В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 11
Текст из файла (страница 11)
pOSKOLXKU PRID (X ) = 1DOKAZYWATX NE^EGO, TO PREDPOLOVIM, ^TOD (X ) < 1:tOGDA QSNO, ^TO (X ) ; (X ) QWLQETSQ NESME]<NNOJ OCENKOJ NULQ IPO\TOMUE (X )((X ) ; (X )) 0:oTS@DA SLEDU@T RAWENSTWAE 2 (X ) = E (X )(X );D (X ) = Cov (X ); (X ) :pO\TOMU PRIMENQQ NERAWENSTWO kO[I { bUNQKOWSKOGO, IMEEMD (X ) D (X ) DLQ WSEH 2 :pUSTX 1 (X ) I 2 (X ) { OPTIMALXNYE OCENKI DLQ FUNKCIJ g1 () I g2 () SOOTWETSTWENNO. tOGDA DLQ L@BYH ^ISEL a I b OCENKAWIDA (X ) = a1 (X ) + b2 (X )tEOREMA9.2.4.lEKCIQ909QWLQETSQ OPTIMALXNOJ OCENKOJ FUNKCIIg() = ag1 () + bg2 ():dOKAZATELXSTWO. dOKAZATELXSTWO tEOREMY NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZWTOROJ ^ASTI tEOREMY 9.2.3.
oDNAKO, DLQ POLNOTY MY DADIM I PRQMOE DOKAZATELXSTWO \TOJ tEOREMY.pUSTX (X ) { PROIZWOLXNAQ NESME]<NNAQ OCENKA FUNKCII g() = ag1 ()+bg2 (). tOGDA OCENKA0 (X ) = (X ) ; (X )QWLQETSQ NESME]<NNOJ OCENKOJ NULQ I PO\TOMU PO tEOREME 9.2.3 SPRAWEDLIWOTOVDESTWO0 = aCov 1 (X ); 0 (X ) + bCov 2 (X ); 0 (X ) == Cov (X ); 0 (X ) = D (X ) ; Cov (X ); (X ) ;TO ESTXILI9.3D (X ) = Cov (X ); (X )D (X )D (X );qD (X )D (X );DLQ WSEH 2 :bajesowskoe oceniwanierASSMOTRIM DOMINIRUEMU@ STATISTI^ESKU@ STRUKTURU (X ; F ; fP ; 2 g),I ZADA^U OCENKI PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g() PO NABL@DENI@ X = x, NOPREDPOLOVIM, ^TO QWLQETSQ ZNA^ENIEM SLU^AJNOJ WELI^INY S IZWESTNYM RASPREDELENIEM (APRIORNOE RASPREDELENIE) Q() NA (; V ).
sLU^AJ NEIZWESTNOGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ BUDET RASSMOTREN W lEKCIQH 18 { 21.w PODOBNOJ SITUACII ZADA^U OCENIWANIQ NAZYWA@T ZADA^EJ OCENIWANIQ WBAJESOWSKOJ POSTANOWKE.oPREDELENIE 9.3.1.bAJESOWSKOJ OCENKOJ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g(),SOOTWETSTWU@]EJ APRIORNOMU RASPREDELENI@ Q NAZYWAETSQ IZMERIMAQFUNKCIQQ = Q (x) : X ;! ;;9.3.bAJESOWSKOE OCENIWANIEKOTORAQ MINIMIZIRUET BAJESOWSKIJ RISK (SM. oPREDELNIE 8.2.1)Zr(Q; Q) = infr(; Q);r(; Q) = R(; )dQ();ZR(; ) = E L(; (X )) = L(; (x))p (x)d (x):XpRI BAJESOWSKOM PODHODE PLOTNOSTX p (x) INTERPRETIRUETSQ KAK USLOWNAQPLOTNOSTX WIDA p (x) = p(x j = ) A RISK R(; ) { KAK USLOWNYJ RISKR(; ) = R( j = ), TOGDA BAJESOWSKIJ RISK POLU^AETSQ KAK USREDNENIEUSLOWNOGO RISKAZr(; Q) = ER( j ) = R(; )dQ():tEOREMA 9.3.1.pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET RASPREDELENIE Q I PRIDANNOM = NABL@DENIE X IMEET RASPREDELENIE P . pREDPOLOVIM, KROMETOGO, ^TO W ZADA^E OCENIWANIQ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g() S NEOTRICATELXNOJ FUNKCIEJ POTERX L(; ) WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ1) sU]ESTWUET OCENKA 0 (X ) S KONE^NYM BAJESOWSKIM RISKOM r(0 ; Q) <1.2) dLQ PO^TI WSEH x SU]ESTWUET ZNA^ENIE Q (x), MINIMIZIRU@]EE PO2E(L(; ) j X = x):(9:3:1)zDESX X IMEET RASPREDELENIEP(A) =ZP (A)dQ(); A 2 F ;A USLOWNOE RASPREDELENIE Qx() SLU^AJNOJ WELI^INY PRI USLOWIIX = x NAZYWAETSQ APOSTERIORNYM RASPREDELENIEM (W OTLI^IEOT APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q()) I IMEET WIDRp (x) dQ()BQx(B ) = R p (x) dQ() ; B 2 V :9192lEKCIQ9tOGDA Q(X ) ESTX BAJESOWSKAQ OCENKA.dOKAZATELXSTWO.
