В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 23
Текст из файла (страница 23)
lEKCIQ 4, P.6), ^TOP ; nLim!1 un (x) = E(x; X1 ) = pQ(x); x = 0; 1; 2; :pO\TOMU ESLI POLOVITX (SM. (19.2.6))n (x) = un (x) ; (x + 1)un (x + 1);TO NEPOSREDSTWENNO IZ SOOTNO[ENIQ (19.2.10) SLEDUET, ^TOP ; nLim!1 n (x) =(19:2:9)(19:2:10)(19:2:11)19.2.sLU^AJ RASPREDELENIQ pUASSONA199= pQ (x) ; (x + 1)pQ (x + 1) = Q(x); x = 0; 1; 2; :(19:2:12)tEPERX IZ sLEDSTWIQ 19.1.2 SLEDUET, ^TO ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNAQ RE-[A@]AQ FUNKCIQ IMEET WID(+ 1)un (x + 1) 0;n (x) = 0 ;; ESLI un(x) ; (WxPROTIWNOM(19:2:13)SLU^AE1DLQ WSEH APRIORNYH RASPREDELENIJ Q(), OBLADA@]IH SWOJSTWOM+Z10dQ() < +1:(19:2:14)zAMETIM, ^TO MOVNO BYLO BY OPREDELITX un(x) KAK (SM. (19.2.8))un(x) = n +1 1nX+1j =1(x; xj );(19:2:15)TOGDA SOOTNO[ENIE (19.2.10) WYPOLNQETSQ DLQ FUNKCII un(x), OPREDEL<NNOJPO FORMULE (19.2.15).
iSPOLXZUQ (19.2.15), SOOTWETSTWU@]AQ ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ IMEET WID: MY DOLVNY PRINQTX GIPOTEZU H0 (RE[ENIE 0 ), KASA@]U@SQ PARAMETRA n+1, ESLINABL@DENIJ x1 ; ; xn+1 RAWNYH xn+1 + 1 : (xn+1 + 1) ^ISLO^ISLO NABL@DENIJ x1; ; xn+1 RAWNYH xn+1sOOTNO[ENIE (19.2.6) QWLQETSQ OSNOWNYM DLQ POSTROENIQ n(x), UDOWLETWORQ@]EGO (19.1.18). oDNAKO, SOOTNO[ENIE (19.2.6) QWLQETSQ SPECIFI^ESKIMSWOJSTWOM RAPREDELENIQ pUASSONA (19.2.1) I FUNKCII POTERX (19.2.2) I PO\TOMU MOVET POKAZATXSQ, ^TO PRIMENENIE sLEDSTWIQ 19.1.2 K PROWERKE GIPOTEZ WESXMA OGRANI^ITELXNO, ODNAKO \TO NE TAK. w SLEDU@]EJ lEKCII BUDETRAZWITA OB]AQ TEORIQ.zADA^A.
rASSMOTRIM TAKVE ZADA^U PROWERKI ODNOSTORONNEJ GIPOTEZYWIDAH0 : O PARAMETRE GEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ (ZNA^ENIE 2 (0; 1) IZWESTNO). pUSTX = f : 0 < < 1g; = f0 ; 1 g;GDE RE[ENIQ 0 I 1 INTERPRETIRU@TSQ KAK0 ; "PRINQTX GIPOTEZU H0"; 1 ; "OTWERGNUTX GIPOTEZU H0 ":lEKCIQ200dALEE19X = f0; 1; 2; g; p (x) = (1 ; )xI () { S^ITA@]AQ MERA NA DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ R1 . oPREDELIM TEPERXFUNKCI@ POTERX( ;L(; 0 ) = 0;; ; ESLIESLI ;(ESLI ;L(; 1 ) = 0; ; ; ESLI :nAJTI ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNU@ RE[A@]U@ FUNKCI@ OTNOSITELXNOKLASSA WSEH APRIORNYH RASPREDELENIJ Q() TAKIH, ^TOZ1019.3dQ() < +1:spisok literatury1) H. Robbins, The empirical Bayes approach to statistical decision problems,Ann.
Math. Statist., 1964, v.35, p. 1{ 20.2) J.S. Maritz, Empirical Bayes Methods,Methuen and Co LTD, London, 1970, Chapter 1.3) {. zAKS, tEORIQ sTATISTI^ESKIH wYWODOW,mOSKWA, nAUKA, 1975, gLAWA 6, < 6.9.lEKCIQ 20w lEKCII RASSMOTREN ODIN IZ WOZMOVNYH METODOW OCENKI APRIORNOGO RASPREDELENIQ.20.1ocenka apriornogo raspredeleniqob}ij slu~aj:rASSMOTRIM BOLEE PODROBNO OB]U@ SHEMU \MPIRI^ESKOGO BAJESOWSKOGO PODHODA, OPISANNU@ W sLEDSTWIQH 19.1.1 I 19.1.2.
