В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 25
Текст из файла (страница 25)
dLQ OCENKI 2 = = [0; 1], PUSTX FUNKCIQ POTERX IMEET WIDL(; ) = ( ; )2 :rE[A@]AQ FUNKCIQ (x) OPREDELQETSQ DWUMQ POSTOQNNYMI (0); (1), KOTORYE PRINADLEVAT EDINI^NOMU INTERWALU = [0; 1]. uSLOWNYE SREDNIE POTERI, PRI ISPOLXZOWANII RE[A@]EJ FUNKCII (x) PRI DANNOM , IME@T WID(SM. (18.1.1))R(; ) = (1 ; )( ; (0))2 + ( ; (1))2 =(21:2:1)= 2 (0) + [2 (1) ; 2(0) ; 2 (0)] + [1 ; 2(1) + 2(0)]2 :rASSMOTRIM KLASS RE[A@]IH FUNKCIJ (x), ZAWISQ]IH OT PARAMETRA 2(0; 1) I OPREDEL<NNYH KAK (0) = ; (1) = 1 + :(21:2:2)22iZ RAWENSTWA (21.2.1) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO2R(; ) = + (1 ; 2) :4(21:2:3)oBOZNA^IM (x) PRI = 1=2 ^EREZ (x), TO ESTX (0) = 14 ; (1) = 34 ;1 ; DLQ WSEH :R(; ) = 16(21:2:4)dLQ L@BOGO APRIORNORGO RASPREDELENIQ Q() SLU^AJNOJ WELI^INY , POLOVIMZ1i = idQ(); i = 1; 2:(21:2:5)0tOGDA IZ (21.2.1) SLEDUET, ^TO DLQ L@BOJ RE[A@]EJ FUNKCII (x) SPRAWEDLIWO RAWENSTWOZ1r(; Q) = R(; )dQ() =0(21:2:6)21.2.pRIMER219= (0) + 1 [2 (1) ; 2(0) ; 2 (0)] + 2 [1 ; 2(1) + 2(0)]:iSKL@^AQ TRIWIALXNYE SLU^AI, KOGDA 1 = 0 ILI 1 = 1, POSLE NEKOTORYHWY^ISLENIJ, OTS@DA SLEDUET, ^TO2r(; Q) = (1 ; (12 )(;2 ;) 1 ) +1(21:2:7)1+(1 ; 1 ) (0) ; 11;;2 + 1 (1) ; 2 ;2211PO\TOMU PRI DANNOM APRIORNOM RASPREDELENII Q() BAJESOWSKIJ RISK r(; Q)DOSTIGAET EDINSTWENNOGO MINIMUMA NA BAJESOWSKOJ RE[A@]EJ FUNKCII Q(x)WIDAQ (0) = 11;;2 ; Q (1) = 2 ;(21:2:8)11PRI^<M2(21:2:9)r(Q) = r(Q ; Q) = (1 ; (12 )(;2 ;) 1 ) :11kAVDAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ (x) (W ^ASTNOSTI I (x)) QWLQETSQ BAJESOWSKOJRE[A@]EJ FUNKCIEJ, OTNOSITELXNO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() TAKOGO,^TO1 ; 2 = ; 2 = 1 + :(21:2:10)1 ; 1 2 1tAKIM APRIORNYM RASPREDELENIEM Q , NAPRIMER, QWLQETSQ BETA { RASPREDELENIE S PLOTNOSTX@[B (; 1 ; )];1 ;1 (1 ; )(1;);1 ;(21:2:11)DLQ KOTOROGO1 = ; 2 = (1 2+ ) ; r(Q ) = (1 4; ) :(21:2:12)tOT FAKT, ^TO (x) QWLQETSQ BAJESOWSKOJ RE[A@]EJ FUNKCIEJ PRI APRIORNOM RASPREDELENII Q1=2 I TO, ^TO DLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQQ() SPRAWEDLIWO TOVDESTWOr( ; Q) =Z101R(; )dQ() = 16(21:2:13)220lEKCIQ21IMEET WAVNOE SLEDSTWIE WIDA1 DLQ KAVDOJ RE[A@]EJ FUNKCII (x) 6= (x): (21:2:14)sup r(; Q) > 16QtAKIM OBRAZOM, ESLI DLQ NEKOTOROJ RE[A@]EJ FUNKCII 0 (x) SPRAWEDLIWONERAWENSTWO1;sup r(0 ; Q) 16QTO, W ^ASTNOSTI,1 = r( ; Q ) r(0 ; Q ) 1(21:2:15)1=21=21616I ZNA^IT1;r( ; Q1=2 ) = r(0 ; Q1=2 ) = 16(21:2:16)PO\TOMU 0 (x) = (x).