pUSTX (X ) { L@BAQ OCENKA S KONE^NYM RISKOM. tOGDA WYRAVENIE (9.3.1) PO^TI WS@DU KONE^NO, POSKOLXKU FUNKCIQ POTERX L(; )NEOTRICATELXNA. pO\TOMU PO^TI WS@DU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOE(L(; (x)) j X = x) E(L(; Q (x)) j X = x)I REZULXTAT SLEDUET POSLE WZQTIQ MATEMATI^ESKIH OVIDANIJ OT OBEIH ^ASTEJ \TOGO NERAWENSTWA.sLEDSTWIE 9.3.1.pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ tEOREMY 9.3.1.
tOGDA1) eSLIL(; ) = ( ; g())2 ;TOQ(x) = E(g() j X = x);I, BOLEE OB]IM OBRAZOM, ESLIL(; ) = c()( ; g())2 ;TOg() j X = x) :Q (x) = E(cE()(c() j X = x)2) eSLIL(; ) = j ; g()j;TO Q(x) ESTX L@BAQ MEDIANA USLOWNOGO RASPREDELENIQ PRI DANNOMX = x.3) eSLI(j ; j c;L(; ) = 01;; ESLIESLI j ; j > c;TO Q(x) ESTX SEREDINA INTERWALA J DLINY 2c, KOTORYJ MAKSIMIZIRUET WEROQTNOSTX WIDAP( 2 J j X = x):dOKAZANNAQ tEOREMA OZNA^AET, ^TO PRI NAHOVDENII BAJESOWSKIH OCENOKMOVNO POSTUPITX SLEDU@]IM OBRAZOM: SNA^ALA DO PROWEDENIQ NABL@DENIJ,KOGDA IMEET RASPREDELENIE Q, NAJTI BAJESOWSKU@ OCENKU Q DLQ FUNKCII g(), KOTORAQ MINIMIZIRUET PO 2 WYRAVENIE EL(; ).
dALEE, POSLE9.3.bAJESOWSKOE OCENIWANIE93NABL@DENIQ X = x, APRIORNOE RASPREDELENIE Q SLU^AJNOJ WELI^INY ZAMENITX NA APOSTERIORNOE RASPREDELENIE Qx, TO ESTX NA USLOWNOE RASPREDELENIE PRI DANNOM X = x. tEPERX BAJESOWSKAQ OCENKA IMEET WID Q(x) = Qx .pRIMERY.1) pUSTXX = f0; 1g; = = f1=2; 1=3g; p (x) = x(1 ; )1;x; x 2 X ; 2 ;TO ESTX NABL@DENIE X PRINIMAET TOLXKO DWA ZNA^ENIQ 0 I 1 SOOTWETSTWENNO S WEROQTNOSTQMI 1 ; I .
pOSTOROIM BAJESOWSKU@ OCENKUQ(x) PARAMETRA 2 , SOOTWETSTWU@]U@ APRIORNOMU RASPREDELENI@Q WIDAQ = f; 1 ; g; 2 (0; 1);I FUNKCII POTERX( = ;L(; ) = 01;; ESLIESLI 6= :tOGDAEL(; ) = L(1=2; ) + L(1=3; )(1 ; ) =( = 1=2;= 1;; ;ESLIESLI = 1=3:oTS@DA SLEDUET, ^TO8>ESLI > 1=2;< 1=2;Q = > 8; ESLI = 1=2;:1=3; ESLI < 1=2:aPOSTERIORNOE RASPREDELENIE IMEET WID()1;x (1 ; )=3=22Qx = =2 + 21;x (1 ; )=3 ; =2 + 21;x (1 ; )=3 :tAKIM OBRAZOM BAJESOWSKAQ OCENKA ESTX8><Q (x) = Qx = >:1=2; ESLI x > log2 4(13;) ;8; ESLI x = log2 4(13;) ;1=3; ESLI x < log2 4(13;) :lEKCIQ9492) pUSTX X = (X1 ; ; Xn ), GDE Xi { NEZAWISIMYE ODINAKOWO NORMALXNORASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi N (; 2 ); i = 1; ; n;S IZWESTNOJ DISPERSIEJ 2.