dLQ PROSTOTY PREDPOLOVIM,^TO = f0 ; 1 g; X = = R1 :nAPOMNIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX = fn g RE[A@]IH FUNKCIJ QWLQETSQASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNOJ OTNOSITELXNO KLASSA APRIORNYH RASPREDELENIJ Q(), OPREDEL<NNOGO SOOTNO[ENIEM (19.1.17)()Z = Q() : L(; j )dQ() < +1; j = 0; 1 ;ESLI MOVNO NAJTI POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJn (x) = n (x1 ; ; xn ; x);TAKU@, ^TOZP ; nLim!1 n (x) = Q(x) = [L(; 1 ) ; L(; d0 )]p (x)dQ(); ; P.W. (20:1:1)DLQ WSEH Q 2 .201lEKCIQ20220oDIN IZ WOZMOVNYH PUTEJ POSTROENIQ TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI (OTLI^NYJ OT OPISANNOGO W lEKCII 19) SOSTOIT W NAHOVDENII POSLEDOWATELXNOSTISLU^AJNYH FUNKCIJ RASPREDELENIQQn() = Qn(x1 ; ; xn ; );TAKOJ, ^TOP nLimQ()=Q();WKAVDOJTO^KENEPRERYWNOSTIQ()= 1; (20:1:2)n!1TO ESTX POSLEDOWATELXNOSTX Qn() SHODITSQ PO^TI WS@DU K Q() SLABO.
zDESXMY OBOZNA^ILI FUNKCI@ RASPREDELENIQ, SOOTWETSTWU@]U@ APRIORNOMU RASPREDELENI@ Q(), ^EREZ Q(). iMEQ TAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX Qn(), POLOVIMZ(20:1:3)n (x) = [L(; 1 ) ; L(; 0 )]p (x)dQn ():tEPERX, ESLI PREDPOLOVITX, ^TO DLQ { PO^TI WSEH x 2 X FUNKCIQ[L(; 1 ) ; L(; 0 )]p (x)(20:1:4)OGRANI^ENA I NEPRERYWNA PO , TO IZ OPREDELENIQ SLABOJ SHODIMOSTI SLEDUETSOOTNO[ENIE (20.1.1). zAMETIM, ^TO ZDESX WOZNIKAET OSNOWNAQ TRUDNOcTX WPOSTROENII TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI Qn(), POSKOLXKU MY NABL@DAEM SLU^AJNYE WELI^INY (X1 ; ; Xn ), IME@]IE FUNKCII RASPREDELENIQ FQ(x), ANE NEZAWISIMYE KOPII SLU^AJNOJ WELI^INY , IME@]IE FUNKCI@ RASPREDELENIQ Q().rASSMOTRIM TAK NAZYWAEMYJ METOD "MINIMUMA RASSTOQNIQ", PREDLOVENNYJ wOLFOWICEM (J. Wolfowitz), POSTROENIQ POSLEDOWATELXNOSTI OCENOKQn() FUNKCII RASPREDELENIQ Q(), UDOWLETWORQ@]EJ RAWENSTWU (20.1.2)DLQ L@BOGO Q 2 .s \TOJ CELX@ OSLABIM USLOWIQ REGULQRNOSTI NA SEMEJSTWO PLOTNOSTEJp (x) I BUDEM PREDPOLOGATX LI[X, ^TO SOOTWETSTWU@]IE FUNKCII RASPREDELENIQ F (x; ); 2 QWLQ@TSQ PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM x 2 X = R1BORELEWSKIMI FUNKCIQMI.
(fUNKCIQ F (x), OPREDEL<NNAQ PRI x 2 X , NAZYWAETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ, ESLI ONA NEUBYWAET, NEPRERYWNA SLEWA Ilimx!;1 F (x) = 0, limx!+1 F (x) = 1.)dLQ L@BOJ FUNKCII RASPREDELENIQ Q() OPREDELIM SMESX FUNKCIJ RASPREDELENIQ F (x; ) PO FORMULEFQ (x) =+Z1;1F (x; )dQ();(20:1:5)20.1.oCENKA APRIORNOGO RASPREDELENIQTOGDA FQ(x) TAKVE QWLQETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ NA X .pUSTX (X1 ; ; Xn ) QWLQ@TSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ NEZAWISIMYH ODINAKOWO RASPREDEL<NNYH SLU^AJNYH WELI^IN S OB]EJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQFQ (x). oPREDELIM \MPIRI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ Fn (x) (SM. lEKCIQ6, pRIMER)Fn (x) = ^ISLO X1 ; ; Xn n MENX[IH x(20:1:6)I DLQ L@BYH DWUH FUNKCIJ RASPREDELENIQ F1 (x); F2 (x) OPREDELIM RASSTOQNIE(F1 ; F2 ) = sup jF1 (x) ; F2 (x)j:(20:1:7)xpUSTX 0 < "n { PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX, STREMQ]AQSQ K NUL@.dLQ PROIZWOLXNOGO KLASSA APRIORNYH RASPREDELENIJ Q (), SODERVA]EGO"ISTINNOE" APRIORNOE RASPREDELENIE Q(), OPREDELIM WELI^INUn = inf (Fn ; FQ ):(20:1:8)Q2203pUSTXQn() = Qn(x1 ; ; xn ; );L@BOJ \LEMENT IZ MNOVESTWA , UDOWLETWORQ@]IJ NERAWENSTWU(Fn ; FQn ) n + "n :(20:1:9)bUDEM NAZYWATX TAK OPREDEL<NNU@ POSLEDOWATELXNOSTX Qn() \FFEKTIWNOJDLQ KLASSA , ESLI SOOTNO[ENIE (20.1.2) WYPOLNENO DLQ WSEH Q 2 .tEOREMA 20.1.1.
