В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 21
Текст из файла (страница 21)
lEKCI@ 12) I ASIMPTOTI^ESKI NORMALXNA SPARAMETRAMI (; 2()), TO ESTX DLQ L@BOGO " > 0P (jTn (Xn ) ; j > ") ! 0; n ! 1;(17:4:1)17.4.IaSIMPTOTI^ESKIE INTERWALY183pP ( n(Tn (Xn ) ; )=() < x) ! (x):(17:4:2)tOGDA SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQtEOREMA 17.4.1. pUSTX WYPOLNENY SOOTNO[ENIQ (17.4.1) I (17.4.2) IFUNKCIQ () NEPRERYWNA PO 2 , TOGDA DLQ L@BOGO 2 (0; 1) INTERWALWIDATn (Xn) ; n;1=2 u1;=2 (Tn (Xn )); Tn (Xn ) + n;1=2u1;=2 (Tn (Xn)) ;GDE (u ) = 2 (0; 1), QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKIM DOWERITELXNYM INTERWALOM S KO\FFICIENTOM DOWERIQ 1 ; , TO ESTXP Tn (Xn );n;1=2 u1;=2 (Tn (Xn )) < < Tn (Xn )+n;1=2 u1;=2 (Tn (Xn ))! 1 ; ;n ! 1;! 2 :dOKAZATELXSTWO.
iZ SOOTNO[ENIQ (17.4.2) SLEDUET, ^TOpP ( njTn (Xn ) ; j=() < u1;=2 ) ! (u1;=2 ) ; (;u1;=2 ) == 2(u1;=2 ) ; 1 = 2 ; ; 1 = 1 ; :pO USLOWI@ FUNKCIQ () NEPRERYWNA, PO\TOMU IZ tEOREMY 12.1.2 SLEDUET,^TOPn(Tn (Xn )) ;!(); n ! 1:tAKIM OBRAZOM, U^ITYWAQ SWOJSTWO SLABOJ SHODIMOSTI, IMEEMpP ( njTn (Xn ) ; j=(Tn (Xn )) < u1;=2 ) ! 1 ; ;n ! 1; 2 :rAZRE[AQ NERAWENSTWA POD ZNAKOM WEROQTNOSTI OTNOSITELXNO , POLU^IMISKOMYJ DOWERITELXNYJ INTERWAL.zAMETIM, ^TO ASIMPTOTI^ESKIJ DOWERITELXNYJ INTERWAL BUDET TEM KORO^E, ^EM "MENX[E" FUNKCIQ 2(), PO\TOMU PRI POSTROENII ASIMPTOTI^ESKIH DOWERITELXNYH INTERWALOW, PO-WIDIMOMU, RAZUMNO ISPOLXZOWATX OCENKITn (Xn ), IME@]IE MINIMALXNU@ DISPERSI@ (SM.
lEKCII 9 { 11).pRIMER17.4.1 pUSTX Xn = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE BERNULLIEWSKIE NABL@DENIQXi B(1; ); 2 = (0; 1); i = 1; ; n:lEKCIQ18417tOGDA OPTIMALXNAQ OCENKA DLQ PARAMETRA IMEET WIDnX1Tn(Xn ) = X = n Xi :i=1u^ITYWAQ zAKON bOLX[IH ~ISEL (lEKCIQ 4, P.6), IMEEMPnTn (Xn ) ;!; n ! 1I W SILU cENTRALXNOJ pREDELXNOJ tEOREMY (lEKCIQ 4, P.5) SPRAWEDLIWOSOOTNO[ENIEp;1=2 (Tn (Xn ) ; ) < x = (x);n((1;))LimPn!1TO ESTX W \TOM SLU^AE 2 () = (1 ; ) I \TA FUNKCIQ NEPRERYWNA.
iTAK,ASIMPTOTI^ESKIJ DOWERITELXNYJ INTERWAL S KO\FFICIENTOM DOWERIQ 1 ; ESTX17.5qqX ; u1;=2 n;1=2 X (1 ; X ); X + u1;=2 n;1=2 X (1 ; X ) :spisok literatury1) |. lEMAN, pROWERKA sTATISTI^ESKIH gIPOTEZ,mOSKWA, nAUKA, 1979, gLAWA 3, < 5.2) l.n.
