В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 13
Текст из файла (страница 13)
sLEDOWATELXNO OCENKA h(T ) OPTIMALXNA IP (T ) = h(T ) = 1; 2 :DLQ WSEHsLEDSTWIQ.1) eSLI SU]ESTWUET POLNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA, TO L@BAQ IZMERIMAQFUNKCIQ OT NE< QWLQETSQ OPTIMALXNOJ OCENKOJ SWOEGO MATEMATI^ESKOGOOVIDANIQ.2) sU]ESTWUET EDINSTWENNAQ NESME]<NNAQ OCENKA FUNKCII g(), ZAWISQ]AQ OT POLNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKI, I ONA OPTIMALXNA. eSLIT = T (X ) { POLNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA, TO OPTIMALXNAQ OCENKA (T ) L@BOJ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g(), DOPUSKA@]EJ NESME]<NNU@ OCENKU, ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SOWOKUPNOSTX@ URAWNENIJE (T ) = g();DLQ WSEH 2 :3) aLGORITM POLU^ENIQ OPTIMALXNYH OCENOK.dLQ NAHOVDENIQ OPTIMALXNOJ OCENKI (T ) FUNKCII g() DOSTATO^NOPOSTUPITX SLEDU@]IM OBRAZOM(a) NAJTI KAKU@-NIBUDX NESME]ENNU@ OCENKU (X ) FUNKCII g();(b) SPROEKTIROWATX E< NA POLNU@ DOSTATO^NU@ STATISTIKU T , TO ESTXNAJTIh(T ) = E ((X ) j T );TOGDA \TO I BUDET OPTIMALXNOJ OCENKOJ, TO ESTXP (T ) = h(T ) = 1;DLQ WSEH 2 :pRIMER 10.1.3.
pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQ IXi B(1; );i = 1; ; n; 2 = (0; 1):lEKCIQ108tOGDAT=nXi=110Xi B(n; )QWLQETSQ POLNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ (SM. pRIMER 10.1.1). nAJD<MDWUMQ SPOSOBAMI OPTIMALXNU@ OCENKU, NAPRIMER, DLQ FUNKCII g() = 2.1) pOPYTAEMSQ NAJTI OPTIMALXNU@ OCENKU (T ) IZ USLOWIQ NESME]<NNOSTIE (T ) = 2 ; DLQ WSEH 2 :s \TOJ CELX@ ZAMETIM, ^TOE T = n; D T = n(1 ; ); E T 2 = D T + (E T )2 = n(1 ; ) + n22:bUDEM ISKATX OPTIMALXNU@ OCENKU (T ) W WIDE POLINOMA WTOROJ STEPENI (t) = a + bt + ct2 ;TOGDA IZ USLOWIQ NESME]<NNOSTI IMEEMa + bn + c n(1 ; ) + n2 2 2 :pRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH , POLU^IMc = n(n1; 1) ; b = ; n(n1; 1) ; a = 0;TO ESTX21) : (T ) = ; n(nT; 1) + n(nT; 1) = Tn((Tn ;; 1)2) nAJD<M (T ) METODOM PROEKCIJ. s \TOJ CELX@ WOZXM<M PROIZWOLXNU@NESME]<NNU@ OCENKU 2, NAPRIMER, (X ) = X1 X2 .