pREDPOLOVIM, ^TO1) dLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO x 2 R1 FUNKCII RASPREDELENIQ F (x; )NEPRERYWNY PO 2 .2) pREDELY WIDAF;1 (x) = !;1lim F (x; ); F+1 (x) = !limF (x; )+1SU]ESTWU@T DLQ WSEH x.3) fUNKCII F;1 (x) I F+1 (x) NE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI RASPREDELENIQ.4) eSLI Q1 () I Q2 () L@BYE FUNKCII RASPREDELENIQ TAKIE, ^TOFQ1 (x) FQ2 (x);lEKCIQ20420TO IQ1() Q2 ():(|TO TAK NAZYWAEMOE SWOJSTWO RAZDELIMOSTI ILI IDENTIFICIRUEMOSTI SMESEJ.)tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX Qn(), OPREDELENNAQ SOOTNO[ENIEM (20.1.9),QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ DLQ KLASSA WSEH APRIORNYH RASPREDELENIJ.dOKAZATELXSTWO. pO tEOREME gLIWENKO { kANTELLI (SM.
[4], STR. 28),IMEEMP nLim(F;F)=0= 1:(20:1:10)nQ!1dALEE, POSKOLXKU(FQn ; FQ) (FQn ; Fn ) + (Fn ; FQ ) (20:1:11) n + "n + (Fn ; FQ) (Fn ; FQ ) + "n + (Fn; FQ );PO\TOMU IZ SOOTNO[ENIQ (20.1.10) SLEDUET, ^TO S WEROQTNOSTX@ EDINICA, RAWNOMERNO PO x, SPRAWEDLIWO RAWENSTWOnLim!1 FQn (x) = nLim!1+Z1;1= FQ (x) =F (x; )dQn () =(20:1:12)+Z1;1F (x; )dQ():tEPERX DOKAVEM, ^TO WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE (20.1.2).
dLQ \TOGO RASSMOTRIM FIKSIROWANNU@ POSLEDOWATELXNOSTX X1 = x1 ; ; Xn = xn TAKU@, ^TOWYPOLNQETSQ RAWENSTWO (20.1.12). iZ tEOREMY hELLI (SM. [3], STR. 340) SLEDUET, ^TO IZ L@BOJ PODPOSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ RASPREDELENIQ Qn()MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX Qkn () TAKU@, ^TOQkn () ! Q ()W KAVDOJ TO^KE NEPRERYWNOSTI Q(), GDE Q() { NEUBYWA@]AQ, NEPRERYWNAQ SLEWA FUNKCIQ TAKAQ, ^TO0 Q (;1) Q (+1) 1:oCENKA APRIORNOGO RASPREDELENIQ20.1.pO\TOMU OPREDELQQ FUNKCI@ RASPREDELENIQ8>ESLI x = +1;< 1;Q~ () = > Q (); ESLI ; 1 < x < +1;:0;ESLI x = ;1;IZ OPREDELENIQ SLABOJ SHODIMOSTI I pREDPOLOVENIJ (1) I (2) SLEDUET, ^TOnLim!1=+Z1;1+Z1;1F (x; )dQkn () =+Z1;1F (x; )dQ~ () =F (x; )dQ () + Q (;1)F;1 (x) + (1 ; Q (+1))F+1 (x) (20:1:13)I PO\TOMU IZ (20.1.12) SLEDUET, ^TO+Z1;1F (x; )dQ() =+Z1;1F (x; )dQ ()+Q (;1)F;1(x)+(1;Q (+1))F+1 (x):(20:1:14)eSLI MY POKAVEM, ^TOQ(;1) = 0 I Q (+1) = 1;TO IZ pREDPOLOVENIQ (4) BUDET SLEDOWATX , ^TOQ() Q ()I ZNA^IT Q() QWLQETSQ SLABYM PREDELOM L@BOJ SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTI Qn() I PO\TOMU SPRAWEDLIWO (20.1.2).