oTS@DA SLEDUET, ^TO RE[A@]AQ FUNKCIQ (x) QWLQETSQ EDINSTWENNOJ MINIMAKSNOJ RE[A@]EJ FUNKCIEJ W TOM SMYSLE, ^TO ONAMINIMIZIRUET MAKSIMUM, PO WSEM APRIORNYM RASPREDELENIQM Q(), BAJESOWSKOGO RISKA. kOGDA NI^EGO NE IZWESTNO OB APRIORNOM RASPREDELENII Q(), TORAZUMNO ISPOLXZOWATX MINIMAKSNU@ RE[A@]U@ FUNKCI@ (x), PRI \TOMBAJESOWSKIJ RISK WSEGDA BUDET RAWNQTXSQ 1=16, NEZAWISIMO OT APRIORNOGORASPREDELENIQ Q(). eSLI NEKOTORAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ (x) 6= (x), TOBAJESOWSKIJ RISK BUDET > 1=16 DLQ NEKOTOROGO APRIORNOGO RASPREDELENIQQ() (W ^ASTNOSTI, DLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() S 1 = 1=2 I2 = 3=8, NAPRIMER, DLQ Q1=2 ()).dLQ L@BOGO 0 < < 1 OBOZNA^IM ^EREZ G KLASS WSEH APRIORNYH RASPREDELENIJ Q() TAKIH, ^TO 1(Q) = .
dLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQQ() IZ G (W ^ASTNOSTI DLQ Q ()) IZ SOOTNO[ENIJ (21.2.2) I (21.2.7), POSLENEKOTORYH PREOBRAZOWANIJ, SLEDUET, ^TO(21:2:17)r( ; Q) = (1 2; ) ; DLQ L@BOGO Q 2 G ;NEZAWISIMO OT ZNA^ENIQ 2 (Q). pO\TOMU TAK VE, KAK I WY[Esup r(; Q) > (1 4; ) DLQ KAVDOJ RE[A@]EJ FUNKCII (x) 6= (x);Q2G(21:2:18)PO\TOMU OTNOSITELXNO KLASSA G RE[A@]AQ FUNKCIQ (x) QWLQETSQ EDINSTWENNOJ MINIMAKSNOJ RE[A@]EJ FUNKCIEJ W TOM SMYSLE, ^TO ONA MINIMIZIRUET MAKSIMUM BAJESOWSKOGO RISKA, WZQTYJ PO KLASSU G.
eSLI NI^EGO21.2.pRIMER221NE IZWESTNO OB APRIORNOM RASPREDELENII Q() KROME TOGO, ^TO 1 (Q) = , TORAZUMNO ISPOLXZOWATX RE[A@]U@ FUNKCI@ (x), POSKOLXKU DLQ NE< BAJESOWSKIJ RISK BUDET RAWNQTXSQ(1 ; ) ;4W TO WREMQ, KAK DLQ L@BOJ DRUGOJ RE[A@]EJ FUNKCII BAJESOWSKIJ RISKBUDET > (14;) DLQ NEKOTOROGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() (W ^ASTNOSTI,DLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() S (Q) = ; (Q) = (1 + ) ;122TO ESTX, NAPRIMER, DLQ Q ()).iZ PREDYDU]EGO SLEDUET, ^TO (WPRO^EM, \TO MOVET BYTX PROWERENO INEPOSREDSTWENNO)(1 ; 2 )(2 ; 21 ) 1 (1 ; 1 ) 1 :(21:2:19)1 (1 ; 1 )416pRI^<M RAWENSTWA DOSTIGAETSQ TOLXKO, ESLI SOOTWETSTWENNO = 1 (1 + 1 ) I = 1 :2122pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO APRIORNOE RASPREDELENIE Q() NAM NE IZWESTNO,MY HOTIM "OCENITX" NEIZWESTNOE ZNA^ENIE I IMEEM NEZAWISIMYE NABL@DENIQ (X1 ; ; Xn) PRI^<MP(X1 = 1) =Z1Z10dQ() = 1(Q);P(X1 = 0) = (1 ; )dQ() = 1 ; 1 (Q):0(21:2:20)tAKIM OBRAZOM RASPREDELENIE Xi ZAWISIT TOLXKO OT 1(Q).
