ (17.2.2).17.3postroenie doweritelxnyh mnovestws ispolxzowaniem funkcij raspredeleniq statistik-rASSMOTRIM DRUGOJ METOD POSTROENIQ DOWERITELXNYH MNOVESTW, OSNOWANNYJ NA SLEDU@]EJ tEOREME.tEOREMA 17.3.1.
pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (x), TOGDA DLQ L@BOGO y 2 [0; 1], SPRAWEDLIWY NERAWENSTWAP(F (X + 0) y) y P(F (X ) < y):lEKCIQ18017dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SNA^ALA PRAWOE NERAWENSTWO IZ FORMULIROWKI tEOREMY. nAPOMNIM, ^TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) = P(X < x)NEPRERYWNA SLEWA, TO ESTXF (x) = limF (x ; "); P(X x) = limF (x + ") = F (x + 0):"#0"#0dLQ L@BOGO y 2 [0; 1] OPREDELIM ^ISLO z = supfx : F (x) < yg, TOGDA, ESLIDLQ y = 1, z = 1, TO P(F (X ) < 1) = 1 I DLQ y = 1 UTWERVDENIE DOKAZANO.pO\TOMU BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO z < 1.
pO OPREDELENI@ SUPREMUMA \TO^ISLO OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI1) dLQ L@BOGO " > 0 SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO F (z ; ") < y.2) F (z + ") y.pO\TOMU USTREMLQQ " > 0 K NUL@ W \TIH NERAWENSTWAH, POLU^IM F (z) y F (z + 0). rASSMOTRIM DWA SLU^AQ1) pUSTX F (z ) = y. tOGDAP(F (X ) < y) = P(X < z ) = F (z ) = y:2) pUSTX F (z ) < y, TOGDAP(F (X ) < y) = P(X z) = F (z + 0) y:tO ESTX W L@BOM SLU^AE P(F (x) < yg y I PRAWOE NERAWENSTWO DOKAZANO.dOKAVEM TEPERX LEWOE NERAWENSTWO. s \TOJ CELX@ RASSMOTRIM SLU^AJNU@WELI^INU Y = ;X .
tOGDAG(x) = P(Y < x) = P(X > ;x) = 1 ; F (;x + 0)I PO DOKAZANNOMUx P(G(Y ) < x) = P(F (X + 0) > 1 ; x) = 1 ; P(F (X + 0) 1 ; x);POLAGAQ y = 1 ; x, POLU^IM P(F (X + 0) y) y.sLEDSTWIE 17.3.1. eSLI FUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) NEPRERYWNA, TOP(F (X ) < y) = y = P(F (X ) y);TO ESTX SLU^AJNAQ WELI^INA F (X ) IMEET RAWNOMERNOE RASPREDELENIE F (X ) R(0; 1).17.3.iSPOLXZOWANIE FUNKCIJ RASPREDELENIQ181dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TOP(F (X + 0) y) = P(F (X ) y) P(F (X ) < y):pRIMENIM \TU tEOREMU K POSTROENI@ DOWERITELXNYH MNOVESTW.