iTAK DLQ ZAWER[ENIQDOKAZATELXSTWA tEOREMY DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO IZ pREDPOLOVENIQ (3)SLEDUET, ^TOQ(;1) = 0 I Q (+1) = 1:pOSKOLXKU F;1(x) QWLQETSQ PREDELOM PRI ! ;1 FUNKCIJ F (x; ), TOF;1(x) QWLQETSQ NEUBYWA@]EJ FUNKCIEJ x TAKOJ, ^TO0 F;1 (;1) F;1 (+1) 1:(20:1:15)aNALOGI^NOE NERAWENSTWO SPRAWEDLIWO I DLQ F+1(x). pUSTX TEPERX W RAWENSTWE (20.1.14) x ! ;1. tOGDA PO tEOREME O MAVORIRUEMOJ SHODIMOSTI(lEKCIQ 2, P. 8), IMEEM0 = Q (;1)F;1 (;1) + (1 ; Q (+1))F+1 (;1):(20:1:16)205lEKCIQ20620pO\TOMU, ESLIQ(;1) 6= 0;TO F;1(;1) = 0 I ESLI Q(+1) 6= 1, TO F+1(;1) = 0. aNALOGI^NO POLAGAQx ! +1 W (20.1.14) MY WIDIM, ^TO ESLI Q (;1) 6= 0, TO F;1 (+1) = 1 IESLI Q(+1) 6= 1, TO F+1(+1) = 1.pUSTX TEPERX an L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX ^ISEL, SHODQ]AQSQ K a SLEWA.tOGDA IZ (20.1.14), POLAGAQ x = an; n ! +1 I WY^ITAQ (20.1.14) S x = a,POLU^IMQ (;1)(F;1 (a) ; F;1 (a ; 0)) + (1 ; Q(+1))(F+1 (a) ; F+1 (a ; 0)) = 0:(20:1:17)sLEDOWATELXNO, ESLI Q (;1) 6= 0, TO F;1(a;0) = F;1 (a), I ESLI Q(+1) 6=1, TO F+1 (a ; 0) = F+1 (a).
tAKIM OBRAZOM, ESLI Q (;1) 6= 0, TO F;1 (x)QWLQETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ I ESLI Q(+1) 6= 1, TO F+1(x) TAKVEFUNKCIQ RASPREDELENIQ. ~TO PROTIWORE^IT pREDPOLOVENI@ (3). iTAK POLU^AEMQ (;1) = 0 I Q (+1) = 1:20.2primerypRIMER 20.2.1. (PARAMETR SDWIGA) pUSTX F (x) { NEPRERYWNAQ FUNKCIQ RAS-PREDELENIQ S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ NIGDE NE OBRA]A@]EJSQ W NOLXfF (t) =+Z1;1eitx dF (x) 6= 0;DLQ WSEH t:(20:2:1)pOLOVIMF (x; ) = F (x ; ):tOGDA pREDPOLOVENIQ (1), (2), (3) tEOREMY 20.1.1 WYPOLNQ@TSQ.
pROWERIMSPRAWEDLIWOSTX pREDPOLOVENIQ (4). eSLI Q1(); Q2() DWE FUNKCII RASPREDELENIQ TAKIE, ^TO FQ1 (x) FQ2 (x), TO ESTX+Z1;1F (x ; )dQ1 () =+Z1;1F (x ; )dQ2 ();DLQ WSEH x;(20:2:2)20.2.pRIMERY207TOGDA (POSKOLXKU \TI INTEGRALY QWLQ@TSQ SW<RTKAMI)fF (t)fQ1 (t) = fF (t)fQ2 (t);DLQ WSEH t;(20:2:3)I ZNA^ITfQ1 (t) = fQ2 (t);DLQ WSEH t;(20:2:4)TO ESTX Q1 () Q2 (). tAKIM OBRAZOM pREDPOLOVENIE (4) TAKVE WYPOLNQETSQ I ZNA^IT SOGLASNO tEOREMY 20.1.1 POSLEDOWATELXNOSTX Qn(), OPREDEL<NNAQ SOOTNO[ENIEM (20.1.9) QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ OTNOSITELXNO KLASSA WSEH APRIORNYH RASPREDELENIEJ Q().zAMETIM TAKVE, ^TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NORMALXNOGO ZAKONATAKVE UDOWLETWORQET SOOTNO[ENI@ (20.2.1).w SLU^AE, ESLI PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO NE QWLQETSQ WSEJ DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ R1 UTWERVDENIE I DOKAZATELXSTWO tEOREMY 20.1.1 NUVDA@TSQ W MODIFIKACII.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