pOSKOLXKU BAJESOWSKAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ Q(x), OPREDEL<NNAQ SOOTNO[ENIEM (21.2.8), ZAWISIT TAK VE I OT 2 (Q), TO OTS@DA SLEDUET, ^TO NE SU]ESTWUET ASIMPTOTI^ESKI OTIMALXNOJ, OTNOSITELXNO L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() IZKLASSA G, RE[A@]EJ FUNKCII n(x), ESLI TOLXKO 2 NE QWLQETSQ FUNKCIEJlEKCIQ222211 W KLASSE G. w PRAKTI^ESKIH PRILOVENIQH 2 REDKO QWLQETSQ FUNKCIEJ 1 , PO\TOMU TIPI^NYM OBRAZOM ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNOJ RE[A@]EJFUNKCII NE SU]ESTWUET.s DRUGOJ STORONY, PUSTXun = n1nXi=1Xi;(21:2:21)I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX RE[A@]IH FUNKCIJ ~(x) = fn (x)g WIDA (0) = un ; (1) = 1 + un(21:2:22)nn22w SILU zAKONA bOLX[IH ~ISEL, DLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q()IZ KLASSA G S WEROQTNOSTX@ EDINICA PRI n ! 1un ! I ZNA^ITn (x) ! (x):w DEJSTWITELXNOSTI, POSKOLXKUEXi = = EXi2 ;TODXi = (1 ; );(1 ; ) + 2nI ZNA^IT IZ SOOTNO[ENIQ (21.2.6) SLEDUET, ^TOEun = ; Eu2n = Dun + 2 =(21:2:23)(21:2:24) 222u1+2u+uunnnn~rn ( ; Q ) = E 4 + ;un ; 4 +2(1;1;un +un) = (21:2:25)41:= 14 E[u2n ; 2un + ] = (1 ; 4n)(n + 1) = r( ; Q) n +ntAKIM OBRAZOM PRI BOLX[IH n ISPOLXZUQ RE[A@]U@ FUNKCI@ ~ MY BY POLU^ILI PO^TI TAKOJ VE RISK, KAK ESLI BY ZNALI 1 (Q) = I ISPOLXZOWALIRE[A@]U@ FUNKCI@ (x).
bOLEE TOGO, DLQ L@BOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q 2 Grn(~; Q) ; r( ; Q) = (14;n ) 161n ;(21:2:26)21.2.pRIMER223W TO WREMQ, KAKn + 1) ; 1 =rn (~; Q) ; r( ; Q) = (1 ; 4)(n16(21:2:27)) := ; (1 ;162) + (14;n|TOT PRIMER ILL@STRIRUET SITUACI@, KOGDA ASIMPTOTI^ESKI OPTIMALXNAQ RE[A@]AQ FUNKCIQ NE SU]ESTWUET, LIBO SU]ESTWUET, NO RISK r(; Q)SLI[KOM MEDLENNO SHODITSQ K r(Q) I STOIT ISPOLXZOWATX PO KRAJNEJ MEREASIMPTOLTI^ESKI "SUBMINIMAKSNU@" RE[A@]U@ FUNKCI@.222421.3lEKCIQ21spisok literatury1) H. Robbins, The empirical Bayes approach to statistical decision problems,Ann.
Math. Statist., 1964, v.35, p. 1{ 20.2) J.S. Maritz, Empirical Bayes Methods,Methuen and Co LTD, London, 1970, Chapter 2.lEKCIQ 22lEKCIQ SODERVIT ZADA^I, DOPOLNQ@]IE TEORI@, IZLOVENNU@ W PREDYDU]IH lEKCIQH.22.1zada~i1) pUSTX X = fx1 ; x2 ; g, () { S^ITA@]AQ MERA NA X A f (x) INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ.