tOGDA (t) = E ((X ) j T = t) = E (X1 X2 j T = t) ==Xx1 ;x22f0;1gf0;1gx1x2 P X1 = x1 ; X2 = x2 j T = t = P X1 = 1; X2 = 1 j T = t =8< 0;t<2P X1 = 1; X2 = 1; T = t2 (nt;;22)t;2 (1;)n;t===:P (T = t)(nt)t (1;)n;t ; t 210.2.sWOBODNYE STATISTIKIt<20;t<2= t!(n;t)!(n;2)! ; t 2 = t(t;1) ; t 2:n!(t;2)!(n;t)!n(n;1)tAKIM OBRAZOM OPQTX POLU^AEM1) : (T ) = Tn((Tn ;; 1)(10.20;109(swobodnye statistikiwY[E OTME^ALOSX, ^TO DOSTATO^NYE STATISTIKI, ISPOLXZU@TSQ DLQ SOKRA]ENIQ DANNYH BEZ POTERI INFORMACII, W \TOJ SWQZI UMESTNO RASSMOTRETXSLU^AJ, KOGDA STATISTIKI WOOB]E NE NESUT W SEBE NIKAKOJ INFORMACII OPARAMETRE .oPREDELENIE 10.2.1.sTATISTIKA U = U (X )U : (X ; F ) ;! (Y ; H)NAZYWAETSQ SWOBODNOJ (POD^INENNOJ), ESLI EE RASPREDELENIE NE ZAWISITOT 2 , TO ESTX, ESLIP (U (X ) 2 B )DLQ L@BOGO B 2 H NE ZAWISIT OT 2 .qSNO, ^TO SWOBODNAQ STATISTIKA U (X ) NE SODERVIT INFORMACII O .pRIMERY.1) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE NORMALXNO RASPREDEL<NNYENABL@DENIQXi N (0; 2);tOGDA STATISTIKI WIDAU1 = si = 1; ; n:X1;n1 P (X ; X )2in;1i=1IQWLQ@TSQ SWOBODNYMI.U2 = s nX1PXi2i=1X = n1nXi=1XilEKCIQ110102) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE NORMALXNO RASPREDEL<NNYENABL@DENIQXi N (; 1); i = 1; ; n:tOGDA STATISTIKI WIDAU3 = X1 ; XInX1U4 = n ; 1 (Xi ; X )2i=1QWLQ@TSQ TAKVE SWOBODNYMI.pOSKOLXKU SWOBODNAQ STATISTIKA U (X ) NE SODERVIT INFORMACII O , ADOSTATO^NAQ STATISTIKA (X ) SODERVIT WS@ INFORMACI@ O , TO, PO-WIDIMOMU,U (X ) I T (X ) DOLVNY BYTX NEZAWISIMYMI.
pRI NALI^II SWOJSTWA POLNOTY\TO DEJSTWITELXNO TAK.tEOREMA 10.2.1. (bASU) pUSTX (X ) { POLNAQ DOSTATO^NAQ STATISTIKA, A U (X ) { cWOBODNAQ STATISTIKA. tOGDA STATISTIKI T (X ) I U (X ) {NEZAWISIMY.dOKAZATELXSTWO. pO USLOWI@ WYRAVENIEP (U2 B j T ) ; P (U 2 B )NE ZAWISIT OT DLQ L@BOGO FIKIROWANNOGO MNOVESTWA B 2 H. oBOZNA^IMEGO ^EREZ(T ) = P (U 2 B j T ) ; P (U 2 B ):tOGDAE (T ) 0 DLQ WSEH 2 ;TO ESTXP (U 2 B j T ) = P (U 2 B ) P.
W.I, PO\TOMU ONI NEZAWISIMY, POSKOLXKU2 B; T 2 A) = E 1B (U )1A (T ) == E E [1B (U )1A (T ) j T ] = E 1A (T )E [1B (U ) j T ] == E 1A (T )P (U 2 B j T ) = P (T 2 A)P (U 2 B ):P (U10.2.sWOBODNYE STATISTIKI111pRIMER 10.2.1. pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE RAWNOMERNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi R(0; ); i = 1; ; n; > 0:dOKAVEM, ^TO STATISTIKAT (X ) = X(n) 1maxXin iQWLQETSQ POLNAJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ. sOMESTNAQ PLOTNOSTX NABL@DENIJ (X1 ; ; Xn) RAWNAp (x) = 1nnYi=11(0;) (xi ) = 1n 1(0;) (x(1) )1(0;) (x(n) ) == 1n 1(0;+1) (x(1) )1(0;) (x(n) );GDE x = (x1; ; xn); x(1) = 1minx:in itEPERX IZ KRITERIQ FAKTORIZACII (tEOREMA 7.1.3) SLEDUET, ^TO STATISTIKAWIDAT (X ) = X(n)QWLQETSQ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ. dOKAVEM TEPERX E< POLNOTU.