bOLX[EW, o POSTROENII DOWERITELXNYH PREDELOW,tEORIQ WEROQTNOSTEJ I E< PRIMENENIQ, 1965, T. 10, N. 1, STR. 187 {192.3) l.n. bOLX[EW, |.a. lOGINOW, iNTERWALXNYE OCENKI PRI NALI^II ME[A@]IH PARAMETROW,tEORIQ WEROQTNOSTEJ I E< PRIMENENIQ, 1966, T. 11, N. 1, STR. 94 {107.4) a.a. bOROWKOW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, nAUKA, 1984, gLAWA 2, < 31.5) v.{ r. bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1974, gLAWA 6, < 3, < 4.6) g.i.
iW^ENKO, `.i. mEDWEDEW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, wYS[AQ {KOLA, 1992, gLAWA 2, < 2.6.lEKCIQ 18w lEKCII RASSMATRIWAETSQ WWEDENIE W \MPIRI^ESKU@ BAJESOWSKU@ PROBLEMU RE[ENIJ.18.1struktura bajesowskih re{enijrASSMOTRIM SITUACI@, KOGDA MNOGOKRATNO WOZNIKAET ODNOTIPNAQ STATISTI^ESKAQ ZADA^A, NAPRIMER, ZADA^A PROWERKI GIPOTEZ ILI OCENIWANIQ PARAMETROW.
pRI \TOM W PRO[LOM MNOGOKRATNO NABL@DA@TSQ SLU^AJNYE WELI^INYS PLOTNOSTX@ WIDA (SMESX)ZpQ(x) = p (x)Q():kAK I PRI BAJESOWSKOM PODHODE, BUDEM S^ITATX, ^TO NA ZADANO APRIORNOERASPREDELENIE Q() I PREDPOLOGAETSQ, ^TO KAVDYJ RAZ (NENABL@DAEMYJ) PARAMETR POROVDAETSQ SLU^AJNO W SOOTWETSTWII S \TIM RASPREDELENIEM NA, TO ESTX QWLQETSQ ZNA^ENIEM SLU^AJNOJ WELI^ENY , IME@]EJ RASPREDELENIE Q(). pOSLE \TOGO SLU^AJNAQ WELI^INA X POROVDAETSQ W SOOTWETSTWIIS RASPREDELENIEM, ZADANNYM USLOWNOJ PLOTNOSTX@ p (x) = p(x j = ).
pRIKAVDOM 2 FUNKCIQ p (x) PREDPOLAGAETSQ IZWESTNOJ. zDESX RASSMATRIWAESQ ZADA^A "OCENIWANIQ" TEKU]EGO ZNA^ENIQ .w PROTIWOPOLOVNOSTX ^ISTO BAJESOWSKOJ SHEME ZDESX NET NEOBHODIMOSTITO^NO ZADAWATX APRIORNOE RASPREDELENIE, W SOOTWETSTWII S KOTORYM POROVDAETSQ . pRI \MPIRI^ESKOM BAJESOWSKOM PODHODE NEOBHODIMO TOLXKO OPREDELITX SEMEJSTWO APRIORNYH RASPREDELENIJ, KOTOROMU PRINADLEVIT Q().zADA^A SOSTOIT W TOM, ^TOBY POSTROITX TAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX RE[A@]IH FUNKCIJ (SM.
lEKCI@ 8), KOTORAQ PRI OPREDEL<NNOJ FUNKCII POTERX185186lEKCIQ18BUDET "BLIZKA" K OPTIMALXNOJ BAJESOWSKOJ RE[A@]EJ FUNKCII, A SOOTWETSWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX APRIORNYH RISKOW BUDET "BLIZKA" K BAJESOWSKOMU RISKU. wPERWYE \TOT PODHOD BYL PREDLOVEN g.rOBBINSOM (HerbertRobbins) W 1955 GODU I KOTORYJ NAZWAL EGO \MPIRI^ESKOJ BAJESOWSKOJ PROCEDUROJ (SM.