dOKAZATX, ^TOZXf (x)d (x) =Xi1f (xi):2) pUSTX (X ; F ; ) ESTX PROSTRANSTWO S MEROJ, I PUSTX A { KLASS WSEHMNOVESTW WIDA F [ C , GDE F 2 F I C ESTX PODMNOVESTWO MNOVESTWAA 2 F S (A) = 0. dOKAZATX, ^TO A ESTX { ALGEBRA.3) pUSTX I { { KONE^NYE MERY NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; F )I MERA ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO , TOGDAZXZf (x)d(x) = f (x) dd (x)d(x)XDLQ L@BOJ { INTEGRIRUEMOJ FUNKCII f (x).4) pUSTX , I { { KONE^NYE MERY NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; F )TAKIE, ^TO MERA ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO , A MERA ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO , TOGDAd (x) = d (x) d (x); ; PO^TI WS@DU:dd d225lEKCIQ226225) pUSTX I { { KONE^NYE MERY NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; F ),KOTORYE \KWIWALENTNY W TOM SMYSLE, ^TO KAVDAQ ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO DRUGOJ, TOGDA!d (x) = d (x) ;1 ;dd; ; PO^TI WS@DU:6) pUSTX k ; k = 1; 2; I { { KONE^NYE MERY NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; F ) TAKIE, ^TO1Xk=1k (F ) = (F ); F 2 F :tOGDA, ESLI k ABSOL@TNO NEPRERYWNY OTNOSITELXNO { KONE^NOJ MERY , TO I ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO InnPd P idini=1 (x) = X di (x); Lim i=1 (x) = d (x); ; PO^TI WS@DU:n!1 dddi=1 d7) nAPOMNIM, ^TO MEDIANOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X NAZYWAETSQ L@BOEZNA^ENIE m X TAKOE, ^TO1 I P(X m X ) 1 :P(X m X ) 22dOKAZATX, ^TO \TO OPREDELENIE RAWNOSILXNO SLEDU@]EMU1 I P(X > m X ) 1 :P(X < m X ) 22dOKAZATX TAKVE, ^TO MNOVESTWO MEDIAN WSEGDA ESTX ZAMKNUTYJ INTERWAL m0 m X m1.8) pUSTXh(a) = EjX ; aj < 1PRI NEKOTOROM a 2 R1.
dOKAZATX, ^TO h(a) MINIMIZIRUETSQ NA L@BOJMEDIANE SLU^AJNOJ WELI^INY X .9) dLQ L@BOGO NABORA RAZLI^NYH WE]ESTWENNYH ^ISEL x1 ; ; xn MEDIANAOPREDELQETSQ KAK SREDNEE IZ UPORQDO^ENNYH ZNA^ENIJ x { OW, KOGDA n22.1.zADA^I227NE^<TNOE, I KAK L@BOE ZNA^ENIE MEVDU DWUMQ CENTRALXNYMI SREDIUPORQDO^ENNYH ZNA^ENIJ x { OW, KOGDA n ^<TNOE. pOKAZATX, ^TO \TOESTX TAKVE MEDIANA SLU^AJNOJ WELI^INY X , PRINIMA@]EJ KAVDOE IZZNA^ENIJ x1 ; ; xn S WEROQTNOSTX@ 1=n.dLQ L@BOGO NABORA RAZLI^NYH WE]ESTWENNYH ^ISEL x1; ; xn SUMMAABSOL@TNYH UKLONENIJnXjxi ; aji=1MINIMIZIRUETSQ L@BOJ MEDIANOJ x { OW.10) rASSMOTRIM STATISTI^ESKU@ STRUKTURU (X ; F ; fP ; 2 g), W KOTOROJ X = f;1; 0; 1; 2; g, F = (X ) { MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTWMNOVESTWA X , = (0; 1) I SEMEJSTWO RASPREDELENIJ fP ; 2 g IMEETWIDP (;1) = ; P (k) = (1 ; )2 k ; k = 0; 1; 2; ; 2 :dOKAZATX, ^TO DOSTATO^NAQ STATISTIKA T (X ) = X NE POLNA.11) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ), GDE NABL@DENIQ Xi IME@T SIMMETRI^NOE RASPREDELENIE, TO ESTX DLQ L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA B 2 Bn SPRAWEDLIWO RAWENSTWOP((X1 ; ; Xn ) 2 B ) = P((Xi1 ; ; Xin ) 2 B )DLQ L@BOJ PERESTANOWKI (i1 ; ; in) ^ISEL (1; ; n).
w ^ASTNOSTI, (X1 ; ; Xn )MOGUT BYTX NEZAWISIMYMI I ODINAKOWO RASPREDEL<NNYMI. pUSTX h(x1 ; ; xn){ L@BAQ IZMERIMAQ I INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ. dOKAZATX, ^TOE(h(X1 ; ; Xn ) j T (X )) =1 X h(X ; ; X );inn! (i1 ;;in ) i1GDE T (X ) = (X(1) ; ; X(n) ) I X(1) X(n) { WARIACIONNYJ RQD.|DESX SUMMIROWANIE PROIZWODITSQ PO WSEM PERESTANOWKAM (i1 ; ; in)^ISEL (1; ; n).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