pOSTROIM BAJESOWSKU@ OCENKU Q(X ) PARAMETRA , SOOTWETSTWU@]U@ NORMALXNOMU APRIORNOMU RASPREDELENI@Q N (; 2 ):sOWMESTNAQ PLOTNOSTX X = (X1 ; ; Xn ) I PROPORCIONALXNA WYRAVENI@)nnoX1p(; x) = exp ; 22 (xi ; )2 exp ; 21 2 ( ; )2 :i=1(~TOBY POLU^ITX APOSTERIORNOE RASPREDELENIE j X = x, NEOBHODIMOSOWMESTNU@ PLOTNOSTX ; X RAZDELITX NA MARGINALXNU@ PLOTNOSTX X ,PO\TOMU APOSTERIORNOE RASPREDELENIE IMEET WID C (x)p(; x), ^TO MOVNO ZAPISATX W WIDE()2 n21nxC (x) exp ; 2 2 + 2 + 2 + 2 ; 2 2 =()x=2 + = 2 2 ;= C~ (x) exp ; 21 n2 + 12 ; nn=2 + 1= 2x = n1nXi=1xi :|TO WYRAVENIE PREDSTAWLQET SOBOJ NORMALXNU@ PLOTNOSTX S PARAMETRAMInx=2 + = 2 ; D( j X = x) =1E( j X = x) =n=2 + 1= 2n=2 + 1= 2 :tAKIM OBRAZOM, ESLI FUNKCIQ POTERX ESTX KWADRATI^NAQ O[IBKA, TOBAJESOWSKAQ OCENKA DLQ ESTXn21= 2 ; X = 1 XX+Q (X ) = n=n=2 + 1= 2n=2 + 1= 2n i=1 Xi : (9:3:2)kAK I W SLU^AE BINOMIALXNOGO RAPREDELNIQ, WOZNIKAET WOPROS, QWLQETSQ LIX BAJESOWSKOJ OCENKOJ DLQ NEKOTOROGO APRIORNOGO RASPREDELENIQ ? oTWETDA<TSQ SLEDU@]EJ tEOREMOJ.9.3.bAJESOWSKOE OCENIWANIE95tEOREMA 9.3.2.pUSTX IMEET RASPREDELENIE Q I PUSTX P OBOZNA^AETUSLOWNOE RASPREDELENIE X PRI DANNOM = .
tOGDA NI ODNA NESME]ENNAQOCENKA (X ) PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g(), PRI KWADRATI^NOJ FUNKCIIPOTERX, NE MOVET BYTX BAJESOWSKOJ, ZA ISKL@^ENIEM SLU^AQ, KOGDAE((X ) ; g())2 = 0;ZDESX MATEMATI^ESKOE OVIDANIE BERETSQ OTNOSITELXNO SOWMESTNOGO RASPREDELENIQ X I .dOKAZATELXSTWO. pUSTX (X ) ESTX BAJESOWSKAQ OCENKA I PREDPOLOVIM,^TO ONA NESME]<NNA DLQ g(). tOGDA W SILU tEOREMY 9.3.1 ONA PO^TI WS@DUIMEET WID(X ) = E(g() j X ); E((X ) j = ) = E (X ) = g():iSPOLXZUQ SWOJSTWA USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ OTS@DA SLEDUET,^TOE(g()(X )) = E[(X )E(g() j X )] = E2 (X )IE(g()(X )) = E[g()E((X ) j )]= Eg2 ():pO\TOMUE((X ) ; g())2 = E2 (X ) + Eg2 () ; 2E((X )g()) = 0:pRIMENIM TEPERX \TOT REZULXTAT K NORMALXNOMU I BINOMIALXNOMU SLU^AQM.1) nORMALXNYJ SLU^AJ.
pUSTX X = (X1 ; ; Xn ), GDE Xi { NEZAWISIMYEODINAKOWO NORMALXNO RASPREDEL<NNYE NABL@DENIQXi N (; 2 ); i = 1; ; n;S IZWESTNOJ DISPERSIEJ 2. tOGDA DLQ RASSMATRIWAEMOJ OCENKI (X ) =X PRI = 2 SPRAWEDLIWO TOVDESTWO2E ( X ; )2 ;nPO\TOMU DLQ L@BOGO APRIORNOGO RAPSREDELNIQ Q2E(X ; )2 = 6= 0:ntAKIM OBRAZOM (X ) = X NE QWLQETSQ BAJESOWSKOJ OCENKOJ.lEKCIQ9692) bINOMIALXNYJ SLU^AJ. pUSTX NABL@DENIQ X IME@T WIDX B(n; ); 2 (0; 1):rASSMOTRIM OCENKU (X ) = X = X=n DLQ PARAMETRA .
pRI FIKSIROWANNOM = 2 (0; 1) E< FUNKCIQ RISKA RAWNA(1 ; ) ;E (X ; )2 =nPO\TOMU1Z1E(X=n ; ) =n (1 ; )dQ():20|TOT INTEGRAL RAWEN NUL@ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RASPREDELENIEQ PRIPISYWAET WEROQTNOSTX EDINICA MNOVESTWU f0; 1g. nO BAJESOWSKAQOCENKA IMEET WIDQ(X ) = E( j X );PO\TOMU DLQ TAKOGO RASPREDELENIQ QQ(0) = Q(n) = 1I L@BAQ OCENKA, UDOWLETWORQ@]AQ \TOMU USLOWI@ QWLQETSQ BAJESOWSKOJ DLQ TAKOGO Q. zNA^IT, W ^ASTNOSTI, X=n ESTX BAJESOWSKAQ OCENKA.kONE^NO, ESLI Q { ISTINNOE RASPREDELENIE, TO ZNA^ENIQ 1; 2; ; n ; 1NIKOGDA NE NABL@DA@TSQ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