pOSKOLXKUtnP (T (X ) < t) = P (X1 < t; ; Xn < t) = n ; 0 < t < ;TO STATISTIKA T (X ) IMEET PLOTNOSTXn;1p (t) = ntn ; 0 < t < :pUSTX TEPERXE (T ) 0; DLQ WSEH > 0:oBOZNA^IM ^EREZ +(t) I ; (t) SOOTWETSTWENNO POLOVITELXNU@ I OTRICATELXNU@ ^ASTI FUNKCII (t). tOGDAZ0tn;1+ (t) dt =Z0tn;1 ; (t) dt;DLQ WSEH > 0:oTS@DA PO tEOREME O PRODOLVENII MERY SLEDUET, ^TO DLQ WSEH BORELEWSKIHMNOVESTW B R1 SPRAWEDLIWO RAWENSTWOZBZtn;1 + (t) dt = tn;1 ;(t) dt:BlEKCIQ112pO\TOMUqSNO, ^TO STATISTIKA(t) = 0;10P.
W.U (X ) = XX1(n)QWLQETSQ SWOBODNOJ. iZ tEOREMY bASU SLEDUET, ^TO STATISTIKI T (X ) I U (X )NEZAWISIMY.pRIMER 10.2.2. pUSTX X = (X1 ; ; Xn ) { NEZAWISIMYE NORMALXNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi N (; 2 ); i = 1; ; n; = (; 2 ):mOVNO DOKAZATX, ^TO STATISTIKAT (X ) = (X; S 2 ); GDE X = n1XXi ;S 2 = n ;1 1X(Xi ; X )2QWLQETSQ POLNOJ DOSTATO^NOJ STATISTIKOJ, A STATISTIKA!XXX;1;XnU (X ) =S , , SQWLQETSQ SWOBODNOJ STATISTIKOJ. iZ tEOREMY bASU SLEDUET, ^TO STATISTIKIT (X ) I U (X ) NEZAWISIMY.10.3spisok literatury1) |. lEMAN, tEORIQ tO^E^NOGO oCENIWANIQ,mOSKWA, nAUKA, 1991, gLAWA 1, < 5; gLAWA 2, < 1.2) a. wALXD, sTATISTI^ESKIE RE[A@]IE FUNKCII,pOZICIONNYE iGRY, mOSKWA, nAUKA, 1967, STR.
300{522.3) g.i. iW^ENKO, `.i. mEDWEDEW, mATEMATI^ESKAQ sTATISTIKA,mOSKWA, wYS[AQ {KOLA, 1992, gLAWA 2, < 2.3.4) {. zAKS, tEORIQ sTATISTI^ESKIH wYWODOW,mOSKWA, mIR, 1975, gLAWA 2, < 2.6.5) `.w. lINNIK, lEKCII O zADA^AH aNALITI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, nAUKA, 1994, lEKCIQ 2.lEKCIQ 11w lEKCII RASSMATRIWA@TSQ NIVNIE OCENKI DLQ DISPERSIJ OCENOK, WWODQTSQ TAK NAZYWAEMYE \FFEKTIWNYE OCENKI.11.1informacionnoe nerawenstwow OB]EM SLU^AE OPTIMALXNAQ OCENKA (X ) PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g()MOVET NE SU]ESTWOWATX (tEOREMA 10.1.1 DA<T LI[X DOSTATO^NYE USLOWIQSU]ESTWOWANIQ (X )). oDNAKO PRI WYPOLNENII ESTESTWENNYH USLOWIJ REGULQRNOSTI MOVNO POLU^ITX OCENKU SNIZU DLQ DISPERSII L@BOJ OCENKI FUNKCII g() I UKAZATX USLOWIQ, PRI KOTORYH \TA GRANICA DOSTIGAETSQ.l@BYE DWE SLU^AJNYE WELI^INY Y I Z S KONE^NYMI WTORYMI MOMENTAMIUDOWLETWORQ@T KOWARIACIONNOMU NERAWENSTWUCov(Y; Z )pDY DZ:(11:1:1)dOKAZATELXSTWO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIQ KOWARIACII I NERAWENSTWA kO[I { bUNQKOWSKOGO.pRIMENIM NERAWENSTWO (11.1.1) K L@BOJ OCENKE (X ) FUNKCII g() I L@BOJ FUNKCII S (X; ) S KONE^NYM WTORYM MOMENTOM I POLOVITELXNOJ DISPERSIEJCov2 (X ); S (X; ):(11:1:2)D ( X ) D S (X; )w OB]EM SLU^AE NERAWENSTWO (11.1.2) BESPOLEZNO, POSKOLXKU EGO LEWAQ ^ASTXTAKVE SODERVIT OCENKU (X ).