s \TOJCELX@ PREDPOLOVIM, ^TO IMEETSQ STATISTIKA T (X ) S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ F (t; ); 2 .tEOREMA 17.3.2. pUSTX STATISTIKA T (X ) IMEET FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (t; ); 2 I ^ISLA 1 2 (0; 1); 2 2 (0; 1) TAKOWY, ^TO 1 + 2 < 1.tOGDA MNOVESTWaC1(X ) = f : F (T (X ); ) < 1 ; 1 g; C2 (X ) = f : F (T (X ) + 0; ) > 2 g;C (X ) = C1 (X ) \ C2 (X )QWLQ@TSQ DOWERITELXNYMI MNOVESTWAMI S KO\FFICIENTAMI DOWERIQ NEMENX[IMI SOOTWETSTWENNO 1 ; 1; 1 ; 2; 1 ; 1 ; 2.dOKAZATELXSTWO. pRIMENIM tEOREMU 17.3.1 S X = T (X ); F (t) = F (t; ).iMEEMP ( 2 C1 (X )) = P (F (T (X ); ) < 1 ; 1 ) 1 ; 1 ;P ( 2 C2 (X )) = P (F (T (X )+0; ) > 2 ) = 1;P (F (T (X )+0; ) 2 ) 1;2 ;P ( 2 C1 (X ) \ C2 (X )) = P (F (T (X ); ) < 1 ; 1 ; F (T (X ) + 0; ) > 2 ) == P (F (T (X ); ) < 1 ; 1 ) ; P (F (T (X ); ) < 1 ; 1 ; F (T (X )+0; ) 2 ) P (F (T (X ); ) < 1 ; 1 ) ; P (F (T (X ) + 0; ) 2 ) 1 ; 1 ; 2 :pRIMER 17.3.1.
pUSTX NABL@DENIQ X IME@T WID X = (X1 ; ; Xn ), GDEXi ; i = 1; ; n { NEZAWISIMY I ODINAKOWO NORMALXNO RASPREDELENYXi N (; 1); i = 1; ; n; 2 = R1 :nAILU^[EJ OCENKOJ DLQ PARAMETRA QWLQETSQT (X ) = X = n1nXi=1pXi N (; 1=n); F (t; ) = ( n(t ; )):pRIMENIM POSLEDN@@ tEOREMU DLQ POSTOROENIQ DOWERITELXNOGO MNOVESTWAC (X ), ISPOLXZUQ STATISTIKU T (X ). iMEEM PRI 1 + 2 < 1ppC1 (X ) = f : ( n(X ; )) < 1 ; 1g = f : n(X ; ) < u1;1 g =lEKCIQ18217u1;1= : > X ; pn = X ; up1;n ; +1 ;pC2 (X ) = f : ( n(X ; )) > 2 g = ;1; X ; upn2 ;up2 ; GDE (u ) = :1;1X;C (X ) = X ; up;nnpUSTX TEPERX NEOBHODIMO POSTROITX DOWERITELXNOE MNOVESTWO DLQ ZNA^ENIJFUNKCII g(), KOTORAQ NE OBQZANA BYTX ODNOZNA^NOJ.
tOGDA WMESTO FUNKCIIF (t; ) DOSTATO^NO RASSMOTRETX FUNKCI@H (t; g) = :ginfF (t; ); g 2 ;()=gI OPREDELITX MNOVESTWAC1 (X ) = fg 2 ; : H (T (X ); g) < 1;1 g; C2 (X ) = fg 2 ; : H (T (X )+0; g) > 2 g;C (X ) = C1 (X ) \ C2 (X ):sPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ tEOREMA.tEOREMA 17.3.3 mNOVESTWA Ci (X ); i = 1; 2; 3, OPREDELENNYE WY[E, QWLQ@TSQ DOWERITELXNYMI MNOVESTWAMI DLQ g() S KO\FFICIENTAMI DOWERIQ NE MENX[E, SOOTWETSTWENNO, ^EM 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 1 ; 1 ; 2 .dOKAZATELXSTWO. dOKAZATELXSTWO tEOREMY POLNOSTX@ ANALOGI^NO DOKAZATELXSTWU tEOREMY 17.3.2. dOKAVEM tEOREMU, NAPRIMER, DLQ MNOVESTWAC1 (X )P (g() 2 C1 (X )) = P (H (T (X ); g()) < 1 ; 1 ) == P inf F (T (X ); ) < 1 ; 1 P (F (T (X ); ) < 1 ; 1 ) 1 ; 1 ::g()=g()17.4asimptoti~eskie doweritelxnyeinterwalypREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET OCENKA Tn = Tn(Xn) PARAMETRA , KOTORAQPRI n ! 1 SOSTOQTELXNA (SM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