[1], [2]).iTAK PREDPOLOVIM, ^TO NAM ZADANY1) pARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO S \LEMENTAMI , KOTORYE INTERPRETIRUETSQ KAK "SOSTOQNIQ PRIRODY" I KOTORYE NEIZWESTNY DLQ NAS.2) pROSTRANSTWO RE[ENIJ S \LEMENTAMI , KOTOROE HARAKTERIZUET RE[AEMU@ ZADA^U.3) fUNKCIQ POTERX L(; ) 0, KOTORAQ HARAKTERIZUET "POTERI", KOTORYE MY NES<M WYBIRAQ RE[ENIE W SLU^AE, KOGDA ISTINNOE ZNA^ENIEPARAMETRA ESTX .4) aPRIORNOE RASPREDELENIE Q() NA SLU^AJNOJ WELI^INY , KOTOROEMOVET BYTX KAK IZWESTNYM TAK I NEIZWESTNYM DLQ NAS.5) nABL@DAEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X , ZNA^ENIQ KOTOROJ PRINADLEVATPROSTRANSTWU X , NA KOTOROM OPREDELENA { KONE^NAQ MERA ().
eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA PRINQLA ZNA^ENIE , TO SLU^AJNAQ WELI^INAX IMEET USLOWNU@ PLOTNOSTX p (x) OTNOSITELXNO \TOJ MERY (). bEZUSLOWNAQ PLOTNOSTX X IMEET WID (SMESX)ZpQ(x) = p (x)dQ():pROBLEMA SOSTOIT W TOM, ^TOBY WYBRATX IZMERIMU@ RE[A@]U@ FUNKCI@(x), OPREDEL<NNU@ NA (X ; F ) I PRINIMA@]U@ ZNA^ENIQ W (; U )(x) : X ;! ;MINIMIZIRU@]U@ BAJESOWSKIJ RISK (SM.
lEKCI@ 8). a IMENNO, ESLI NABL@DAETSQ ZNA^ENIE X = x I PRINIMAETSQ RE[ENIE (x), TO IMEEM "SLU^AJNYE"POTERI WIDAL(; (x)):dALEE DLQ DANNOJ RE[A@]EJ FUNKCII () OPREDELIM USLOWNYE SREDNIE POTERI PO FORMULER(; ) = R( j = ) = EL(; (X )) =18.1.sTRUKTURA BAJESOWSKIH RE[ENIJZ= L(; (x))p (x)d (x):187(18:1:1)XuSREDNQQ PO APRIORNOMU RASPREDELENI@ Q() OPREDELIM BAJESOWSKIJ RISK(APRIORNYJ BAJESOWSKIJ RISK) RE[A@]EJ FUNKCII () SOOTWETSTWU@]IJAPRIORNOMU RASPREDELENI@ Q()Zr(; Q) = ER( j ) = R(; )dQ():(18:1:2)pO TEOREME fUBINI BAJESOWSKIJ RISK MOVNO PEREPISATX W WIDEZ Zr(; Q) ==Z ZXXL(; (x))p (x)d (x)dQ() =L(; (x))p (x)dQ() d (x);PO\TOMU, ESLI OPREDELITX FUNKCI@ZhQ (; x) = L(; )p (x)dQ(); 2 ;(18:1:3)TO BAJESOWSKIJ RISK r(; Q) MOVNO PEREPISATX W WIDEZr(; Q) = hQ ((x); x)d (x):X(18:1:4)bUDEM PREDPOLOGATX, ^TO SU]ESTWUET RE[A@]AQ FUNKCIQ Q (x) TAKAQ, ^TOhQ(Q (x); x) = minh (; x):2 Q(18:1:5)tOGDA DLQ L@BOJ RE[A@]EJ FUNKCII (x) SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOZr(Q; Q) = minh (; x)d (x) 2 QXZ hQ((x); x)d (x) = r(; Q):X(18:1:6)lEKCIQ18818pO\TOMU, ESLI OPREDELITX FUNKCIONAL r(Q) OT Q() PO FORMULEZr(Q) = r(Q; Q) = hQ(Q (x); x)d (x);(18:1:7)r(Q) = minr(; Q):2(18:1:8)XTOtAKIM OBRAZOM RE[A@]AQ FUNKCIQ Q(x), OPREDEL<NNAQ W FORMULE (18.1.5),QWLQETSQ BAJESOWSKOJ RE[A@]EJ FUNKCIEJ.18.2|mpiri~eskij bajesowskij podhod-fORMULY (18.1.3) { (18.1.8) MOVNO INTERPRETIROWATX SLEDU@]IM OBRAZOM:PREDPOLOVIM, ^TO APRIORNOE RASPREDELENIE Q() IMEET PLOTNOSTX q() OTNOSITELXNO NEKOTOROJ { KONE^NOJ MERY (), TOGDA OPREDELIM APOSTERIORNU@ PLOTNOSTX SLU^AJNOJ WELI^INY PO FORMULEq( j X = x) = q( j x) = pp(x)(qx()) ;QTOGDA WYRAVENIQ (18.1.3) I (18.1.4) MOVNO PEREPISATX W SLEDU@]EM WIDEZhQ(; x) = pQ(x) L(; )q( j x)d() pQ(x)hQ ( j X = x);Zr(; Q) = pQ(x)hQ ((x) j X = x)d (x) =ZXZ= pQ(x)XL(; (x))q( j x)d() d (x):(18:2:1)pRI \TOM IZ OPREDELENIQ (18.1.5) RE[A@]EJ FUNKCII Q(x) I \TIH FORMULSLEDUET, ^TO W FORMULE (18.1.5) MOVNO hQ(; x) ZAMENITX NA hQ( j X = x).tAKIM OBRAZOM OPTIMALXNAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ Q(x) OPREDELQETSQ NA OSNOWE APOSTERIORNOGO RASPREDELENIQ S PLOTNOSTX@ q( j X = x) I BAJESOWSKIJ RISK r(; Q) MOVET BYTX ZAPISAN W WIDEr(; Q) = Er(; Q j X );18.2.|MPIRI^ESKIJ BAJESOWSKIJ PODHOD189GDE r(; Q j X ) { APOSTERIORNYJ RISKZr(; Q j X = x) = L(; (x))q( j x)d()I SLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET PLOTNOSTX WIDAZpQ (x) = p (x)dQ():iTAK, POSLE NABL@DENIQ ZNA^ENIQ X = x APRIORNOE RASPREDELENIE Q() SPLOTNOSTX@ q() "ZAMENQETSQ" APOSTERIORNYM RASPREDELENIEM S PLOTNOSTX@ q( j X = x) I OPTIMALXNAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ Q(x) POLU^AETSQPUT<M MINIMIZACII BAJESOWSKOGO APOSTERIORNOGO RISKA r(d; Q j X = x),A APRIORNYJ RISK r(; Q) POLU^AETSQ USREDNENIEM APOSTERIORNOGO RISKAr(; Q j X = x) PO RASPREDELENI@ S PLOTNOSTX@ pQ(x).
|TI FAKTY WAVNYDLQ INTERPRETACII OPISANNOJ NIVE SHEMY.oPREDELENIE 18.2.1. l@BAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ Q (x), UDOWLETWORQ@]AQ SOOTNO[ENI@ (18.1.5) I MINIMIZIRU@]AQ BAJESOWSKIJ RISK r(; Q) PRIAPRIORNOM RASPREDELENII Q(), NAZYWAETSQ BAJESOWSKOJ RE[A@]EJ FUNKCIEJ SOOTWETSTWU@]EJ APRIORNOMU RASPREDELENI@ Q(). fUNKCIONAL r(Q)OT Q(), OPREDELENNYJ RAWENSTWOM (18.1.7) NAZYWAETSQ BAJESOWSKIM OGIBA@]IM FUNKCIONALOM.eSLI APRIORNOE RASPREDELENIE Q() IZWESTNO, TO ISPOLXZUQ Q(x) MYPOLU^IM MINIMALXNYJ BAJESOWSKIJ RISK r(Q).pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO APRIORNOE RASPREDELENIE Q() NE IZWESTNO, NORASSMATRIWAEMAQ SITUACIQ NABL@DAETSQ MNOGOKRATNO I NEZAWISIMO.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