nO ESLICov (X ); S (X; )113lEKCIQ11411ZAWISIT OT OCENKI (X ) TOLXKO ^EREZ E< MATEMATI^ESKOE OVIDANIEE (X ) = g();TO NERAWENSTWO (11.1.2) DEJSTWITELXNO DA<T NIVN@@ GRANICU DLQ DISPERSIIWSEH NESME]ENNYH OCENOK FUNKCII g().tEOREMA 11.1.1. dLQ TOGO ^TOBYCov (X ); S (X; )ZAWISELA OT OCENKI (X ) TOLXKO ^EREZ EE MATEMATI^ESKOE OVIDANIEE (X ) = g();NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BOJ NESME]ENNOJ OCENKI NULQ0 (X ) WYPOLNQLOSX TOVDESTWODLQ WSEH 2 :dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX.
pREDPOLOVIM, ^TOCov (X ); S (X; )Cov 0 (X ); S (X; ) 0;(11:1:3)ZAWISIT OT OCENKI (X ) TOLXKO ^EREZ g(). tOGDA DLQ L@BOJ NESME]<NNOJOCENKI NULQ 0(X ) SPRAWEDLIWO TOVDESTWOCov (X ) + 0 (X ); S (X; ) Cov (X ); S (X; ) ;DLQ WSEH2I, SLEDOWATELXNO,Cov 0 (X ); S (X; ) 0;DLQ WSEH 2 :dOSTATO^NOSTX. pUSTX WYPOLNENO TOVDESTWO (11.1.3) DLQ WSEH NESME]<NNYH OCENOK NULQ. pUSTX 1 (X ) I 2 (X ) { DWE NESME]<NNYE OCENKI FUNKCIIg ( )E 1 (X ) E 2 (X ) g(); DLQ WSEH 2 :tOGDA OCENKA1 (X ) ; 2 (X )QWLQETSQ NESME]<NNOJ OCENKOJ NULQ, I PO\TOMUCov 1 (X ) ; 2 (X ); S (X; ) 0; DLQ WSEH 2 ;11.1.iNFORMACIONNOE NERAWENSTWO115TAK ^TOCov 1 (X ); S (X; ) Cov 2 (X ); S (X; ) ; 2 :DLQ WSEHpRIMENIM tEOREMU 11.1.1 I NERAWENSTWO (11.1.2) DLQ POLU^ENIQ OCENKISNIZU DLQ DISPERSII PROIZWOLXNOJ NESME]<NNOJ OCENKI FUNKCII g().tEOREMA 11.1.2.
(nERAWENSTWO hAMMERSLI { ~EPMENA { rOBBINSA) pREDPOLOVIM, ^TO PLOTNOSTX p (x) UDOWLETWORQET USLOWI@p (x) > 0; DLQ WSEH 2 I x 2 X :tOGDA DLQ L@BOJ NESME]NNOJ OCENKI (X ) FUNKCII g() SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO2D (X )g( + ) ; g()2 ;(X )E pp+;1 (X )DLQ WSEH; + 2 :DLQ WSEH; + 2 ;(11:1:4)zAME^ANIE 11.1.1. zAMETIM, ^TO2p+ (X )Ep (X ) ; 1 > 0;!POSKOLXKU W PROTIWNOM SLU^AE ESLI SU]ESTWU@T 2 I + 2 TAKIE,^TOP p (X ) = p+ (X ) = 1;TOZP p (X ) = p+ (X ) =p (x)d (x) =fx:p (x)=p+(x)g=Zfx:p (x)=p+ (x)gp+ (x)d (x) = P+ p (X ) = p+(X ) = 1;P (X 2 A) = P X 2 A; p (X ) = p+ (X ) ==ZA\fx:p (x)=p+ (x)gZA\fx:p (x)=p+ (x)gp+ (x)d (x) =p (x)d (x) =lEKCIQ11611= P+ X 2 A; p (X ) = p+ (X ) = P+ (X 2 A);A2FI NARU[AETSQ USLOWIE IDENTIFICIRUEMOSTI (SM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
